数学史专题
本文探讨西方文化中数学与艺术之间的一些相互作用。还有其他主题将探讨其他文化中数学与艺术之间的相互作用。在开始讨论西方艺术中的透视之前，我们应该提到海什木的贡献。正是海什木在公元1000年左右首次正确解释了视觉，表明光线从物体反射进入眼睛。他研究了完整的视觉科学，在中世纪称为透视学，尽管他没有将他的思想应用于绘画，但文艺复兴时期的艺术家后来重要地利用了海什木的光学。
毫无疑问，对与透视相关的思想发展的研究预计会从古典时代开始，特别是从古希腊人开始，他们在建筑和舞台布景设计中使用了某种透视概念。然而，尽管希腊化时期的画家可以在他们的作品中创造深度错觉，但没有证据表明他们理解支配正确表现的精确数学定律。因此，我们选择从文艺复兴时期对透视理解的发展开始本文。首先让我们陈述问题：如何在二维画布上表现三维世界？这个问题有两个方面，即如何使用数学来制作逼真的绘画，其次这些思想对几何学研究的影响是什么。
到13世纪，乔托已在绘画中通过遵循某些规则来营造深度感。他将视平线以上的线条随着远离观察者而向下倾斜，视平线以下的线条随着远离观察者而向上倾斜，类似地，向左或向右的线条则向中心倾斜。尽管这不是精确的数学表述，但乔托显然在如何表现空间深度上下了很大功夫，按时间顺序考察他的画作可以看出他的想法是如何发展的。他的一些晚期作品表明，他可能在生命接近尾声时已接近对线性透视的正确理解。
第一个正确表述线性透视的人被认为是菲利波·布鲁内莱斯基。他大约在1413年做出了这一发现。他认识到，对于一个平面内除画布所在平面之外的所有平行线，应当有一个单一的消失点，它们都汇聚于该点。同样重要的是他对比例的理解，他正确计算了物体的实际长度与其在画中的长度之间的关系，这取决于物体在画布平面之后的距离。运用这些数学原理，他在木板上画了两幅具有正确透视的佛罗伦萨示范画。一幅是圣弗瑞兹·约翰八角形洗礼堂，另一幅是领主宫。为了更生动地展示他绘画的准确性，他在画有洗礼堂的木板上于消失点处钻了一个小孔。他让观看者从木板后面通过小孔看一面反射木板的镜子。这样，菲利波·布鲁内莱斯基就精确控制了观看者的位置，从而保证几何关系正确。菲利波·布鲁内莱斯基的这些透视画此后已经失传，但同一时期马萨乔的一幅“圣三位一体”壁画仍然存在，它使用了菲利波·布鲁内莱斯基的数学原理。
A picture of Masaccio's Holy Trinity在THIS LINK。
思考菲利波·布鲁内莱斯基是如何理解透视背后的几何学，是合理的。他当然接受过几何学原理和测量方法的训练，而且由于他对仪器很着迷，可以合理推测他可能使用仪器来帮助测量建筑物。在他理解透视之前，他曾绘制罗马古代建筑，这一定起了重要作用。
现在，尽管很清楚菲利波·布鲁内莱斯基理解了我们上面描述的涉及消失点的数学规则，但他并没有写下透视规则如何运作的解释。第一个这样做的人是莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂，在他的论著On painting.中。事实上，莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂写了两部论著，第一部于1435年用拉丁文写成，题为De pictura Ⓣ（论绘画），而第二部献给菲利波·布鲁内莱斯基，是次年用意大利文写成的著作，题为Della pittura Ⓣ（论绘画）。当然，这些书并不只是同一部作品翻译成两种不同语言。更确切地说，莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂将这些书面向不同的读者群，拉丁文著作技术性更强，面向学者，而他的意大利文版本则面向普通读者。
De pictura Ⓣ（论绘画）分为三部分，第一部分给出了莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂认为正确理解绘画所必需的透视的数学描述。正如莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂所写：-
