开普勒行星定律Kepler's Planetary Laws

1. 引言

这篇关于约翰内斯·开普勒的数学天文学的叙述很可能挑战一些珍视且长期持有的信念，因为关于开普勒的大部分内容要么基于二手或三手资料，要么集中于他的天文学背景和技术。但开普勒是一位才华横溢的几何学家，直到现在还没有对他的工作（源自原始拉丁文）进行研究，以突出他辉煌的数学方面。虽然对其成功的分析得出了一些意想不到的结论，但本概述已得到学术历史期刊上发表的文章的详细认可。这些文章列在末尾提到的网站上；它们还包含对传统叙述的引用，而这些叙述正逐渐被取代。

开普勒（1571-1630）最伟大的成就是发现了行星运动定律。共有三条这样的定律，但这里我们只讨论前两条——即支配单个行星运动的定律。这些定律见于Astronomia NovaⓉ（《新天文学》）1609年，其基础是EpitomeⓉ（《哥白尼天文学概要》）第五卷（1621年）中的重要工作。定律如下：

• 第一定律（椭圆定律）——行星的曲线或路径是一条椭圆，其矢径从固定在一个焦点上的太阳量起。
• 第二定律（面积定律）——行星到达某一特定位置所需的时间，由从固定的太阳引出的矢径所扫过的面积表示。

从这些定律我们可以求出：行星在给定时刻的位置，或者行星处于给定位置的时间。（时间由行星完成一整圈所需总时间的分数来度量，这被称为它的周期$T$。开普勒遵循古人的做法，总是从离太阳最远的点开始测量。）几乎可以肯定，开普勒是在Astronomia NovaⓉ（《新天文学》）第一章中引入术语“orbit”的人，为此我们将精确地把轨道定义为一对独立成分：路径或曲线，以及一种（几何的）表示时间的方式。（先前使用的术语“orb”具有完全不同的含义。）

开普勒的主要目标是找到一个能满足观测的解——就此而言，他具备现代科学家的眼光。此外，文艺复兴时期的科学家认为，用可用的最简单手段解释观测结果，从而揭示自然运作的方式，是他们的职责。开普勒深受柏拉图以及他对上帝的根本信仰的影响，比同时代人更强烈地相信数学有能力揭示表象复杂性背后的宇宙秩序，他在天文学中极为有效地运用了这一简单性标准。

关于开普勒的生活境况及其工作背景，MacTutor biography中还有大量补充信息。这将为目前对其天文学工作的详细叙述提供有用的背景。

2. 观测背景

开普勒最初研究火星轨道，是因为这是第谷·布拉赫（1546-1601）分配给他的任务，当时开普勒于1600年前后到布拉格加入了他。在他们那个时代——实际上直到相对晚近——天文学家的目标是实现对角度的精确观测，原因很简单：没有其他特征能被直接测量。第谷积累了跨越30年的大量观测资料；这些大概是用肉眼所能做出的最精确的观测，因为不久之后伽利略（1564-1642）就把望远镜引入了天文学（1610年）。第谷研制、改进并交叉校验了他的仪器，有时达到2′的精度（这大约是一臂之遥处一根头发的宽度）。

碰巧火星是唯一无需望远镜就能探测到其非圆性的行星，而它的可观测性得益于四个因素：

• 它是一颗外行星（因此很少能在靠近太阳处被观测到）；
• 其轨道的非圆性是外行星中最大的；
• 它是外行星中离地球最近的（因此位置变化显得更大）；
• 它是外行星中离太阳最近的（因此绕行更频繁，产生更多观测数据）。

