行星运动的运动学处理Planetary motion tackled kinematically

用辅助角表示的轨道运动

引言

如今天文学家承认，行星运动必须作为多体问题用动力学来处理，而多体问题必然没有精确解。目前教科书用二体问题来近似这种情况，而二体问题本身只有在艾萨克·牛顿（1642—1727）的工作[1]之后才变得可以分析。他那划时代的出版物是质量、力和加速度的可辨识现代表述的来源（事实上，甚至连合速度——切向速度——的概念似乎也是新的）。它开创了我们如今所知的动力学科学。

在那次突破之前，行星运动仅涉及一条路径（一条曲线）以及一种用几何方式表示的时间量度：也就是说，一种严格的运动学处理。按定义，这仅涉及长度和时间的量纲，而完全排除了质量的量纲。于是情况被简化为：一个行星（视为一个点）在一个平面内绕一个固定的运动源运动。（该理论最初是基于尼古拉·哥白尼（1473—1543）所发明的heliocentric configuration，以圆的形式发展起来的[2]。）在这种情况下，每个单独行星的运动都是孤立发生的，完全不受系统内任何其他成员的影响。这将特别被称为‘单体问题’。我们现在要考察的正是这种情况，并相应地调整我们的术语（特别是，将任何对‘速度’的提及都替换为更合适的术语‘运动’）。单体问题的天文学解由两条定律组成：

• 定律I（椭圆定律）——行星的曲线或路径是一个椭圆，其向径从固定于一个焦点的太阳量起。
• 定律II（面积定律）——行星到达某一特定位置所花的时间，由从固定太阳引出的向径所扫过的面积来度量。

这个复合解实际上代表了行星轨道的最早实例：下文将简洁地称之为“以太阳为焦点的椭圆”。我们现在将证明，在其明显的外部限制下，这个唯一解作为一门自足的数学具有普遍适用性。此外，这个主题具有重大的历史意义——因为上述两条定律的发现实际上发生在1600—1630年期间[3]，处于上述运动学情形之下：见开普勒行星定律。因此，评估当时实际所用技术的有效性是有意义的，以严格的现代方法作为比较标准。

出乎意料的是，这种分析是借助椭圆的辅助角进行的，而不是如今无一例外使用的（在太阳处的）极角：这是由于历史原因造成的——因为在采用日心说观点之前，太阳的位置在行星理论中并未发挥明确的作用。此外，运动学解在任何后来的动力学解中在性质上都是不同的，因为它具有精确的几何表示——而采用辅助角作为变量确保了处理结果尽可能简单。

在下文中，我们在第一部分确立椭圆作为路径的性质，在第二部分确立其作为轨道的性质；而在第三部分，我们将推导定律III，即综合行星系统的关系。

第一部分。焦点位于原点的椭圆的几何性质

(i) 向径的确定

插图：Kepler_1.gif ↗

该图显示了一个椭圆及其大辅助圆直径$CD$，中心$B$，其给定度量将用$BC = BD = a$表示，即椭圆的长半轴，以及$BF$ = $b$，即短半轴。焦点$A$通过几何作图构造：作$FM$平行于$CD$交圆于$M$，从$M$作垂线交$CD$于$A$（从而得到$AM = BF$）。然后我们令$AB = BE = ae$，其中$ae$由连接椭圆三个决定常数的关系式导出（可称为“焦点确定性质”）：

$a^{2}e^{2} = a^{2} - b^{2}$。(1)

这里必须认识到，$e$不仅表示焦点偏心率（“椭圆率”），也表示极偏心率，因为A既是焦点又是坐标的原点或极点（此处与太阳的位置重合）。否则，目前的处理将无效。

通过考虑（显然）全等的直角三角形$ABF$和$ABM$，我们得到$AF = BM = a$。这个长度AF随后被认定为“平均距离”，这在下面的第三部分中具有重要意义。

我们的推导将完全用辅助角来进行

$\angle QBC = \beta$。

这对现代读者来说将是不熟悉的，因为如今的标准处理总是基于极角$PAC = \angle PAC = \theta$。

我们从几乎可以肯定是最早的椭圆定义开始（因为它可以通过圆锥的平面截线分三个简单步骤导出，如[4]所述）。它使椭圆能够通过如今称为“纵坐标比值性质”的关系被视为一个“压缩的圆”：

$\Large\frac{PH}{QH}\normalsize = \Large\frac{b}{a}\normalsize$。(2)

