数学史专题
本文第一部分讨论日晷。第二部分讨论水钟。
关于第二部分，参见古代世界的计时：水钟
在古希腊和古罗马时代，地球被认为是宇宙的中心，而宇宙本身是一个包含所有恒星的球体。这个天球从东向西旋转，不仅携带恒星，还携带太阳和行星。因此，太阳围绕地球旋转。这就是昼夜产生的原因。地球并不旋转。为了理解日晷，采用这种地心说是完全可以接受且方便的。太阳并不像恒星那样，沿着与地球自转轴（也是天球的轴）成直角的圆形轨道绕地球运行。相反，太阳沿着天球上以地球为中心的一个圆运动，这个圆被称为黄道。
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黄道面与赤道面相交约成23.5°角。这被称为黄赤交角。黄道圈或多或少与黄道十二星座相交，一年中的时间（对应现代月份）是根据太阳正在经过哪个星座来推算的。（无论黄道星座的确切位置如何，黄道都被分为12个相等的弧段，每段30°，这使得大多数星座偏离中心，且往往不完全在其指定的30°区域内。）太阳沿黄道圈的运动需要一（太阳）年。太阳的双重运动（在天球上并沿黄道）意味着太阳每天在天空中遵循不同的路径。从北半球的角度来看，夏季太阳在天空中位置更高，可见时间更长。由于古人总是将白昼分为十二个相等的小时，这些夏季的小时就更长。在冬季月份，太阳在天空中位置更低，可见时间更短。因此，冬季的小时也更短。
古代世界的时间最初是通过自然发生的事件来衡量的，例如日出、日落和用餐时间[1]：-
在罗马的早期，甚至直到建城后的五世纪中叶，人们所知的日的划分只有日出、日落和正午，这些是通过太阳到达Rostra和一个称为Graecostasis的地方之间来标记的。
关于希腊和罗马的日晷，现存最重要的文学来源是维特鲁威的Ten Books on Architecture，写于约公元前25年。在第9卷中，维特鲁威列出了各种日晷及其发明者[2]：-
据说迦勒底的Berosus发明了从方形块中雕刻出并底部切割以跟随地球倾斜的半圆形日晷。半球形，或称scaphê，归功于萨摩斯的阿里斯塔克斯，他还发明了平面上的圆盘。蜘蛛日晷是由天文学家欧多克索斯发明的；有些人说是阿波罗尼奥斯。Plinth或Coffer，其一个例子设置在[称为]弗拉米尼乌斯竞技场的[城市区域]，是由锡拉库扎的Scopinas发明的；Parmenion发明了“用于检查的日晷”；比提尼亚的狄奥多西和Andrias发明了“适用于所有气候”的日晷，Patrocles发明了斧头形，Dionysodorus发明了锥形，阿波罗尼奥斯发明了箭袋形。这里提到的人还发明了其他种类，许多其他人也留下了其他种类，如蜘蛛锥形、 hollowed Plinth和Antiboreus（“背对北方”）。此外，许多人留下了制作这些种类的便携式和悬挂式版本的书面说明。任何想要的人都可以在他们的书中找到额外信息，只要他们知道如何设置analemma。
维特鲁威的analemma是表示日晷面上变化的小时和月份的系统线和曲线。他的前一章致力于基于在春分正午观察gnomon的影子来确定analemma。（gnomon是直立的棍子，其影子投射在日晷面上。根据日晷的设计，使用影子长度的侧面或影子尖端的位置来确定时间。）不幸的是，维特鲁威以上面给出的列表结束了对日晷的讨论，并在第9卷的剩余部分写了水钟。
在希腊人将日晷发展成维特鲁威列出的形式之前，更古老的埃及和美索不达米亚文明早在公元前1500年就有了影子测量装置。尽管这是现存最早的日晷的日期[3]：-
... 日晷可能早在第三个千年就被发明了，当时埃及祭司开始将夜晚和白天各分为十二等份。
一份公元前1290年的葬礼文本，提及公元前19世纪的天文事件，给出了如何建造“影杆”的说明。[4]
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这个影子钟由一个底座和位于一端的直立杆组成。由于一天中影子的角度变化，有人推测直立杆上添加了一根横杆以加宽影子，使其总能落在钟上。无论是丧葬文本还是现存实物都没有横杆，不过有一件标本的直立杆两侧有孔，这可能暗示有这样的添加。[4]
实际上，影钟需要每天中午旋转一次，以便能够标记上午和下午的时间[5]：-
头部朝东时，通过缩短的影子长度标记出4个小时，之后将仪器反转，头部朝西，以标记下午的4个小时。