3. 哥白尼式的信念

自希腊时代以来，对行星系统的公认描述一直是几何式的，被称为托勒密理论（一种geocentric configuration），该理论假定地球固定于宇宙中心，月球、太阳以及五颗已知的（肉眼可见的）行星围绕它旋转。地心说显然与感官证据相符——同时也是教会唯一可接受的安排——与尼古拉·哥白尼（1473—1543）提出的heliocentric configuration形成对比。开普勒是在图宾根大学求学时由其老师米夏埃尔·梅斯特林（1550—1631）引入哥白尼学说的。尽管同时代人普遍迟迟未能认识到这一新观念的任何优势，开普勒却热情地采纳了哥白尼理论，因为它更为简洁——这使他得以抛弃托勒密理论中那套（五个）庞大而累赘的epicycles（它们解释了我们如今认为是地球实际运动的现象）。事实上，开普勒通过明确规定两条基本原则，赋予了哥白尼理论一种新的数学精确性，这两条原则与他所坚信的太阳在隐喻意义上是上帝所在之处相一致：

• 太阳是宇宙的固定中心。宇宙以恒星为边界，由六颗已知的（主要）行星组成，现在包括地球，而月球则被降级为地球的卫星（这一术语由开普勒本人创造）；
• 太阳负责所有天体的运动。

因此，开普勒对日心说的解释为他提供了一个原点，由此可以确定太阳与行星的距离，从而发现行星的实际路径。这本身就是一个极其重大的突破，此外，这意味着他摆脱了（传统上归于柏拉图的）戒律的限制，这一戒律曾主导了包括尼古拉·哥白尼在内的先前天文学家的方法；该戒律要求天上发生的一切都应由完美圆上的匀速运动来解释。开普勒的新天文学确实建立在圆的基础上，但这有不同的原因，我们将在第5节中解释。

4. 观测数据的约化导致理想化

在Astronomia Nova Ⓣ（《新天文学》）的前几章中，开普勒开始了一项“归算观测”的计划（这个术语意味着尽可能消除由于观察者在时间和空间中的位置所导致的所有影响）。他发现繁重的计算和必要的核对“机械而乏味”，正如他后来所说：他没有对数带来的便利，对数直到1614年才由约翰·纳皮尔（1550-1617）发明。开普勒通过一系列步骤进行了向日心说的归算，并进一步简化了程序：

• 为了将观测从地心说基础转换到日心说基础，他应用三角测量法，确保每个火星距离都如同从固定的太阳测量一样。考虑到观测中不包含距离测量（如第2节所述），这涉及将所有火星-太阳距离用地球-太阳距离来表示，后者被视为标准单位或“基线”（由于地球的路径非常接近圆形，这种近似恰好足够精确，符合开普勒的目的）；
• 他验证了每颗行星的路径都位于一个通过太阳的平面内；
• 他验证了观测结果与行星所描绘的曲线具有单一对称轴这一事实相符——该对称轴被认定为拱点；
• 最后，他根据许多世纪积累的知识，将长期变化的平均值列成表，这解释了许多剩余的小的不规则性。因此开普勒知道了他应该允许作为补偿的角度量。

为了为他研究天文学的新方法提供基础，开普勒采用了与观测相符的最简单的几何结构。因此，当他完成了上述步骤后，他觉得有理由假设一条单一的、闭合的（重复的）平面曲线将代表行星的路径；这一假设隐含了如今称为理想化的过程（即忽略宇宙中其他天体的存在，正如我们现在所知）。这种结构上的简化使开普勒能够孤立地考察每颗行星的轨道，因为行星之间所有的相互作用都被消除了。而且由于它是用几何方式表达的，其解有可能是精确的——单颗行星在平面内绕固定太阳的闭合轨道。