现在由$\Delta QHB$，

$QH = a\sin \beta$，

所以由(2)，

$PH = \Large\frac{b}{a}\normalsize . QH = b \sin \beta$。

我们将首先用$\beta$表示矢径$AP = r$（尽管临时引入极角$\theta$作为辅助量会很方便）。然后可以从$\Delta APH$推导出两个几何等价关系，同样在图中示出：

$PH = r \sin \theta = b \sin \beta$ (3)

$AH = r \cos \theta = a(\cos \beta + e)$. (4)

将毕达哥拉斯定理应用于$\Delta APH$，我们得到：

$r^{2} = AP^{2} = PH^{2} + AH^{2}$

因此，

$r^{2} = b^{2}\sin^{2} \beta + a^{2}(\cos \beta + e)^{2}$。

利用(1)，

$r^{2} =a^{2}(1 - e^{2})\sin^{2} \beta + a^{2}(\cos^{2} \beta + 2e \cos \beta + e^{2})$

$= a^{2}(\sin^{2} \beta - e^{2}\sin^{2} \beta + \cos^{2} \beta + 2e \cos \beta + e^{2})$

$= a^{2}(1 + 2e \cos \beta + e^{2}\cos^{2}\beta).$

因此，

$r = AP = a(1 + e \cos \beta).$ (5)

这就是定律I：以焦点之一为原点的椭圆路径方程：见Kepler's Planetary Laws: Section 6。

(ii) 证明椭圆“比任何圆（除一个之外）都更简单”

我们考虑以某个偏心点为原点的圆的方程：作为示例，我们可以取圆$CQD$，圆心为$B$，如图所示，其中$A$应被视为原点或极点；仅就我们当前的目的而言，我们令$AB = a e$仅表示“极距”（因为圆的焦距为零）。然后我们利用上述(i)中的信息来计算圆的半径向量$AQ$：

$AQ^{2} = AH^{2} + QH^{2}$

$= a^{2}(\cos \beta + e)^{2} + a^{2}\sin^{2} \beta$

$= a^{2}(1 + 2e \cos \beta + e^{2}).$

因此，

$AQ = a(1 + 2e \cos \beta + e^{2})^{{1\over2}}$

因此，

$AQ = a(1 + e \cos \beta + \large\frac{1}{2}\normalsize e^{2}\sin^{2} \beta + ...).$

所以很明显，对于原点位于偏心点的圆，其半径向量的这个表达式，比原点位于椭圆焦点时同一原点下椭圆的半径向量表达式要复杂得多，正如上文(5)中所述。

此外，这一论证可以通过进行类似的简短计算来推广，以求出属于以太阳为原点的圆锥曲线系统中的任何椭圆的半径向量（再次设极距为$AB = ae$），该椭圆以$CQD$为其辅助圆，其典型点位于$QH$上（仍由辅助角$\beta$定义）。然而，由于每个这样的椭圆都有其各自的偏心率，这将引入一个单独的常数（比如$\epsilon$）来表示该特定椭圆的焦点偏心率，从而产生一个更加复杂的表达式。由于焦距和极距都是从椭圆的中心$B$测量的，只有当这两个距离重合（$a\epsilon = ae$）时，我们才能唯一地得到最简单的可能方程——如(5)中所表达的那样。（而数学家们不需要被说服，所有圆中最简单的、以中心$B$为原点的圆，不过是那个圆锥曲线系统的一个特例，其中$e = \epsilon = 0.$）

(iii) 对横径弧的求值 $r d\theta$

由(3)中给出的$PH$的等价关系，我们得到：

$\Large\frac{\sin\theta}{\sin\beta}\normalsize = \Large\frac{b}{r}\normalsize$. (6)

因此，应用(5)中的半径向量公式，我们有：

$\sin \theta = \Large\frac{b}{a}\normalsize \Large\frac{\sin\beta}{1+ e \cos\beta}\normalsize$。

对β求导，我们得到：

$\Large\frac{d\theta}{d\beta} = \frac{b}{a}.\Large\frac{1}{\cos \theta}.\Large\frac{\cos \beta (1 + e \cos\beta) + e\sin^{2}\beta}{(1 + e \cos\beta)^{2}}$

并利用(4)，

$\Large\frac{d\theta}{d\beta}\normalsize = ab.\Large\frac{1}{\cos \theta}.\Large\frac{\cos \beta + e (\cos^{2}\beta + \sin^{2}\beta)}{r^{2}}$。

因此，

$\Large\frac{d\theta}{d\beta}\normalsize = \Large\frac{b}{r}\normalsize$. (7)

