数学史专题
第一颗被发现的行星是Uranus，由威廉·赫歇尔和卡罗琳·赫歇尔于1781年3月13日发现。它之所以被发现，是因为即使用相当低倍率的望远镜观看，它也显示出一个圆面。唯一其他被发现的行星是Neptune和Pluto。它们是根据艾萨克·牛顿的引力定律，用巧妙的数学论证预测出来的，然后在预测位置附近被观测到。
事实上，海王星本可以在没有数学论证的情况下被发现。它几乎就是由伽利略发现的，他是第一个有可能发现新行星的人。伽利略将望远镜对准行星，立刻被他所观测到的木星系统及其卫星所吸引。1612年12月28日，当他观测木星系统时，他把海王星记录为一颗8等星。仅仅一个多月后，在1613年1月27日，他在视野中记录了两颗星。一颗是海王星，另一颗是真正的恒星。值得注意的是，伽利略在第二天晚上再次观测到这对星，并注意到这两颗星看起来距离更远了。当时他离发现其中一颗星是海王星有多近啊。见[1]。
你可以在THIS LINK看到伽利略关于这次观测的笔记。
在接下来的几年里，海王星又被记录了好几次，但都没有被认作行星。拉朗德（1732-1807）是一位法国天文学家，他的行星位置表直到19世纪都是最精确的，他在1795年5月8日和10日记录了海王星，却没有意识到它不是一颗恒星。约翰·赫歇尔，我们稍后会看到他与海王星的发现有关，他在1830年7月14日记录了海王星，认为它是一颗恒星。
冯·拉蒙特（1805-1879）是一位出生于苏格兰的天文学家，一生大部分时间在慕尼黑度过，他以测定土星和天王星卫星的轨道以及发现地球磁场的周期性波动而闻名。他至少三次记录了海王星，即1845年10月25日、1846年9月7日和1846年9月11日。作为一名技艺高超的观测者，人们可能会期望冯·拉蒙特能识别出海王星在这四天期间的移动。然而他未能做到，而仅仅几天后海王星就被发现了。
然而，海王星的发现并非来自这些偶然观测中的任何一个。相反，它来自对天王星偏离其预测轨道的数学分析。让·巴蒂斯特·约瑟夫·德朗布尔计算了行星位置表Tables du Soleil, de Jupiter, de Saturne, d'Uranus et des satellites de JupiterⓉ（《太阳、木星、土星、天王星及木星卫星表》），于1792年出版。然而，天王星的预测位置开始出现偏差。亚历克西·布瓦尔，一位法国天文学家，时任巴黎天文台台长，已于1808年出版了木星和土星轨道的精确表，他现在着手制作让·巴蒂斯特·约瑟夫·德朗布尔天王星表的修正版。然而，即使考虑了其他行星的摄动，他也无法使所有观测都吻合。他于1821年出版了他的新天王星表，但写道
……我把发现[数据]难以协调究竟是与古代观测有关，还是取决于某种可能一直在作用于该行星的外来的、未被察觉的原因这一任务留给未来。
尽管亚历克西·布瓦尔使用了最新数据来确定天王星的轨道，但很快就明显看出它偏离了他表中给出的位置。1841年7月3日，约翰·柯西·亚当斯还在剑桥读本科时写道
本周初形成了一个设想，即在取得学位后尽快研究天王星运动中的不规则性，这些不规则性至今尚未得到解释；以便查明它们是否可能归因于其外侧一颗未被发现的行星的作用；如果可能，由此近似确定其轨道要素等，这很可能导致它的发现。
然而，并非所有人都把天王星轨道的问题归因于其外侧一颗未知行星。乔治·比德尔·艾里，皇家天文学家，相信另一种流行的理论，即引力平方反比定律在远距离上开始失效。然而在约翰·柯西·亚当斯对一颗未被发现的行星可能对天王星产生的影响作了初步研究之后，他对自己走在正确道路上这一点大受鼓舞，并于1844年2月从乔治·比德尔·艾里那里获得了格林尼治关于天王星的数据。
1845年6月，巴黎天文台台长弗朗索瓦·阿拉戈说服于尔班·勒维耶开始研究天王星轨道问题。于尔班·勒维耶很快决定全身心投入这个问题，并搁置了他一直在做的关于彗星的工作。于尔班·勒维耶和约翰·柯西·亚当斯都不知道对方正在研究这个问题。
到1845年9月，约翰·柯西·亚当斯已经对这个问题进行了更详细的研究，并推导出了扰动行星的轨道。除了轨道之外，他还计算了该行星的质量及其在1845年10月1日的位置。他将自己的预测寄给了James Challis，即剑桥天文台的台长。