5. 欧几里得几何的本质正交性

在开普勒的时代，现代代数符号和技巧才刚刚发展起来，但就他的天文学研究方法而言，开普勒完全依赖于他在图宾根大学接受的欧几里得传统几何学训练，这是为牧师职业所做标准准备的一部分。（这原本是开普勒打算从事的职业，他一生都是虔诚的路德教徒，尽管有些非正统）。欧几里得的Elements严格规定（在前三个公设中），唯一允许的作图手段是直尺（无刻度尺）和圆规。因此，Elements几何学的显著特征是它仅依赖直线和圆。这些随后在欧几里得关于圆的最早命题之一中被结合起来，该命题实际上指出，当圆的直径与其圆周相交时，会形成一个直角。众所周知，一对（数学定义的）有向量相互独立当且仅当它们成直角：使用欧几里得的术语“正交”表示相互垂直（它在Elements第一卷中被定义），这将被命名为正交独立原理；事后看来，它将证明我们分别处理路径和时间测度的合理性。（此外，当开普勒将他的研究建立在亚里士多德所指定的仅有的两种简单运动——圆周运动和直线运动——之上时，同一原理也被援引，这在第9节中讨论。）这一原理具有深远的影响，正如我们将结合开普勒在Epitome Ⓣ（《哥白尼天文学概要》）第五卷（1621年）成熟著作中反复出现的互补配对来证明的那样——其中“互补”一词既用于日常意义上的一对相互补全，也用于成直角的数学含义。应用这一原理带来了简单性的巨大飞跃，因为直观上显而易见的是，分别处理一对分量中的每一个比处理将它们组合产生的合成量更容易。对于开普勒来说，简单性是他处理方法的标志，并压倒性地促成了他的成功。

开普勒始终对他的希腊前辈表现出最大的尊重，并彻底阅读他们的著作，选择可以纳入他新天文学综合体系的材料。除了频繁应用克劳狄乌斯·托勒密（活跃于公元129-141年）的三角学命题外，开普勒还精确地使用了阿基米德著作中的三个命题；其中一个在为第6节提供几何支持方面至关重要（另外两个——一个在第7节引用，一个在第11节引用——涉及对“无穷小”考虑的创新方法，远远超出了传统几何学）。然而，一些读者会惊讶地发现，开普勒在他的天文学工作中从未依赖阿波罗尼奥斯。在1594-1604年间的某个时候，开普勒研究了阿波罗尼奥斯的Conics，并对其表示极大的钦佩，在他的光学和stereometrical著作中通篇引用它——然而他在天文学方面从未提及它的任何命题。这是因为Conics是用斜（非正交）参考系（坐标系）表达的，开普勒隐含地拒绝将其用于天文学研究（他也不需要它的任何命题，正如我们在第6节中确认的那样）。同时，我们重申开普勒的信念，即欧几里得的Elements概括了唯一可以恰当地应用于天空的几何学，毕竟天空是上帝的领域。他将任何其他处理方式称为“非几何的”——在他看来，这近乎异端。

6. 构造路径

尽管他从第谷那里继承了辉煌的遗产，开普勒知道无论有多少经验观测，都无法给他所需要的理论结构。因此，当他尽可能补偿了观测的不确定性之后，开普勒转向了几何研究——见图(1)。他首先假设一条固定/已知的拱线CD，其上位于已知“偏心”距离AB处有固定点A（太阳的位置）（所有这些都先前由第谷的观测确定），其中B是CD的中点。（为方便起见，从现在起我们将使用代数记号BC = BD = $a$，AB = $ae$，尽管这是一种时代错置。）

插图：Davis_fig1.gif ↗ 图1

开普勒从图(1)所示的初始框架出发，该框架可被描述为标准托勒密式的，只是开普勒自动将其从地心模式转换为日心模式。他采用了deferent、本轮和eccentric的传统机制，并且像古人一样意识到，在以A为中心、半径为$a$的圆上的运动，当与半径为ZQ = AB = $ae$的本轮（其中心Z位于均轮上）上的运动相结合时，共同产生的Q的运动等价于Q绕以B为中心、半径为$a$的偏心圆的简单运动。（数学家们可能愿意将ABQZ视为一个“圆运动的平行四边形”。）我们将像开普勒那样指定他提出的三个相继轨道中任何一个的典型点——由偏心圆中心处的角确定，为区分起见我们将用β表示。（这种用法得到了传统的确认，因为在古代天文学中，运动由旋转的组合构成，而这些旋转由其各自圆心处的角来度量。）于是，由平行线AZ和BQ可得对应角，因此：