……完全是数学性的，涉及这门优雅而高贵的艺术所由之兴起的自然根源。
事实上，他给出了绘画的定义，这恰恰表明他认为透视概念有多么根本：——
绘画是在给定距离上，具有固定中心和确定光源位置的视觉金字塔的截面，由艺术以线条和色彩在给定表面上表现出来。
莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂给出了几何学原理和光学科学的背景。然后，他在眼睛与被观看的物体之间建立了一个三角形系统，这些三角形定义了上述的视觉金字塔。他给出了一个精确的比例概念，这决定了画中物体的表观大小与其实际大小以及观察者距离之间的关系。
莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂在其著作中使用的最著名的例子之一，是铺满方形瓷砖的地面。为简单起见，我们把莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂所称的中心点（今天称为消失点）取在方形画面的中心。
Alberti's construction of perspective for a tiled floor在THIS LINK。
在我们的图中，中心点是。假设方形瓷砖有一条边平行于画面的底部。在现实中垂直于这些边的其他边，在画中将表现为汇聚到中心点。正方形的对角线都将汇聚到通过中心点且平行于画面底部的一条直线上的点。的长度决定了正确的观看距离，即观察者为了获得正确的透视效果而必须离画面的距离。莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂选择不给出数学证明，然而，他写道：——
关于金字塔、三角形、截面，我们已经谈了似乎必要的那么多。我通常用某些冗长的几何证明向朋友们解释这些事情，在这篇评注中，为了简洁起见，我觉得最好省略这些证明。
这一时期的画作中，凡包含方格地砖地面的，被称为pavimento（意大利语意为“地面”）画。在莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂那本对绘画产生巨大影响的著作之后的许多年里，这类画作有很多例子。
当然，pavimento提供了一种笛卡尔坐标系。莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂展示了如何利用网格来获得圆的正确形状。把一个圆放在方形网格上，标出方格切割圆的位置。像上面那样构造方形网格的透视图，并通过观察投影视图中交点的位置来重建这个圆。圆将投影为一个椭圆，但人们认识到投影圆锥曲线的重要性还需要很长时间。
接下来我们应当提到洛伦佐·吉贝尔蒂，他约于1378年出生在意大利的佩拉戈。他作为雕塑家而闻名，其最著名的作品是佛罗伦萨洗礼堂东侧的青铜门。他制作了两套门，在设计第二套门之前，他已经熟悉了莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂提出的透视学新观念。吉贝尔蒂写道，这些门包含十块嵌板，它们展现出：——
……建筑场景，以及眼睛据以度量它们的相互关系，并且逼真到如此程度，以至于……人们看到近处的形象显得更大，远处的则更小，正如现实所显示的那样。
吉贝尔蒂还因其约写于1447年的三卷本论著I Commentarii,而重要。这部著作包含古代艺术史、十三世纪艺术家史、一部自传，以及一部中世纪视觉理论文本的汇编，例如海什木所写的那些。这一点很重要，因为正如我们在本文开头所提到的，海什木等人研究过光学和视觉，却没有把这些观念与绘画联系起来，而如今吉贝尔蒂表明了早期光学观念与艺术的相关性。