约翰·柯西·亚当斯在这里开辟了新的数学领域。艾萨克·牛顿的引力理论曾被多次用来计算物体之间的相互影响，但从未被用来根据一个物体的引力对其他物体的影响所作的观测来预测该物体的位置。尽管如此，约翰·柯西·亚当斯对自己的理论非常有信心，并称之为“新行星”。约翰·柯西·亚当斯试图将关于“新行星”的信息告知乔治·比德尔·艾里，但未能成功，因为约翰·柯西·亚当斯于9月23日在从康沃尔郡莱恩阿斯特的家中前往剑桥的途中访问了格林尼治，而当时乔治·比德尔·艾里正在法国。
1845年10月21日，约翰·柯西·亚当斯在前往剑桥的途中第二次尝试拜访乔治·比德尔·艾里。他被告知乔治·比德尔·艾里在伦敦，但很快就会回来。约翰·柯西·亚当斯下午返回，但乔治·比德尔·艾里正在用餐。事实上，乔治·比德尔·艾里有一个相当不寻常的习惯，每天下午3点30分吃晚餐，因此约翰·柯西·亚当斯被拒之门外。约翰·柯西·亚当斯留下了一份手稿，其中包含他对天王星轨道的研究，他在其中表明，给定他为新行星提出的轨道，天王星位置的误差极其微小。
事实上，乔治·比德尔·艾里显然对约翰·柯西·亚当斯的工作感兴趣，因为他在11月5日写信给约翰·柯西·亚当斯，询问了一个看来颇为技术性的问题。他想知道，所假定的“新行星”是否不仅解释了天王星经度上的偏差，也解释了其向径上的偏差。这个问题旨在试图区分“新行星”理论与“平方反比定律失效”理论。然而约翰·柯西·亚当斯，已经对他所看到的乔治·比德尔·艾里拒绝见他的态度感到恼怒，没有作答。他决定自己去寻找这颗新行星：——
然而，我不能指望那些已经全力投入重要工作的实用天文学家，会像我自己那样对我的研究结果抱有同样的信心；因此我让人把我们的仪器整理好，明确的目的就是，如果没有人接手这个课题，我就用我们圣弗瑞兹·约翰天文台所能提供的微薄手段，亲自承担寻找这颗行星的工作。
11月10日，于尔班·勒维耶发表了他关于自己研究的第一篇论文。他在文中表明，由木星和土星引起的天王星轨道摄动无法解释观测结果。1846年6月1日，于尔班·勒维耶发表了第二篇论文，文中他表明各种其他可能的原因都无法解释天王星的轨道，并推断唯一可能的原因只能是一颗比天王星离太阳更远的行星。他给出了一颗“新行星”可能轨道的一些细节，并预测了1847年初的位置。于尔班·勒维耶联系巴黎天文台寻找这颗行星，但在非常短暂的搜寻之后他们就失去了兴趣。
6月23日，于尔班·勒维耶论文的结果传到了乔治·比德尔·艾里那里，他立刻看出于尔班·勒维耶的预测和约翰·柯西·亚当斯对“新行星”位置的预测几乎完全相同。三天后，他写信给于尔班·勒维耶，询问他先前向约翰·柯西·亚当斯问过的关于向径的同一个问题。奇怪的是，乔治·比德尔·艾里此时已经知道约翰·柯西·亚当斯和于尔班·勒维耶对同一问题得出了几乎相同的解答，却没有把他们中的任何一人告诉另一人，也没有把他开始搜寻的计划告诉于尔班·勒维耶。于尔班·勒维耶回复了乔治·比德尔·艾里的问题，使他确信这些偏差确实是由一颗“新行星”造成的。6月29日，乔治·比德尔·艾里在格林尼治与Challis和约翰·赫歇尔会面，并告诉了他们
……现在在很短时间内发现一颗新行星的极大可能性，只要能把一个天文台的力量用于搜寻它。
在7月9日乔治·比德尔·艾里要求Challis在剑桥天文台开始搜寻。他有些勉强：正如他后来所写：-
仅仅依靠理论推演来进行观测，是一件如此新奇的事；而且，虽然肯定要付出许多劳动，成功却显得很可疑。
尽管有这些保留，Challis还是在1846年7月29日开始了搜寻，记录约翰·柯西·亚当斯预测区域内的恒星。他在7月29日、30日，8月4日、12日的夜晚进行了观测，并记录了结果。他通过比较8月12日记录的前39颗恒星，并核对它们是否出现在他7月30日的记录中，来检验自己的方法。如果他继续比较下去，他就会发现自己曾在8月12日记录过、但在7月30日并不位于搜寻区域内的那颗“新行星”。他还在8月4日记录过这颗行星，但他从未比较这些记录。
8月晚些时候，约翰·赫歇尔拜访了业余天文学家William Dawes，并告诉他关于“新行星”的事，但由于Dawes只有一架小望远镜，他认为不值得搜寻。