∠QBC = ∠ZAB = β。

这个角β在古代和现代天文学中都称为“偏近点角”（不过我们在此将避免使用这个名称）。如我们将要展示的，纵坐标QH在开普勒的推理中也极为重要，我们将集中讨论开普勒在采纳了那条能为其目标提供合理路径的方法之后所取得进展的三个主要阶段。

在第一阶段，开普勒把偏心圆上的点Q作为典型点，因此他检验了偏心圆本身作为候选路径。然而，他发现这几乎在所有位置上都会使行星离太阳太远。于是他最终否定了每颗行星沿单一圆运动的观念，并着手寻找行星路径的实际曲线——自然，这必须依据欧几里得的几何学由圆（的弧）组合来构造，因为开普勒不承认其他任何东西适合天体。

插图：Davis_fig2.gif ↗ 图2

三条相继提出的路径的典型点都被命名，各自的构造如图(2)所示。显然，产生这些点所需的结构已经或潜在地存在于图(1)中，其依据是选定的值QBC = β。这很重要，因为——正如我们将在第7节中看到的——时间也用β表示，所以共同的β值确保了同时性。开普勒所采取的三阶段程序是：沿AZ取几何定义的点(K'、K''、K)，每个阶段依次取一个，然后以A为圆心画相应的圆弧（半径AK'、AK''、AK），使得每条弧分别终止于一个几何定义的点（Q、V、P）。这些阶段根据Astronomia NovaⓉ(New Astronomy)中各构造出现的章节来分类：

• 第一阶段（第39—44章）：大级别曲线——外边界。在这个特殊情形中，构造出AQ = AK'，但典型点已知是偏心圆上的Q。
• 第二阶段（第45—50章）：小级别曲线——内边界。K''位于偏心线上，并构造出AV = AK''，以确定位于本轮上的典型点V。（开普勒在这一阶段尝试了许多变体，但这是唯一被恰当定义的卵形线）。
• 第三阶段：中级别曲线（第51—60章）——在观测上令人满意。K位于从Q向AZ所作垂线的垂足处，并构造出AP = AK，以确定位于纵坐标QH上的典型点P。

一如既往，通过与开普勒的观测进行仔细比较，开普勒发现第一个结果（Q）超出了，第二个结果（V）则不足。最后，大致位于中间的P点被证明击中了目标（与观测相符）。关于战神的类比——战胜战神玛尔斯——是开普勒自己的说法，对他所发现的、被他命名为“卵形线”即蛋形（总是关于拱线对称，但从不假设有第二条对称轴）的那些非圆曲线的描述也是如此。即使对这些曲线一无所知，人们也可以想象用一台数学“分级机”按宽度对它们进行分类，分别得到BF'、BF''、BF，如图(2)所示（按同样的步骤取β = 90°构造出的特例）。

插图：Davis_fig3.gif ↗ 图3

因此，最终令开普勒满意（在第58章中）的所得半径向量AP，是从所构造的矩形AKQR出发，仅通过欧几里得式的——直尺与圆规的——作图，以几何方式定量确定的，如图(3)所示：

AP = AK = QR = BQ + BR。

这种关系如今被称为第一定律。

[为便于参考，在末尾的汇总表中用现代术语表述：另见文章行星运动的运动学处理。]

然而，这样的作图法此前从未被发明过，开普勒也完全不知道上述关系所表示的是什么曲线。不过，他确实知道，如果这条曲线是椭圆，那么典型的点P将满足一个他在阿基米德的著作中遇到过的重要条件：On Conoids and Spheroids命题4（其中甚至在当时就把它当作众所周知的事实来陈述）：

