数学史专题
本文第二部分讨论水钟。文章第一部分讨论日晷。
关于第一部分，见古代世界的计时：日晷
水钟，或称klepsydra,，很可能是为了应对日晷的缺陷而发展起来的，即日晷在没有太阳时无法工作，也无法保持恒定的时间划分。不过，后者只有在需要计时器而非时钟时才是问题。klepsydra可以执行这两种功能。
最早、最简单的水钟是小碗。碗中央有一个小孔，水可以通过它流动。把空碗放入一盆水中，随着水通过小孔渗入碗中，碗会下沉。看钟人会宣布时间间隔已过，然后重新放置碗使其再次下沉。[10] 这个过程很容易反过来，让水从小水箱中流出而不是流入。小孔可以被塞住以阻止水流出。这种钟的直接用途是在法庭上为演讲计时，最著名的是在雅典。若干雅典文献表明，这种司法水钟在公元前430年左右已普遍使用，包括亚里士多德、剧作家Aristophanes和演说家Demosthenes。[11] 这种水钟被用作计时器，以防止审判和演讲时间过长。演讲或审判的类型决定了钟中要注入多少水。[12]
要将klepsydra从单纯的计时器转变为真正的时钟，起初只需接住从装置中流出的水并测量所接水的高度。这通常通过在容器上标出白天（现在也包括夜晚）的时辰来实现。为便于观察，在容器中加了一个浮子。不久便出现了更复杂的变化，维特鲁威将其归功于亚历山大的Ctesibius [2]：-
首先，他制作了一个由黄金或穿孔宝石制成的孔口，因为这些东西不会被水的冲击磨损，也不易受到腐蚀，因此不会堵塞。现在，水均匀地流过这个孔口，抬起一个倒置的碗，钟表匠称之为phellos或tympanum（鼓）。一根杆固定在这个浮子上，其另一端的齿与旋转鼓上的类似齿啮合。这些小齿一个推动下一个，产生微小的旋转和运动。同时，其他杆和其他鼓，以同样的方式装有齿，被一种运动驱动，通过它们的旋转产生各种效果：雕像移动，球门柱被翻转，石头或鸡蛋被抛出，喇叭吹响，以及所有其他娱乐活动。
这个装置出现了几个问题。第一个问题是需要恒定的水压来保持水流恒定。第二个问题是水钟需要与日晷相匹配。换句话说，水钟不能一年中每天都保持恒定的小时，而是需要不断调整，以便每天始终有十二小时，每晚十二小时。
第一个问题的解决办法是让klepsydra由一个大水库供水，水库中的水保持恒定水位。
需要有一股持续的水流进入蓄水池。这股水流大于蓄水池底部供给时钟的水量损失。在蓄水池顶部附近设有一根溢流管，用以固定水位高度。这样便维持了恒定的水压。在雅典的罗马集市中，一座被称为风之塔的大型石制klepsydra仍有许多部分留存至今。人们仍能看到这座钟的蓄水池从恰如其名的克勒普西德拉泉获得水源的位置。检查表明，其溢流管曾被用来向装饰这座塔的几座喷泉供水。[13]
保持每天和夜晚的十二个小时与日晷上标出的时长相等的难题，曾以多种方式解决。维特鲁威给出了几种解法，其中最简单的一种如下[2]：-
在这些[各种娱乐活动]中，小时被标记在柱子或壁柱上——一个小雕像从底部开始，用一根魔杖在整个白天依次指示它们。日子的缩短和延长必须通过添加或移除楔子来逐日逐月地校正。
水的旋塞应该按照以下方式制作，以便它们可以被调节：制作两个锥体：一个实心，一个空心，在车床上加工，使其中一个可以进入并适配在另一个内部，它们在同一个杆上的分离或伸缩应该使得水要么有力地要么轻柔地流入水箱。因此，通过这些原理和这个装置，可以使用水来组装一个供冬季使用的时钟。
插图：Mintz_8.jpeg ↗
维特鲁威所说的空心锥体，是蓄水池底部让水流入时钟的开口。实心锥体通过一条链与蓄水池顶部水位线以上的横杆相连。通过在横杆与其支架之间插入楔子，可以升高或降低链条和锥体，从而让或多或少的水从蓄水池流出。在冬季月份需要放出更多的水，使时钟更快地充满，以对应较短的白天。在夏季，需要的水较少，使时钟充得更慢。夜间则需要相反的安排。楔子的大小以及它们对应哪些日子、哪些周或哪些月（取决于所需的精度），需要用日晷或半年的观测来校准。[2]
还使用了其他装置，通过调节储水箱的水流来改变小时的长度。一种特别的机制是一个带有365个大小不同孔洞的圆盘。对应于冬至日期的孔最大，夏至的孔最小。这两个孔位于圆盘的两端，其他孔则按大小递增或递减排列在它们之间。来自储水箱的水会在一年中相应的日子流过其中一个孔。每天结束时，圆盘会旋转一个孔的位置。这样，钟在一年中的每一天都会以正确的速率充满。同样，这种方法需要用日晷或仔细的观测来校准。[2]
插图：Mintz_9.jpeg ↗
改变钟的“面盘”并让水流全年保持恒定，也可以解决季节性小时变化的问题。这种水钟可以追溯到公元前三世纪，也被归功于Ctesibius。恒定流入钟内的水会通过浮子缓慢升起一个指示器，例如一个带棍子的小雕像。棍子会指向显示在柱子上的时间。柱子周围的小时标记会反映一年中小时的缩短和延长。然后可以定期旋转柱子以保持钟的准确。[2]稍加巧思，钟里的水还可以每天用来旋转柱子。
使用一个小管作为虹吸管，当一天结束时时钟完全装满水，水通过管子排空并落到一个小水轮上。通过齿轮系统，水轮的转动会旋转标有小时的柱子。[11]
愿神明惩罚那第一个发现
如何区分时辰的人！也惩罚他们，
那些在此地竖起日晷的人，
把我的一天如此悲惨地
切成小块！
Maccius Plautus（公元前250-184年）
文章的第一部分讨论日晷。
关于这第一部分，见古代世界的计时：日晷