这个恒等式充当了现代极角处理与本文辅助角处理之间的桥接关系（逆向或正向），而后者仅在以太阳为唯一焦点的椭圆情形下才有效。

此外，这一纯几何关系出乎意料地与轨道的某个运动学分量有着重大关联，我们将在下文第二部分(i)中看到。同时我们指出，横径弧关于辅助角是常量：

$r d\theta = b d\beta$. (8)

第二部分。焦点位于原点的椭圆的运动学性质

(i) 运动的横向分量 $r \Large\frac{d\theta}{dt}\normalsize$

（这种运动被一些数学家称为运动的横向分量）。无论我们如何称呼它，这种运动被定义为围绕太阳瞬时在圆上进行。

轨道运动最一般形式的特征性质通常是用动力学来表述的，但实际上它最早是在牛顿著作第一卷命题1中作为运动学关系被证明的，前已引用[1]（在那个早期阶段，质量的概念尚未引入）。这一性质可以用多种方式表述，它们都等价于等面积对应等时间的陈述。其中涉及的 proportionality 常数（$\large\frac{1}{2}\normalsize h$是标准用法）由以下关系式用数学表达，其中$r$表示从太阳处运动源量起的矢径，太阳仍取为坐标原点，再次参照该图：

$r^{2} \Large\frac{d\theta}{dt}\normalsize = h$。

这就是运动学面积-时间定律的现代数学表达式。

现在我们将其应用于以太阳为焦点的椭圆这一特殊情形，其总面积为$\pi ab$，周期为$T$，以求出其特定的常数。对于一整圈，面积-时间定律给出：

$2\pi \Large\frac{ab}{T}\normalsize = h$。(9)

所以在这种情况下，

$r^{2} \Large\frac{d\theta}{dt}\normalsize = 2\pi \Large\frac{ab}{T}\normalsize$，

因此，

$r \Large\frac{d\theta}{dt}\normalsize = 2\pi \Large\frac{ab}{T}\normalsize \times \Large\frac{1}{r}\normalsize$。(10)

现在，根据上文(8)中对横径弧的求值，我们有：

$r \Large\frac{d\theta}{dt}\normalsize = b \Large\frac{d\beta}{dt}\normalsize$。(11)

因此，仅就以太阳为焦点的椭圆而言，我们从(10)和(11)推出：

$\Large\frac{d\beta}{dt}\normalsize = 2\pi \Large\frac{a}{T}\normalsize \times \Large\frac{1}{r}\normalsize$。(12)

我们岔开一下，考虑其反形式：

由(5)得$\Large\frac{dt}{d\beta}\normalsize = \Large\frac{T}{2\pi}\normalsize \times \Large\frac{r}{a}\normalsize = \Large\frac{T}{2\pi}\normalsize (1 + e \cos \beta)$。

因此通过积分，

$t \propto \beta + e \sin \beta$。

这就是第二定律：以角度量度表示的时间。然后，通过引入量纲常数$\large\frac{1}{2}\normalsize ab$，仅就以太阳为焦点的椭圆而言，我们可以容易地推出时间与面积成正比。参见Kepler's Planetary Laws: Section 7。

[对于方程(10)的一个不太精确的版本——仅仅是横向运动与距离成比例（反线性）——见Kepler's Planetary Laws: Section 10。]

(ii) 运动的径向分量$\Large\frac{dr}{dt}\normalsize$

这种运动沿径向矢量的方向线性发生——朝向或远离太阳。

我们回到方程(5)，即矢径的公式：

$r = a(1 + e \cos \beta).$

因此，

$\Large\frac{dr}{d\beta}\normalsize = -ae \sin \beta$。(13)

这是距离关于β的径向变化：见Kepler's Planetary Laws: Section 11。

继续我们的现代处理，我们利用(12)和(13)进行变量替换：

$\Large\frac{dr}{dt} = \Large\frac{dr}{d\beta}.\Large\frac{d\beta}{dt}= \frac{2\pi a}{T}.\frac{ae\sin \beta}{r}$，

因此，

$\Large\frac{dr}{dt} = -\frac{2\pi a}{T}.\frac{e\sin \beta}{1 + e\cos{\beta}}$。(14)

很容易验证，计算这两个分量(10)和(14)的合量将给出轨道上“速度”的现代值——但没有理由这样做，因为对于运动学方法而言，目前这种按分量处理的方式完全足够——而且简单得多。