在8月31日，于尔班·勒维耶发表了他关于这颗“新行星”的第三篇论文。这一次，他给出了预测轨道和质量的完整细节。他还推断了角直径，并写道：-
应该有可能在良好的望远镜中看到这颗新行星，并且还能通过其圆面的大小把它辨认出来。这是非常重要的一点……如果对其物理外观的简单研究能够取代对所有恒星位置的严格测定，那么搜寻将会进行得快得多。
约翰·柯西·亚当斯于9月2日写信给乔治·比德尔·艾里，对这个问题给出了更透彻的分析。他的第一个解依赖于假设“新行星”到太阳的距离是天王星到太阳距离的两倍。他对解中这一武断的部分感到不满，于是重新进行了数学分析，通过将不同距离与观测到的天王星摄动进行比对，找到了对“新行星”距离更好的估计。
Dawes，尽管（错误地）认为他无法观测到“新行星”，却突然有了一个想法。他的朋友William Lassell，另一位业余天文学家和以酿酒为业的商人，刚刚建成了一架能够记录该行星圆面的大型望远镜。他写信给Lassell，给了他约翰·柯西·亚当斯预测的位置。然而Lassell扭伤了脚踝，卧床不起。他读了那封信，把它交给了女仆，女仆随即把它弄丢了。第二天晚上他的脚踝已经恢复得足够好，他徒劳地寻找那封写有预测位置的信。他成名的机会就这样失去了！
9月10日，约翰·赫歇尔在南安普顿的英国科学促进会会议上发表了讲话。他谈到“新行星”时说：
我们看见它，就像哥伦布从西班牙海岸看见美洲一样。它的运动已被感知，沿着我们分析所及的遥远轨迹颤动，其确定性几乎不亚于亲眼所见。
约翰·赫歇尔是一位非常优秀的数学家，并且显然对数学分析怀有信念，而许多天文学家却缺乏这种信念。约翰·柯西·亚当斯打算在南安普顿会议上提交一篇关于他研究的论文。然而，英国科学促进会A组比他所预期的提前一天结束了会议，而约翰·柯西·亚当斯到达南安普顿时已太晚，无法宣布他的预测。
于尔班·勒维耶在9月18日写信给德国天文学家Galle，请他在预测的位置搜索“新行星”。Galle在9月23日收到信，当晚与他的助手Heinrich d'Arrest一起在柏林皇家天文台开始了搜索。D'Arrest建议他们使用刚刚制作出来的最新星图。他们用了不到30分钟就找到了一颗不在他们星图上的星。当然他们知道自己找到了“新行星”，但他们在第二天晚上通过观测它相对于恒星发生了移动来确认了这一点。
你可以在THIS LINK看到一张显示预测位置和实际位置的图。
9月25日，伽勒写信给于尔班·勒维耶说：
先生，您所指明位置的那颗行星确实存在。
于尔班·勒维耶回复道：-
感谢你迅速执行了我的指示。多亏了你，我们由此确实掌握了一个新世界。
9月29日，于尔班·勒维耶8月31日的论文送达Challis。当晚他进行了观测，在预测位置上寻找行星的圆面。他注意到该区域300颗恒星中只有一颗似乎显示出圆面。当然，他观测到了这颗行星，但生性谨慎的他等到能够通过展示行星的运动来确认结果后才行动。直到10月1日The Times刊登了Galle发现的公告，标题为Le Verrier's Planet Found.，他之前没有再观测。
一读到这个标题，约翰·赫歇尔就写信给Lassell说
以一切可能的速度寻找卫星。
Lassell于10月2日开始观测，并于10月10日发现了海王星的卫星Triton。
正是在10月3日，约翰·赫歇尔写信给Athenaeum，公开了约翰·柯西·亚当斯在海王星发现中的作用。随后关于该行星优先权和命名的争论在轨道与引力的Orbits and Gravitation一文中讨论。约翰·柯西·亚当斯、Challis和乔治·比德尔·艾里贡献的完整故事在皇家天文学会11月13日的会议上发表。Challis和乔治·比德尔·艾里各自报告了约翰·柯西·亚当斯预言的经过，而约翰·柯西·亚当斯本人发表了他的回忆录An explanation of the observed irregularities in the motion of Uranus, on the hypothesis of disturbances caused by a more distant planet; with a determination of the mass, orbit, and position of the disturbing body.