15世纪中叶意大利文艺复兴艺术家所写的所有透视著作中最具数学性的是皮耶罗·德拉·弗朗西斯卡的著作。从某种意义上说，这并不令人惊讶，因为除了是这一时期的主要艺术家之一外，他还是主要的数学家，写了一些优秀的数学文本。在Trattato d'abacoⓉ（论算盘）中，他可能写于1450年左右，皮耶罗·德拉·弗朗西斯卡包含了算术和代数材料，以及一个很长的几何部分，这在当时的此类文本中非常不寻常。它还包含原创的数学结果，这在一本以教学文本风格写成的书中同样非常不寻常（尽管在引言中皮耶罗·德拉·弗朗西斯卡确实说，他写这本书是应其赞助人和朋友的要求，而不是作为学校教科书）。这与透视有联系吗？是的，有联系，因为皮耶罗·德拉·弗朗西斯卡用透视绘制的立体图形图解来说明文本。
Piero's illustration of a dodecahedron在THIS LINK。
继续正多面体这一主题，我们注意到皮耶罗·德拉·弗朗西斯卡后来的一部文本是Short book on the five regular solids.。然而，就本文而言，我们最感兴趣的是他的三卷本论著On perspective for painting（有人认为写于1470年代中期，也有人认为写于1460年代）。他的书以对绘画的描述开篇：——
绘画有三个主要部分，我们说它们是素描、比例和设色。我们把素描理解为事物中所包含的轮廓和外形。我们说比例就是这些轮廓和外形按比例安置在各自的位置上。我们所谓设色，就是赋予事物中所显示的颜色，明与暗则随光线使它们变化而定。在这三个部分中，我打算只讨论比例，我们称之为透视，并在其中混入素描的某些部分，因为没有这一点，透视就无法在实际中展示；设色我们将略去，我们将讨论那部分能够通过线条、角和比例来展示的内容，谈论点、线、面和体。
我们从这篇导论中看到，皮耶罗·德拉·弗朗西斯卡打算集中讨论数学原理。或许最准确的说法是，他正在研究视觉的几何学，这一点他后来阐述得更为清楚：-
第一是视觉，也就是眼睛；第二是被看见之物的形状；第三是从眼睛到被看见之物的距离；第四是从物体边界发出并到达眼睛的线；第五是截线，它位于眼睛与被看见之物之间，并被认为是在其上记录物体的。
皮耶罗·德拉·弗朗西斯卡首先以欧几里得的风格建立几何定理，但与欧几里得不同，他还给出数值例子来说明这些定理。接着，他给出与平面图形透视有关的定理。在三卷中的第二卷里，皮耶罗·德拉·弗朗西斯卡考察如何以透视法绘制棱柱。尽管在数学上不如第一卷有趣，但他选择在这一卷中考察的例子对他显然很重要，因为这些例子频繁出现在他自己的画作中。第三卷处理更复杂的对象，例如人的头部、柱顶的装饰以及其他“更困难的形状”。为此，皮耶罗·德拉·弗朗西斯卡使用了一种涉及大量繁琐计算的方法。他使用两把尺子，一把确定宽度，另一把确定高度。事实上，他是在使用一个坐标系，并计算“困难形状”的许多点的正确透视位置，由此可以补全整体的正确透视。
皮耶罗·德拉·弗朗西斯卡的著作被卢卡·帕西奥利在其自己的出版物中大量依赖。事实上，卢卡·帕西奥利的Divina proportioneⓉ（《神圣比例》）第三卷是皮耶罗·德拉·弗朗西斯卡的Short book on the five regular solids.的意大利文译本。卢卡·帕西奥利著作中的插图由列奥纳多·达·芬奇绘制，其中包括一些正多面体的精美透视画。
Leonardo's illustration在THIS LINK。
现在，在列奥纳多·达·芬奇的早期著作中，我们发现他呼应了莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂和皮耶罗·德拉·弗朗西斯卡所阐述的精确透视理论。他写道：-
……透视是一种理性的论证，经验通过它确认：所有事物的图像都通过锥线传送到眼睛。那些大小相同的物体，会根据彼此之间距离的不同，在其锥体中形成或大或小的角。我所说的线锥，是指那些从物体表面边缘发出、并在一定距离上汇聚于一点的线。
他发展了数学公式，以计算从眼睛到物体的距离与它在截平面（即将要绘制图画的画布）上的大小之间的关系：-
如果你把交线放在离眼睛一米处，第一个物体离眼睛四米，它在交线上的高度将缩小四分之三；如果它离眼睛八米，它将缩小八分之七；如果它离眼睛十六米，它将缩小十六分之十五，依此类推。距离加倍，缩小的比例也加倍。