据说在早晨太阳照到钟之前已经过了两个小时，而在太阳离开钟之后到夜晚开始之前又过了两个小时。假设日出前的晨光被计为一个小时，并且从日出到直立杆在钟上投射出可观察到的影子之间又过了一个小时。（日出时的影子长度将是无限的，因此无法用来标记时间。）同样，在傍晚也过了两个小时。[5] 钟上指示这四个小时的标记非常不准确，可能并非基于观察，而是基于某种天体几何学的谬误。[4]
至少从公元前1200年起，埃及就在使用类似于维特鲁威所说的那种日晷。这些是垂直悬挂的日晷，呈半圆形，顶部中央有一个水平晷针。“在清晨和傍晚，影子在这样的日晷上扫过的速度比正午前后更快，但埃及人只是将日晷盘面划分为12个15°的扇区或‘小时’。这也许是晷针使用中最粗糙的次序，对希腊人来说既没有理论上的也没有经验上的意义。”[4] 埃及在计时方面的进一步发展似乎逐渐衰落，直到公元前7世纪亚述人入侵。[4]
在埃及坎塔拉发现了一个近乎完整的日晷，可追溯至大约公元前320年，比影钟的使用晚了超过一千年[6]：-
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晷针是一块垂直的块状物，位于倾斜面的底部，其高度和宽度与倾斜面相同。一侧设有装置，可以悬挂铅锤，使其自由摆动而不触及底座。该仪器放置在平坦表面上，每当使用时，就转动它使其直接面向太阳。晷针的影子随后落在倾斜面上。从倾斜面顶部到底部延伸的平行线所划分出的空间，显示了在一年中不同月份影子应被读取的位置，从一端的夏至开始，到另一端的冬至再返回。
沿表盘面有一组斜线，从冬至边缘斜向夏至边缘。
早晨六点时，影子会落在表盘的顶端；随着太阳升高，影子的长度会缩短，直到正午时触及最低的那条线；到傍晚六点，它又回到表盘的顶端。
这个日晷以及其他类似设计、留存至今的日晷，并不是非常精确[6]：-
如果要显示正确的时间，某些修改本是必要的。这种不精确，部分原因可能在于它们只是更大或更精确仪器的模型，尽管这类日晷要么必须小到便于手持，要么必须有某种装置，使它们能够轻易转动。
在希腊世界，最早的日晷“由一个垂直的立柱或插在平面上的杆状晷针构成，晷针的影子用来指示时间。”[7]这与现代设计相反，现代日晷的晷针倾斜，与地轴平行。在这种现代体系中，表盘面上表示小时的线从中心点发出，并保持笔直。正是晷针边缘落在这些线上的影子给出时间。季节变化实际上无关紧要[7]：-
在带有垂直晷针的古代日晷上，一天中任何给定时刻影子的方向都随季节而变化。因此，对于确定时辰来说，影子尖端的位置才是关键。随着太阳移动，影子尖端在晷面上划出一条曲线，这条曲线从夏季到冬季会发生变化。
在这种日晷的晷面上所描出的曲线，可能导致了圆锥曲线的发现，这被归功于公元前四世纪的梅内克穆斯[7]
太阳在其每日运动中于天空划出一条圆形路径。晷针的针尖是一个以太阳光线为母线的锥面的顶点，而由于晷面截割该锥面，影子的路径就是一条圆锥曲线。如果梅内克穆斯或其他人在某一天用一系列点标出这条路径，他就会“发现”一条双曲线。
应当注意，在南北极圈之间，二至曲线只是双曲线。除两极外，在每一纬度上，二分曲线都是一条直线。[8]在南北极圈处的二至线将是抛物线，而在极圈以内，它们将是椭圆。椭圆很容易看出，因为在北极的极昼期间，太阳在地平线上方绕行一整圈，因此晷针的影子会描出这条闭合的圆锥曲线。[7]
在这些水平日晷上描出的晷针影子尖端的路径形成了一种类似斧头的图案，称为pelekinon（源自希腊语中表示斧头的词）。[7]
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该图案由一条描出冬至日影子路径的双曲线、一条描出夏至日影子路径的双曲线，以及介于两者之间标出二分日影子的一条东西向直线组成。从晷针底部出发、位于晷面南侧并正朝北延伸的一条线表示正午。（由于报时装置是晷针尖端的影子，晷针可能是倾斜的。晷针的角度无关紧要。[9]在这样的日晷中，正午线将从晷针尖端与晷面之间垂线的底端延伸出来。）这些双曲线以这条正午线为中心。冬至双曲线朝北张开，夏至双曲线朝南张开（假设日晷位于北半球）。除中央的正午线外，两侧还添加了额外的斜线，以表示正午前后的白昼时辰[8]：-
从保存下来的水平日晷实例可以明显看出，在希腊—罗马古代，连接夏至、二分和冬至各时辰点的直线被用来近似这些时辰线。
此外：-