(iii) 径向加速度

另一方面，为了消除疑虑，我们应当通过确定对应于该运动的加速度（如前所述，这一概念在约翰内斯·开普勒的时代是不合时宜的），来确认这种处理与现代动力学方法相容。有几种方法可以做到这一点，但不幸的是，它们要么涉及复杂的微积分，要么涉及相当繁重的代数。我们从与动力学教科书中所见类似的公式出发：

指向太阳的径向加速度$r\Large\frac{d\theta}{dt}^{2} -\frac{d^{2} r}{dt^{2}}$。(15)

然后我们将上面的结果(11)应用于第一项，并且，作为第二项的一种可能处理方式，引入一个在某些微积分教材中出现的变量替换公式：

$\Large\frac{d^{2} r}{dt^{2}}= \left[\frac{dt}{d\beta}.\frac{d^{2}r}{d\beta^{2}}- \frac{dr}{d\beta}.\frac{d^{2}t}{d\beta^{2}}\right]\left( \frac{d\beta}{dt}\right)^{3}$。(16)

这可以按所需用$r$表示，其方法是求(12)和(13)的微分，并利用(14)，然后应用(5)和(1)进行化简。最后利用(12)，我们得到：

径向加速度 = $(2\pi)^{2} \Large\frac{a^{3}}{T^{2}}\normalsize \times \Large\frac{1}{r^{2}}$，指向太阳。

现在暂时引入量$\mu_{0}$来表示$(2\pi)^{2} \Large\frac{a^{3}}{T^{2}}$，我们将径向加速度表示成更熟悉的形式：

加速度 = $\Large\frac{\mu_{0}}{r^{2}\normalsize}$，指向太阳。

这个量$\mu_{0}$显然由特定的轨道决定，因此看来是一个与单个行星相关的（运动学）常数。下文第三部分将进一步解释它。

我们得出结论：按照现代标准，这个理论对于单个行星在运动学意义上是严格精确的。此外，在精确确定所有涉及常数的值的前提下，开普勒本人的处理是完全令人满意的，直至一阶微分的水平。

第三部分。推论：行星系统的第三定律的推导

上述第一部分(i)的一个几何引理将使我们能够计算$AL = l$，即半通径，如图所示（其中L是椭圆上位于$AM$上的点）。根据原始作图，$AM = BF = b$。因此，应用纵坐标的比性质，我们得到：

$\Large\frac{AL}{AM}\normalsize = \Large\frac{l}{b}\normalsize = \Large\frac{b}{a}\normalsize$。

因此，

$b^{2} = al$。(17)

现在我们回到方程(9)，它陈述了（在运动学意义上）一个完整周期的面积-时间定律：

$h = 2\pi \large\frac{ab}{T}\normalsize ,$

因此，

$h^{2} = (2\pi)^{2}a^{2}b^{2}/T^{2}$

利用(17)，我们得到：

$h^{2} = (2\pi)^{2}a^{3}l//T^{2}$。

整理后，

$\Large\frac{a^{3}}{T^{2}}\normalsize = \Large\frac{1}{(2\pi)^{2}} . \Large\frac{h^{2}}{l}$。

由于$h$和$l$是由特定轨道决定的常数，我们将遵循Cohen [5]（他大概选择这个记号是为了纪念这一关系的发现者）的写法，将结果写为：

$\Large\frac{a^{3}}{T^{2}}\normalsize = K$。(18)

因此，我们揭示了（六颗）行星各自独立地存在一种运动学关系，即周期时间的平方与平均距离的立方之间的关系，每颗行星显然都有其各自的$K$值。在此情况下，$K$的值对所有行星两两进行了经验比较，结果发现（在观测极限内）每一对 tested 都是常数；随后假定$K$对整个行星系统具有共同值——这一关系被称为开普勒第三定律[6]。（这一定律在动力学背景下，已在牛顿著作中先前引用的第一卷第15命题中得到证明。）然而，可以为上述推导建立一个基于几何的合理基础——从而给出第三定律的理论证明，这一证明对于前牛顿时代的数学家来说，在概念理解上不会太过遥远[7]。（该证明涉及对开普勒在证明面积定律时实际所用方法的推广。）

因此，显然在第二部分(iii)中暂时定义的量$\mu_{0}$——那里是与单个行星相关联的——现在可以被认定为一个运动学常数，它将起作用以综合行星系统。（现代天文学的初等教科书解释说，动力学系统中相应的值$\mu$取决于相对质量以及引力常数本身。）所以我们将$\mu_{0}$命名为‘行星内聚系数’，并且相应地，我们有：

$\mu_{0} = (2\pi)^{2} \Large\frac{a^{3}}{T^{2}}\normalsize = (2\pi)^{2}K$。