数学史专题
希腊数学中有三个经典问题，对几何学的发展影响极大。这三个问题是化圆为方、倍立方和三等分角。尽管它们密切相关，我们仍选择在各自独立的文章中加以考察。本文研究三等分任意角的问题。从某种意义上说，这是三个问题中最不著名的一个。在古希腊时期，倍立方无疑最为著名，而在更近代的时期，化圆为方的问题变得更为著名，尤其是在业余数学家当中。
我们在此考察的三等分任意角问题，是我[EFR]在职业生涯中收到错误证明最多的一个问题。很容易判断，有人寄来的“证明”“表明”可以用尺规作出任意角的三等分线，必定是错误的，因为这样的作图是不可能的。当然，知道一个证明是错误的与找出其中的错误是两回事，而且错误往往很微妙，难以发现。
三等分角问题与另外两个希腊经典问题有多方面的不同。首先，它没有关于该问题最初如何被研究的历史。其次，它是一个类型相当不同的问题。人不能化任意圆为方，也不能倍任意立方。然而，却可以三等分某些角。例如，有一个相当直接的方法来三等分直角。给定直角，作一个圆交于。以为圆心作第二个圆（半径相同），让它与第一个圆交于。那么是等边三角形，因此角为60°，为30°。所以角被三等分了。
也许更令人惊讶的是，像27°这样的角也可以三等分——你能解决这个问题吗？因此，问题在于三等分任意角，目标是使用尺规作出（这是不可能的），但若做不到，就设计某种方法来三等分任意角。
帕普斯在其Mathematical collection 中写道（例如见[3]）：-
当古代几何学家试图将给定的直线角分成三等份时，他们为此感到困惑。我们说几何学中有三类问题，即所谓的“平面”、“立体”和“线性”问题。那些可以用直线和圆解决的问题被恰当地称为“平面”问题，因为解决这类问题所用的线起源于平面。那些通过使用一个或多个圆锥截线解决的问题被称为“立体”问题。因为在作图中必须使用立体图形的表面，也就是说，圆锥。还剩下第三类，即所谓的“线性”问题。因为在这些情况下的作图需要除已提到的曲线之外的曲线，这些曲线具有更多样和更牵强的起源，并来自更不规则的表面和复杂的运动。属于这种性质的是在所谓的“曲面轨迹”中发现的曲线以及许多其他更复杂的曲线……这些曲线有许多奇妙的性质。较近的作者确实认为其中一些值得更广泛的处理，其中一条曲线被梅涅劳斯称为“悖论曲线”。同类型的其他曲线有螺线、割圆曲线、蚌线和蔓叶线。……由于问题以这种方式不同，早期的几何学家无法解决上述关于角的问题，因为它本质上是立体的；因为他们还不熟悉圆锥截线，因此感到困惑。然而，后来他们借助圆锥曲线将角三等分，在解法中使用了下面描述的斜向……
我们稍后将描述为解决这个问题而发明的方法，但首先让我们看看这个问题为何会自然而然地出现。也许人们遇到这个问题最明显的方式是考察用尺规作图来平分一个角。这很直接。给定角，然后截取相等的长度和。完成平行四边形并画出对角线，那么很容易看出它平分了角。
古希腊人肯定希望将角分成任意所需的比，因为一旦这成为可能，构造任意边数的正多边形也就成为可能。用尺规构造正多边形无疑是希腊数学的主要目标之一，直到卡尔·弗里德里希·高斯的发现之后，才构造出更多古希腊人未能找到的用尺规作图的正多边形。
尽管很难给出三等分角问题最早出现的准确日期，但我们确实知道，希俄斯的希波克拉底——他对化圆为方和倍立方问题做出了第一个重大贡献——也研究了三等分角的问题。有一种相当直接的方法可以三等分任意角，这是希俄斯的希波克拉底所知道的。
插图：Trisecting3.gif ↗
其工作原理如下。给定角，然后画垂直于，在处与之相交。完成矩形。延长至，并画出，使其在处截。选取点，使得。现在角是角的。
为看出这一点，设为的中点，使得 = = 。由于是直角，。现在角 = 角 = 角。又由于，我们有角 = 角。但角 = 角 + 角 = 2 × = 2 ×，如所需。
现在，三等分角问题似乎较少有最好的古希腊数学家报告解法的一个原因是，上述作图虽然不能用无刻度直尺和圆规完成，但在实践中却很容易执行。一种机械类型的解法很容易找到。只需在尺子的右端标出一段长度，然后滑动尺子，使一个标记在上，另一个在延长的上，直到尺子确定一条通过的直线。然后通过一个相当容易的机械过程就找到了三等分线。因此作为一个实际问题，几乎没有什么可做的了，尽管希腊人从纯数学的角度仍然不满足于机械解法，他们并没有找到这些解法。正如柏拉图所说：-