不仅列奥纳多·达·芬奇研究了透视几何学，还在他试图创造眼睛所见的现实的过程中研究了眼睛的光学原理。到大约1490年，列奥纳多·达·芬奇在透视方面的思考已经向前推进。他是最早研究透视的反问题的人之一：给定一幅按正确线性透视绘制的图画，计算眼睛必须放在哪里才能看到这种正确的透视。这时他意识到，一幅按正确线性透视绘制的图画，只有从一个确切的位置观看才显得正确。菲利波·布鲁内莱斯基在安排通过一个小孔演示透视时，就已经很清楚这一点。然而，对于挂在墙上的画作来说，许多人不会从正确的位置观看它，事实上对于许多画作而言，观看者根本不可能把眼睛放在这个正确的点上，因为它可能远高于他们的头顶。
列奥纳多·达·芬奇区分了两种不同类型的透视法：人工透视法，即画家投影到一个平面上的方式，而这个平面本身可能被以某个角度观看的观察者看到其透视缩短；以及自然透视法，它忠实地再现物体根据其距离的相对大小。在自然透视法中，列奥纳多·达·芬奇正确地断言，如果物体位于以观察者为中心的圆上，它们将具有相同的大小。然后列奥纳多·达·芬奇研究了复合透视法，其中自然透视法与以某个角度观看所产生的透视法相结合。也许在列奥纳多·达·芬奇中，比我们在这篇文章中提到的任何其他人，数学和艺术都融合在一个单一的概念中。
到目前为止，我们所讲述的故事很大程度上是意大利的艺术家和数学家通过亲自相互学习来理解透视法。然而，到1500年，阿尔布雷希特·丢勒将这一主题的发展带到了德国。他这样做之前，从意大利之行中学到了很多，在那里他直接从诸如卢卡·帕西奥利这样的数学家那里学习。他在1525年出版了Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit Ⓣ（用圆规和直尺测量的指导），其第四卷包含了他的阴影和透视理论。在几何上，他的理论与皮耶罗·德拉·弗朗西斯卡的理论相似，但他做了一个重要的补充，强调在描绘正确透视时光线和阴影的重要性。一个很好的例子是他1524年绘制的几何形状。
Dürer's shaded geometrical design在THIS LINK。
阿尔布雷希特·丢勒在他1525年的论文中对透视法的另一个贡献是描述了各种可以用来绘制正确透视图像的机械辅助工具。
让我们考虑在接下来的200年中对透视法研究的若干其他贡献。我们首先提到费德里哥·哥曼迪诺，他在1558年出版了Commentarius in planisphaerium Ptolemaei Ⓣ（对托勒密星盘的评注）。在这部著作中，他叙述了克劳狄乌斯·托勒密的天球球极投影，但它对透视法的重要性在于他拓宽了该主题的研究，而在此之前，该主题几乎只与绘画有关。费德里哥·哥曼迪诺更感兴趣的是透视法在舞台布景制作中的使用，主要是因为他的主要兴趣在于经典文本，并且与许多早期论文不同，他是为数学家而不是艺术家写作的。
Wentzel Jamnitzer在1568年写了一本关于Platonic solids的漂亮的书，叫做Perspectiva corporum regularium Ⓣ（正多面体的透视。）。这不是一本旨在教授透视绘画的书，然而，它包含许多以透视法绝妙绘制的插图。他的意图很明确：-
所有多余的东西都将被避免，与老式的教学方式相反，不会有多余地画出任何线条或点。
Daniele Barbaro的La Practica della perspectiva Ⓣ（透视的实践）出版于1569年，即Jamnitzer的论著出版后的第二年，抱怨画家们已经停止使用透视。从表面上看，这不是真的，但他无疑想说的是，画家们不再画建筑场景了。Barbaro对舞台布景中的透视感兴趣，主要是因为他曾在1556年出版了维特鲁威的De architectura Ⓣ（论建筑）的意大利文译本，他的兴趣是由这部作品引起的。他1569年的论著表明，他仔细研究了皮耶罗·德拉·弗朗西斯卡和阿尔布雷希特·丢勒的作品，他给出的透视作图方法是对他们方法的变体。