一旦海王星的轨道被足够精确地计算出来，人们就搜寻更早的记录，看它是否曾被记录过。当乔治·比德尔·艾里1795年5月8日和10日对海王星的观测被发现后，人们注意到约翰·柯西·亚当斯否定了5月8日的位置，并在5月10日海王星的位置上记录了一颗恒星，但将其标记为存疑。他从未费心去做进一步的观测来确认这些数据，而这本肯定会让他发现海王星。当⟦L4⟧得知此事后，他写信给⟦L5⟧说
此后谁也不应为此责怪Challis。
一旦海王星的轨道被计算出来，就可以看出约翰·柯西·亚当斯和于尔班·勒维耶的预测都相当幸运。两人预测的位置都非常接近实际位置，但两人预测的轨道都意味着海王星只在1840—1850年前后才会接近其预测位置，而在其他时候（它绕轨道一周约需165年，自发现以来尚未完成一周）则会远离约翰·柯西·亚当斯和于尔班·勒维耶两人预测的位置。
一幅关于发现海王星的漫画在THIS LINK
然而，太阳系的表现并不如预期。即使考虑了所有其他已知行星的引力吸引，海王星也没有遵循计算出的轨道。在较小程度上，天王星和土星也是如此。Percival Lowell（1855-1916），一位美国天文学家，对火星感兴趣。他在亚利桑那州弗拉格斯塔夫专门建造了一座私人天文台来研究这颗行星。他开始对天王星轨道进行数学分析，天王星的轨道比海王星的轨道已知得更精确，却未能遵循其预言路径。1905年，Lowell完成了对数据的分析，并预言了海王星之外存在一颗行星，它导致了这些摄动。
当然，到1905年，由于摄影术，天文观测已大大改进。1915年，在弗拉格斯塔夫天文台开始了一项搜索，他们用了两年时间拍摄了Lowell称之为“行星X”所预言的那片天空区域。什么也没找到。Lowell重新进行了数学分析，并在1914年至1916年间，再次拍摄了他的预言表明行星X将所在的那片天空区域。事实上，这些底片上有冥王星（Lowell的行星X）的图像，但它们很暗淡，没有被识别出来。
Lowell于1915年1月13日向美国科学院提交了他的论文Memoir on a Trans-Neptunian Planet。他写信给他在Flagstaff的首席观测员：-
我将于1月13日在科学院报告我的工作。你若能同时宣布发现，那就很周到了。
然而并没有发现什么，而且，正如Lowell的兄弟后来所写：-
X没有被发现是他一生中最尖锐的失望。
另一位美国天文学家威廉·亨利·皮克林（1858-1938）实际上在1894年建造了洛厄尔的弗拉格斯塔夫天文台。他转到哈佛学院天文台，并在1919年也利用天王星和海王星轨道的不一致作为数据，预测了一颗海王星外行星的位置。对威尔逊山天文台拍摄的照片进行搜索，未能在皮克林预测的位置找到该行星。
1929年1月，克莱德·W·汤博（1906-1997）加入弗拉格斯塔夫的工作人员，任务是寻找行星X。他使用了一种新技术，即通过“闪烁”比较相隔一段时间拍摄的两块底片，也就是依次让光通过一块底片再通过另一块，这样两块底片上都有的物体保持稳定，而只在一块底片上有的物体会闪烁。汤博写道：-
……1930年2月18日下午，我突然发现了冥王星的影像！这种经历令人极度兴奋，因为该物体的性质一眼就能看出来。
从那时起，这颗行星每晚都被拍照以确认观测，1930年3月13日，即洛厄尔诞辰75周年和天王星发现149周年纪念日（这两者竟是同一天，真是惊人的巧合），弗拉格斯塔夫宣布了这一消息。1930年5月，弗拉格斯塔夫天文台提议将行星X命名为冥王星。他们提议了一个由相互交错的字母P和L组成的符号。有趣的是，在关于海王星命名的争论之后，他们竟以如此重要的方式将珀西瓦尔·洛厄尔的首字母融入了行星名称中。
这看起来像是洛厄尔的另一个奇妙的数学理论。然而欧内斯特·威廉·布朗审查了洛厄尔使用的数据，并表明他不可能基于这些数据做出正确的预测。拉塞尔，一位领先的美国天文学家，写道：-
问题出现了……为什么实际上有一颗行星在一条轨道上运动，而这条轨道与所预言的那条如此惊人地相似？……似乎无法逃避这样的结论：这是偶然的事情。如此接近的一组偶然巧合竟然会出现，简直令人难以置信，但欧内斯特·威廉·布朗所使用的证据不允许得出其他结论……
自从发现了冥卫一卡戎以来，冥王星的质量现在已能准确知道。冥王星的质量是0.002地球质量，而洛厄尔要求行星X具有七个地球质量才能对其他行星产生那些效应。谜团仍然存在：洛厄尔如何能够如此准确地预言轨道；谜团也仍然存在：为什么外行星不能保持在其正确的轨道上。