以[机械]方式进行时，难道不是不可挽回地失去了几何学中最好的部分吗……
还有另一个由阿基米德给出的机械解法。好吧，我们应该稍微限定一下，说这个方法出现在被称为Book of Lemmas的阿拉伯著作中，该著作被归于阿基米德。当然，这部著作不仅仅是阿基米德著作的翻译，因为阿基米德在著作中被多次引用，这种方式对于某人引用自己来说是完全不可能的。然而，大多数数学史家认为Book of Lemmas中给出的许多结果确实归功于阿基米德，并且关于三等分角的结果非常符合On spirals的精神，以至于人们普遍接受这个方法确实归功于阿基米德。作图过程如下。
给定一个角，以为圆心作圆，使得和是该圆的半径。从作一条直线，与延长后的相交于。使这条直线与圆相交于，并具有性质：等于该圆的半径。同样，这可以通过一种机械方法完成：在直尺上标出等于圆半径的长度，移动直尺，使一个标记保持在延长后的上，并使第二个标记在圆上。移动直尺，使一个标记保持在直线上，另一个标记在圆上，直到直尺经过。于是直线就作出了。最后从作圆的半径，使平行于。那么三等分角。
这很容易看出。角 = 角 = 角 = 角 + 角 = 2 × 角 = 2 × 角。
尼科米迪斯与阿基米德（公元前二世纪）大约生活在同一时期，他提出了著名的蚌线。事实上，这条曲线正是尼科米迪斯为了形式化我们已描述的过程——即保持一点在直线上而旋转直尺——而发明的。直尺上标有一个固定距离，其中一个标记保持在给定直线上，另一个标记则描绘出蚌线。本档案中尼科米迪斯的传记对此构造有更详细的解释。现在，这正是解决上述两种三等分角问题所需的曲线，而尼科米迪斯用他的曲线解决了该问题。然而，在实践中，移动直尺直到找到所需构形的方法总体上比绘制蚌线容易得多，因此尼科米迪斯的方法更多是理论上的兴趣而非实用价值。托马斯·利特尔·希思在[1]中写道：-
帕普斯告诉我们，在实践中蚌线并不总是实际画出的，而是有些人为了更大的便利，围绕固定点移动直尺，直到通过尝试发现截距等于给定长度。
帕普斯在其《数学汇编》中讲述了尼科米迪斯的蚌线（例如见[3]）。在同一著作中，帕普斯写到阿波罗尼奥斯如何利用圆锥曲线解决了三等分角的问题。帕普斯给出了两种解法，都涉及绘制一条双曲线。
第一种表明，如果是一条固定直线，那么满足2 × 角 = 角的点的轨迹是一条双曲线。该双曲线的离心率为2，焦点为，准线为的垂直平分线。该双曲线在两张图的左图中给出。两张图的右图显示了如何用这条双曲线三等分角。以为圆心，作过和的圆。然后作离心率为2、焦点为、准线为的垂直平分线的抛物线。设它与圆相交于。那么三等分角。
要看出这一点，我们需要注意，由上述双曲线的性质，2 × 角 = 角。但2 × 角 = 角，且2 × 角 = 角（圆心角是同一弧上圆周角的两倍）。因此2 × 角 = 角，如所需。
托马斯·利特尔·希思评论说，帕普斯中的这段文字对于希腊圆锥曲线的发展而言是很有意思的。他写道[1]：-
这段取自帕普斯的文字之所以引人注目，是因为它是现存希腊数学著作中仅有的三段……提及圆锥曲线焦点-准线性质的文字之一。
帕普斯所描述的这些构造表明希腊人如何‘改进’他们对三等分角问题的解法。从机械解法，他们进步到了涉及圆锥曲线的解法。他们永远无法进步到平面解法，因为我们知道这样的解法是不可能的。
不可能性的证明要等到19世纪的数学。论证的最后部分由皮埃尔·汪策尔完成。1837年皮埃尔·汪策尔在Liouville's Journal中发表了证明：-
卡尔·弗里德里希·高斯曾指出倍立方问题和三等分角问题不能用尺规解决，但他没有给出证明。在1837年的这篇论文中，皮埃尔·汪策尔首次证明了这些结果。后来Charles 雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆给出了改进的证明，但他没有发表。