PH/QH = BF/BC

有充分理由相信，这是椭圆最早的平面定义（因为它可以直接从圆锥的一个截面经过三个简单步骤推导出来[1]），同时也是开普勒的同时代人最常用——如果不是唯一使用——的定义：它正是纵坐标的比值性质。如今有些人会认出它就是“压缩圆”性质。

将这条曲线认定为椭圆，还依赖于开普勒在第59章命题VII中建立的一个关系，我们在此用现代术语来表达它（记BF = $b$表示半短轴），并认识到$e$现在将表示（焦点）离心率：

$a^{2}e^{2} = a^{2} - b^{2}$。(1)

这或许可以恰当地称为椭圆的“焦点固定性质”，因为当长半轴和短半轴已知时，它确定了焦点的位置。开普勒 在 Astronomiae Pars Optica Ⓣ（《天文学光学》）(1604) 中已经结合他对视觉的研究发明了“焦点”这个术语，尽管他当时并未意识到它与他的天文学的联系——在 Astronomia Nova Ⓣ（《新天文学》）中，他只是把点 A 称为 punctum eccentricum，即偏心点。然而，这个特定椭圆的焦点位置至关重要。除非它的焦点与固定的太阳（原点）重合，否则这项研究将过于复杂，无法用几何学处理。实际上，开普勒 的方法之所以成功，正是因为在这种情况下椭圆比任何圆都更简单——这是一个看似不太可能的断言，但在 行星运动的运动学处理 中得到了证明。

在Astronomia NovaⓉ（《新天文学》）第59章命题XI中，开普勒给出了一个严格的几何证明，表明他构造的典型点满足定义椭圆的比值性质。因此，不能认为开普勒只是选择了一个椭圆并用观测数据加以检验（许多读者可能被告知如此）。由于其重要性，该证明已被多次转载[2]；尽管在风格上现代化了，并为了增强效果而重新编排，但显然其实质并未改变，因为它所依赖的不过是毕达哥拉斯定理和相似三角形的性质。因此（除了使用上述定义(1)之外），该证明完全基于欧几里得的Elements中引用或隐含的命题。顺便说一句，这进一步证实了我的论点（在第5节中），即开普勒发现椭圆时并未依赖阿波罗尼奥斯的Conics——在他的天文学中，他根本不需要如此复杂的东西。

开普勒给出了一个严格的几何证明，表明他构造的典型点满足定义椭圆的比值性质。因此，不能认为开普勒只是选择了一个椭圆并用观测数据加以检验（许多读者可能被告知如此）。由于其重要性，该证明已被多次转载[2]；尽管在风格上现代化了，并为了增强效果而重新编排，但显然其实质并未改变，因为它所依赖的不过是毕达哥拉斯定理和相似三角形的性质。因此（除了使用上述关系(1)之外），该证明完全基于欧几里得的Elements中引用或隐含的命题。顺便说一句，这进一步证实了我的论点（在第5节中），即开普勒发现椭圆时并未依赖阿波罗尼奥斯的Conics——在他的天文学中，他根本不需要如此复杂的东西。

7. 构造时间的表示

这项研究与行星路径的构造同时进行，但彼此独立。从日心的观点来看，特别容易意识到行星离太阳越远运动越慢（越近则越快）。因此，正如 开普勒 所认识到的，一小段（微观）时间间隔与行星到太阳的相应距离之间存在联系。然而，开普勒 在 Astronomia Nova Ⓣ（《新天文学》）中的实际问题是找到一种方法，来测量行星到达轨道中间点处典型位置 (P) 所需的时间。起初，他提出这个（宏观）时间（微观时间间隔之和）可以用几何方式表示为所有相应日心距离之和。在第40章，即第6节所述三个阶段的第一个阶段，开普勒 将这一点付诸实践，他引用 阿基米德，Measurement of a Circle，命题3，来证明他把距离之和等同于圆的一个扇形的面积是合理的。