Egnatio 埃尼亚齐奥·当蒂，就像我们在本文中提到的许多其他人一样，既是一位优秀的数学家，也是一位艺术家。他为Le due regole della prospettiva pratica di M Iacomo Barozzi da Vignola Ⓣ（Iacomo 弗朗切斯科·巴罗齐 da Vignola的实践透视两条规则）所写的序言出版于1583年，即他去世前三年。在这部作品的导言中，埃尼亚齐奥·当蒂写了一部简明的透视史：-
……我们知道，古代从业者没有留下任何书籍或书面文献，尽管他们极为出色，这一点从他们所制作的舞台布景的描述中得到了令人信服的证明，这些布景在希腊的雅典和拉丁的罗马都备受珍视。但在我们这个时代，在那些在这门艺术中留下值得注意之作的人中，最早、也是以最佳方法和形式写作的人，是来自博尔戈圣塞波尔克罗的皮耶罗·德拉·弗朗西斯卡先生，我们今天有他三部手稿著作，插图极为精美；想知道它们有多出色的人应该去看Daniele Barbaro，他在其关于透视的书中抄录了其中很大一部分。
埃尼亚齐奥·当蒂不仅为他所编的Vignola论著版本写了导论，还通过为Vignola仅仅陈述为可应用规则之处给出数学论证，大大增加了其内容。
我们提到的下一位贡献者是Giovanni Battista Benedetti，他是尼科洛·塔尔塔利亚的学生。他在1585年完成了一部题为A book containing various studies of mathematics and physics的著作，其中包含一篇关于算术的论文、一些其他短篇作品和关于各种科学主题的书信，以及一篇关于透视的短论De rationibus operationum perspectivae Ⓣ（透视的理性操作）。在他的透视短论中，乔万尼·巴蒂斯塔·贝内戴蒂不仅关注在二维中工作的艺术家的规则，还关注这些规则背后的三维原因。
我们在上面提到了费德里哥·哥曼迪诺，下一位我们要注意其对透视贡献的人是Guidobaldo del Monte，他是费德里哥·哥曼迪诺的学生。Del Monte关于透视的六卷书Perspectivae libri sex Ⓣ（透视，第6卷）（1600年）包含了他频繁引用欧几里得的Elements.而推导出的定理。del Monte的论著中最重要的结果是，任何不平行于画面平面的平行线集合都将汇聚到一个消失点。这篇论著代表了在理解透视几何方面向前迈出的重要一步，并且是对射影几何发展的重大贡献。
1636年，吉拉尔·笛沙格出版了短论La perspective Ⓣ（透视），它只有12页。在这篇由一个工作示例组成的短论中，吉拉尔·笛沙格提出了一种不使用任何位于画面区域之外的点来构造透视图像的方法。他考虑了在画面中相交于一点的直线以及彼此平行的直线的表示。在作品的最后一段中，他考虑了求圆锥截线的透视图像的问题。
三年后，即1639年，吉拉尔·笛沙格写了他的射影几何论著Brouillon project d'une atteinte aux evenemens des rencontres du cone avec un plan Ⓣ（解释圆锥与平面相交时发生什么的草案计划）。人们可以看到三年前工作的影响，但吉拉尔·笛沙格本人没有为他引入的思想给出动机。这篇论著的第一部分处理相交于一点的直线集合以及位于一条直线上的点列的性质。在第二部分中，圆锥曲线的性质根据直线上点列的性质来研究。现代术语“无穷远点”首次出现在这篇论著中，并且引入了线束，尽管没有使用这个名称。在这篇论著中，吉拉尔·笛沙格表明他完全理解了圆锥曲线与透视之间的联系；事实上，他把任何圆锥曲线都可以投影为任何其他圆锥曲线这一事实视为显然的。尽管更早的作者已经考虑过“视锥”，但这一点的重要性以及由此可以统一研究圆锥曲线的方式此前并未得到认识。
继吉拉尔·笛沙格的创新工作之后，这门学科在随后几年没有迅速发展，可能令人惊讶。它没有迅速发展，部分原因可能是数学家们未能认识到所提出内容的威力。另一方面，勒内·笛卡儿几乎在同一时间（1637年）提出的几何代数方法，可能使人们的注意力从吉拉尔·笛沙格的射影方法上转移开。真正推进吉拉尔·笛沙格思想的第一人是菲利普·德拉伊尔。他在发现吉拉尔·笛沙格的Brouillon project.之前，已于1673年写了一部关于圆锥曲线的著作。1679年，他抄录了吉拉尔·笛沙格的书，写道：-