……几乎所有保存下来的水平日晷上的至日曲线都是用连接各时刻点的折线来近似的。这似乎表明，制晷者在雕刻这些日期曲线之前，先在晷面上确定了这些时刻点。
这类日晷是否全部或部分是通过观测还是计算绘制的，至今仍有争议。确实有证据表明，当时使用了投影方法来确定时刻点[8]：-
维特鲁威和克劳狄乌斯·托勒密都描述了 analemma，对于给定的太阳位置，它们可用于确定晷针在平面日晷晷面上投下的影子的长度和方向。
具体而言，在其著作《论 analemma》中，克劳狄乌斯·托勒密给出了在给定太阳赤纬、地面纬度和一天中的时刻的情况下，通过三角学和作图法推导太阳相对于地球上给定地点的三对球坐标的方法。尽管他没有明确说明，但每一对球坐标都特别适合用于求某类平面日晷上晷针影子的长度和方向。
使问题更为复杂的是，日晷曲线网络的确切规格随日晷所在纬度而变化。如果用数学方法来制作日晷上的图案，理应把预期的纬度考虑在内。然而，人们发现的日晷所在纬度相差可达7度（距离超过700公里）。这种差异最显著的例子是罗马的第一件官方计时器——日晷。公元前264年，罗马人在西西里的一场战争中缴获了一个日晷。尽管纬度相差约4度，这个日晷为罗马服务了将近一百年，之后才为罗马城校准了一个新日晷。而这是在该日晷的时间存在可观察到的误差的情况下发生的[9]：-
尽管地上棍子的影子看起来是最简单的计时器，但水平日晷要按临时小时制划分出小时区间，比球面或圆锥截面的日晷更为复杂……因为要调整制作它所需的几何图形，就必须对平面上双曲影线路径的起源有基本理解。
这个几何图形就是上文维特鲁威所说的analemma。analemma则是：-
……将天球投影到一个平面上，再由此推得日晷表面上各小时的位置。维特鲁威描述了这一基本图形……尽管他此处的文字有些晦涩，而且无论如何，他很可能并未清楚地理解自己在描述什么。
在描述了如何找到昼夜平分线以及二至点正午点之后，维特鲁威关于analemma的论述以如下内容结束[2]：-
一旦按指定方式绘制并完成了这一作图，包括冬季线、夏季线、昼夜平分线和各月线，那么此外，还应沿analemma的形状刻上小时体系。在此基础上还可以加入许多种类和样式的日晷，它们都通过这些富有创造性的方法划分出来。然而，所有这些图形及其描绘的结果都是一样的：即春分日、冬至日和夏至日的白昼都被等分为十二部分。因此，我并非因懒惰而选择略去这些内容，而是为了避免写得太多而令人厌烦……所以，我只打算讲述流传到我们这里的那些种类，以及它们分别由谁发明。
维特鲁威的这种轻蔑态度支持了如下说法：他并未完全理解如何将analemma应用于日晷。而且，尽管他声称任何日晷都可以由analemma,构造出来，但只有后来的作者才给出了这类构造的细节。[9]
虽然最初的制作需要付出更大的努力，但绘制日线和时线的简便性使得古代球面日晷比平面日晷更受欢迎。[9] 球面日晷的基本原理是它镜像了太阳在其中运行的天球。基本制作方法包括挖空一个半球（或球体的较小楔形部分），使其顶部与地平线平行。设置一根晷针，使其尖端位于半球中心并与地平线平面齐平。在任何给定的一天，晷针尖端投射的影子会在日晷表面上描绘出一段圆弧。
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夏至的弧线最靠近半球底部。随着季节向冬季推移，这些弧线越来越接近半球的上边缘。这些每日弧线都是平行的，而春分秋分的弧线是一个与半球同心的半圆（一个大圆）。[8] 时线不是圆形曲线，除了地平线上的那些（标记日出和日落）和正午线。这些是大圆，垂直于二分圈[8]：-
尽管时线不是圆形的，但在纬度低于45°的地方[包括整个地中海]，子午线与地平线之间的季节性时线非常接近于通过至日和二分曲线上相应季节性时点的大圆。保存下来的球面日晷上刻的时线似乎就是这种大圆近似。在少数划分了超过三条日曲线的日晷上，甚至无法检测到时线与大圆的偏差。
因此，标记时线既不需要仔细的观测，也不需要复杂的数学。所需要的只是用大圆将接收晷针阴影的半球区域分成十二等份，就像现代地球仪被经线划分一样。为了进一步简化球面日晷，如果日晷的唯一目的是作为时钟，那么日曲线不需要对应于二分或至日。为了便于读取，只需要两三条平行的圆弧（即相应的“纬度”线）。在庞贝、赫库兰尼姆、奥斯蒂亚和罗马等遗址发现了几个这样的日晷实例。只有当日晷用作日历时，这些线才需要对应于二分和至日。[8]
文章的第二部分讨论水钟。
关于第二部分，参见 古代世界的计时：水钟