插图：Davis_fig4.gif ↗ 图4

接下来，开普勒 推广了那个命题，并取从偏心点（A，太阳的位置）出发的距离之和（近似）正比于偏心扇形的面积（面积 QAC，如图 (4) 所示）。然后他用几何方法演示了如何求这样一个扇形的面积（在他需要时设计了分割面积的替代方法）：

偏心扇形 QAC = 圆扇形 QBC + ΔQBA = 弓形 QHC + ΔQHA。

在第二阶段，出现了各种疑虑和干扰，但这些都被第三阶段搁置一旁，当时 开普勒 发现路径是一个椭圆（如第6节所述）。在第59章命题III中，他应用了纵坐标的比值性质，如图 (5) 所示，得到：

(线段PHC) / (线段QHC) = $b/a$。

类似地，由⟦E1⟧I, 39我们有：

ΔPHA / ΔQHA = $b/a$。

插图：Davis_fig5.gif ↗ 图5

利用这两个结果，再次从图(5)中，开普勒推导出：

椭圆扇形PAC = 椭圆弓形PHC + ΔPHA = $\large\frac{b}{a}\normalsize$ (弓形QHC + ΔQHA)。

因此，

椭圆扇形 PAC = $\large\frac{b}{a}\normalsize$ 圆扇形 QAC。

所以，在Astronomia NovaⓉ（《新天文学》）的结尾，开普勒已经发现，当行星的路径是椭圆时，轨道上的时间恰好与扫过的面积成正比。因此，面积表示法完全令人满意，因为它提供了一种本质上可量化的时间度量。（开普勒认为他最初的建议，即距离和表示法，相当不令人满意，因为它没有给出几何解释，因此无法提供精确的结果。幸运的是，这两种表示法表面上的不可调和性最终促使他对椭圆轨道的数学有了更精确的理解：见[3]。）

[用现代代数术语，从图(5)很容易建立：

圆扇形 QAC 的面积 = $\large\frac{1}{2}\normalsize a^{2}.\beta + \large\frac{1}{2}\normalsize a^{2}e \sin\beta,$

并且，

椭圆扇形 PAC 的面积 = $\large\frac{1}{2}\normalsize ab.\beta + \large\frac{1}{2}\normalsize abe \sin\beta$。

由于这两个面积都与时间成正比，从任一关系都可以推出：

时间 $t \propto \beta + e \sin\beta$。

这一结果在 行星运动的运动学处理 中以另一种方式推出。]

上述关系，以其最精确的形式表达时间 ∝ 面积，如今被称为第二定律。它出现在末尾的汇总表中以供参考。

8. 开普勒对这两条定律的后续论证

关于开普勒工作的叙述通常到此为止——但开普勒取得的成就远不止于此。首先，在1609年至1618年间，他确信六颗主要行星中每一颗的轨道都是以太阳为一个焦点的椭圆。他接着在Epitome Astronomiae Copernicanae Ⓣ（《哥白尼天文学概要》）中处理了行星运动及其原因的问题。该书共七卷，但只有第五卷（1621年）——部分地方由第四卷（1620年）支持——包含了真正具有创新性的工作。尽管书名如此，它概括的是开普勒式的而非哥白尼式的天文学。对运动的进一步确证见于Harmonice Mundi Ⓣ（《世界的和谐》）1618年第五卷第三章，其中除了涉及行星系统的主要讨论外，还有一些对单一行星的定量引用。遗憾的是，开普勒对运动的研究几乎没有得到同时代人的赏识，此后也大多被忽视。然而，他的理论在整体上的成功通过Rudolphine Tables（1627年）在实践中得到了证实——与其他天文表不同，该表在数十年间保持了观测上的精确性和实用性：见约翰内斯·开普勒。这些表是用β计算出来的，β现在可以认定为椭圆的辅助角。行星运动的运动学处理中进行的数学处理表明，这个角是某一结构的唯一合适基础，该结构之所以简单，是因为它依赖于正交性，因此是开普勒天文学唯一可行的基础。