在1679年7月，我第一次读到M. 吉拉尔·笛沙格的这本小书，并把它抄录下来以便更好地了解它。这距离我发表第一部关于圆锥曲线的著作已超过六年。我毫不怀疑，如果我当时知道这篇论著，我就不会发现我所使用的方法，因为我绝不会相信有可能找到任何更简单且同样具有普遍适用性的程序。
事实上，菲利普·德拉伊尔在其1673年的论著New method of geometry for sections of conics and cylindrical surfaces中已从射影观点处理圆锥曲线，并且在那里，在遇到吉拉尔·笛沙格的方法之前，他就引入了四点的交比。1685年，菲利普·德拉伊尔出版了Conic sections，这是一种处理圆锥曲线的射影方法，结合了他早期著作中最好的思想以及吉拉尔·笛沙格的思想。
在讨论布鲁克·泰勒的工作之前——我们将以它结束本文——让我们提一下Humphry Ditton的工作，他在1712年写了A treatise on perspective, demonstrative and practical。这与布鲁克·泰勒的工作相关，因为它影响了他。Ditton的书并不是特别原创，但他确实提出了一种精心构造且写得很好的透视几何方法。在许多方面，布鲁克·泰勒三年后于1715年出版的Linear perspective: or a new method of representing justly all manners of objects在质量上与Ditton的工作相似。布鲁克·泰勒工作的一个显著方面是他将关联性质陈述为公理，这使他成为第一个这样做的人。
1719年，布鲁克·泰勒出版了经过大幅修改的第二版New principles of linear perspective.。这部著作首次对灭点进行了普遍处理。布鲁克·泰勒对该主题采取了高度数学化的方法，尽管他本人是一位有造诣的业余艺术家，却对艺术家们毫不迁就，而艺术家们本应认为这些观念对他们至关重要。这部高度浓缩的著作有时甚至对数学家来说也非常难以理解，布鲁克·泰勒明确表示他感兴趣的是基本原理而非其应用。“线性透视”一词是布鲁克·泰勒在这部著作中发明的，他将一条不平行于画面平面的直线的灭点定义为：过眼睛且平行于给定直线的直线与画面平面的交点。他还将给定平面（不平行于画面平面）的灭线定义为：过眼睛且平行于给定平面的平面与画面平面的交线。正如我们上面所示，灭点这一术语早在布鲁克·泰勒时代之前就已发明，但他是最早强调灭点和灭线的数学重要性的人之一。布鲁克·泰勒的线性透视理论中的主要定理是：不平行于画面平面的直线的投影通过其交点及其灭点。
还有一个有趣的逆问题，即寻找眼睛的位置，以便从艺术家所意图的视角观看画面。布鲁克·泰勒并不是第一个讨论这个逆问题的人，正如我们上面所见，最早研究它的人之一是近250年前的列奥纳多·达·芬奇，但布鲁克·泰勒确实对此类透视问题的理论做出了创新性贡献。人们当然可以将这部著作视为朝向加斯帕尔·蒙日、米歇尔·沙勒和让-维克托·彭赛列所发展的描述几何与射影几何理论迈出的重要一步。
让我们以艺术家们故意误用透视来取乐的例子作为结束。第一个例子出自著名英国艺术家William Hogarth（1697-1764），他的Perspective absurdities构成了J J 罗比恩·卡比的著作Dr Brook Taylor's method of perspective made easy in both theory and practice（1754）的卷首插图。
Hogarth's Perspective absurdities在THIS LINK。
第二个例子出自莫里茨·科内利斯·埃舍尔，他以利用透视技巧创作不可能图形而闻名。
插图Waterfall在THIS LINK，Up and down在THIS LINK。
[所有 M C 莫里茨·科内利斯·埃舍尔 作品 © 2001 Cordon Art - Baarn - Holland。保留所有权利。经许可使用。]