9. 运动分量及其相关原因的本质正交性

插图：Davis_fig6.gif ↗ 图6

在De CaeloⓉ（《论天》）I, 3中，亚里士多德曾宣称只有两种简单运动：圆周运动和直线运动。据此权威，开普勒得以将他从Astronomia NovaⓉ（《新天文学》）中发现的一对结果（曲线以及独立确定的时间表示）分别对应于这些相互垂直的运动分量之一。因此，这引入了正交独立原理的另一个实例（实际上比欧几里得更早）。这些分量列于文末的汇总表中以供参考，并在图(6)中用实线箭头示出：

• 径向运动，由到太阳距离的线性变化来度量；
• 横向径向运动，由扫过面积的变化来度量：该运动被定义为绕太阳的圆周运动，因而恰好与径向运动成直角。（一些数学家称之为‘横向运动’。）的确，如果开普勒意识到赋予行星的其中一种运动严格地（尽管是瞬时的）是圆周运动，他肯定会感到欣慰，因为柏拉图的训诫（见第3节）毕竟并未被完全抛弃。

这对分量运动，其来源是太阳（见第3节），在图(6)中与用虚线示出的单一切向速度形成对比，后者在艾萨克·牛顿的工作中取代并替换了开普勒的运动分量。（因此，我们将排除对牛顿在大约半个世纪后发明的根本不同的方法的讨论，该方法关注的是路径周边发生的情况——这是开普勒永远不可能知道，也不会感兴趣的事情。）

开普勒处理运动原因问题的方法在任何数学意义上都不是对牛顿工作的预见（尽管一些以前的评论者持此观点）；相反，它受制于他在亚里士多德传统中的背景。尽管这种亚里士多德式“物理学”甚至在开普勒的时代就已过时，人们仍然相信，除非有“力”或运动的原因使其运动，否则物体不会运动。此外，这种“力”必须通过接触起作用；然后，物体只会沿“力”的方向运动，而“力”的大小决定了所产生的运动量。开普勒绝不可能设想太阳能够施加吸引力，因为这一概念在亚里士多德术语中并不存在。

10. 太阳的自转：横向运动的原因

我们将首先讨论横向运动的原因，因为行星绕太阳的旋转是日心宇宙最突出的特征，并且需要一个普遍的原因。开普勒通过发明太阳绕轴自转来解释这一运动。他在自转实际被确立之前几年就提出了这一点，约1610年，伽利略、克里斯托夫·赛因那（一位同时代的次要天文学家）以及独立地由托马斯·哈里奥特（约1560-1621）从太阳黑子的观测中确立了自转。因此，开普勒设想旋转的太阳发出的射线会“撞击”或推动每颗行星持续绕圈运行。自然，他预期当行星离太阳更远时这种推动会减弱，因此他合理地假设射线的作用会随距离成反线性变化（即减弱）。令人惊讶的是，这一原因的表述随后与文末汇总表中列出的横向运动的评估完全一致，正如行星运动的运动学处理中的现代处理所证实的那样。

11. 磁性：径向运动的原因

为了解释径向运动，开普勒显然需要一个对每颗行星都各自不同的原因，因为每个行星椭圆都有不同的形状。他选择了磁力，因为他偶然读到一本新近出版的书，De Magnete Ⓣ（《论磁》，1600年），作者是Gilbert（1544-1603），书中指出地球应被视为一个巨大的磁体。由于他坚信哥白尼学说，开普勒将这一观念推广，假设每颗行星都具有磁性，并在其体内固定有一组“纤维”，可被太阳的磁性激活；他还进一步假设每组纤维都具有一种独特的潜在磁“强度”，可与该特定行星轨道的个别偏心率相关联。不幸的是，这种原因被设想的作用方式不能与超距作用相关联（因为这是一个非亚里士多德的概念）。因此，将开普勒的磁力解释为一种“力”——无论是在亚里士多德语境还是现代语境中——都是不正确的，也是没有意义的。径向运动本身是通过取日心距离相对于辅助角微小变化的微小增量来计算的：见末尾的汇总表，行星运动的运动学处理中的现代处理证实了这一点。最终，这个原因自身提供了其正当性——因为它所产生的径向运动在数学上是合理的。

12. 相关联的一对正交原因

开普勒是第一个将因果概念引入天文学的人，并且根据他坚信哥白尼学说，他自然相信太阳是一切原因的生成者。此外，常识似乎表明，太阳只能沿径向或绕自身圆周方向连续作用（或激活），而对开普勒来说，这一考虑决定了可用原因的方向，并将其数目限制为两个。因此，这些原因（以及运动和轨道的组成部分）也受正交独立原理的支配。

因此，图(6)中所示的一对垂直分量运动中的每一个，都可以按照经济原理（亚里士多德的另一遗存）——每种运动一个原因——与它自己独特的原因相匹配，如文末汇总表所示。我们总结开普勒的最终假设：

• 先行的原因是太阳光线的作​​用，由于其旋转，产生了横向径向运动。这构成了一种完全可以接受的亚里士多德式‘力’，满足第9节所列的三个条件；
• 次要原因是磁力，由太阳产生，激活行星的纤维。太阳似乎仅仅作为催化剂来促进径向运动——绝不能将其视为牛顿力（也不能视为亚里士多德的“力”）。

事后看来，我们可以认识到，开普勒直到在他成熟著作中发现了相关运动之后，才能令人满意地确定这些原因。（不幸的是，开普勒的继承者们常常未能清楚地区分这些原因，因为他们只考虑了他在Astronomia NovaⓉ（《新天文学》）中的早期观点，当时他还没有理清头绪。）当然，以现代眼光来看，开普勒关于原因的最终观点完全错误，但它们非常合理：一个传统，另一个利用了当时最新的知识。

13. 结论：简单性标准

开普勒仅用初等几何就能对行星运动做出完整的解释，因此我们将突出他成就的两个首要原因，并将它们置于历史背景中。这两点对开普勒式分析来说都是新的。

1. 运动学（而非动力学）：单体问题
   直到1687年，牛顿（1642—1727）才给出了质量的定量定义[4]。（那部划时代的著作还包含了对轨道中切向速度的精妙处理，并提出了与吸引力概念相伴的加速度概念。）因此，显然开普勒不可能意识到太阳系中质量（的量纲）的现代含义，尽管他对轨道的解释确实涉及长度和时间两种量纲，正如我们已经展示的那样。因此，我们现在可以认识到开普勒的工作完全是运动学的，并承认他当时把每颗行星都当作宇宙中除固定太阳之外的唯一质点来处理是绝对合理的。这一过程（在第4节中）被称为理想化，因为它确保了一个唯一简单的（单体问题的）精确解。有趣的是，类似的情况也出现在伽利略——与开普勒同时代的人——的工作中，他通过忽略空气阻力将抛射体的运动理想化（为完美的抛物线）。每种情况下得到的解在某种意义上都是暂时的，但它们无疑是通向当今解的道路上的关键步骤。
2. 正交性
   与伽利略的工作还有进一步的类比，后者也为研究抛射体引入了运动的正交分量。然而，与开普勒不同，这些分量是水平和垂直的，但与开普勒一样，伽利略从未觉得有必要研究单一‘合成’运动的存在，也从未试图确定其方向。（在所有其他方面，两人的方法相当不同。）下表显示了开普勒行星天文学的基本正交结构。值得注意的是，这一解释形成了一个连贯的整体，无法再容纳进一步的原因。（这解释了本分析中任何地方都未提及‘引力’的原因——它只是在一些关于地月系统的单独讨论中被试探性地引入：在开普勒关于行星轨道的工作中，它完全是多余的。）

下表中为比较而提供的现代量化是在行星运动的运动学处理中得出的。因此我们得出结论，开普勒关于行星运动的工作令人满意地完整，而且是合理的，可能除了径向原因之外。