数学史专题
有两篇独立的文章：我们如何了解希腊数学？和“我们如何了解希腊数学家？”。在阅读这第二篇关于我们如何了解古希腊数学家生平的文章之前，如果读者先看看前一篇关于这些数学家的著作如何流传至今的文章，将会有所帮助。
如果我们想正确评价数学家的著作，那么关于他们生平最重要的事实或许就是了解他们生活的年代。有些数学家在著作中标注了日期，这一日期在我们如何了解希腊数学？所述的手抄过程中得以保存。有些数学家被其他作者提及，至少可以给出一个大致年代。除此之外，就需要利用更多间接证据。
下面这类论证是常用方法的典型。这位数学家引用了哪些著作？显然，这位数学家必定生活在这些著作写成之后。哪些著作引用了这位数学家？使用这类资料时必须特别小心，因为在文本传抄过程中可能添加了额外的引用，而原作者不可能知道这些引用，因为它们来自更晚的时期。这种方法可能留下超过200年的跨度，这位数学家可能生活在这段时间内。特别有用的是这位数学家做过天文观测的情况。这类观测往往可以相当精确地确定年代，而且正如我们将在下面的例子中看到的，即使只知道某些数学家的准确年代，也有助于确定其他人的年代。
作为一个例子，我们考察本档案中给出的戴可利斯日期是如何确定的。首先让我们看看托马斯·利特尔·希思在1913年开始撰写其名著[1]A history of Greek mathematics时知道哪些事实。公元5世纪，普罗克洛撰写了Commentary on Euclid，这是我们了解希腊几何学早期历史的主要知识来源。这部评注流传了下来，在普罗克洛中写道，杰米纽斯用“蔓叶线”一词来指称他所描述的一条曲线。现在托马斯·利特尔·希思从我们稍后将描述的其他来源得知，“蔓叶线”被戴可利斯用来解决倍立方这一古典问题（几乎可以肯定是他为此目的而发明的）。因此，托马斯·利特尔·希思可以推断出[1]：-
托马斯·利特尔·希思推断出的戴可利斯日期的另一个界限来自阿什凯隆的欧托基奥斯，后者在公元6世纪前四分之一世纪为阿基米德的三部著作撰写了评注。阿什凯隆的欧托基奥斯对阿基米德On the Sphere and Cylinder II的评注中引用了戴可利斯解决下述阿基米德问题的一段话（例如见[1]）：-
用一平面截给定球体，使得所得两球缺的体积之比等于给定比。
尽管阿基米德承诺在正文后文给出解答，但该解答并未出现。阿什凯隆的欧托基奥斯引用了戴可利斯对此问题的一个解答。在引自戴可利斯的段落中，提到了阿波罗尼奥斯。阿什凯隆的欧托基奥斯称他给出的引文出自戴可利斯的On burning mirrors，但在托马斯·利特尔·希思撰写其著作时，无论希腊文还是阿拉伯文，都尚未发现戴可利斯文本的任何版本。托马斯·利特尔·希思从阿什凯隆的欧托基奥斯中的引文推断出戴可利斯[1]：-
托马斯·利特尔·希思也写道[1]：-
戴可利斯……在Apollonius之后一个世纪或更久之后写作……
现在，托马斯·利特尔·希思推断出的年代，比如公元前130年—公元前70年，是基于托马斯·利特尔·希思对阿波罗尼奥斯和杰米纽斯的年代测定，而这两者都不准确。年代范围（在阿波罗尼奥斯之后、杰米纽斯之前）是令人信服的，但正如Toomer在[2]中所写：-
托马斯·利特尔·希思进一步的细化没有根据。
在保罗·塔内里所写、托马斯·利特尔·希思肯定知道的论文La cissoid et Diocles中，有人指出，阿什凯隆的欧托基奥斯对阿基米德的On the Sphere and Cylinder II的注释中提及阿波罗尼奥斯，必定是阿什凯隆的欧托基奥斯的增补，但托马斯·利特尔·希思显然一定觉得保罗·塔内里是错的。然而，时间会表明保罗·塔内里是对的，而托马斯·利特尔·希思是错的。
在继续描述自托马斯·利特尔·希思撰写其A history of Greek mathematics以来所发现的内容之前，有理由问：戴可利斯生活在何时重要吗？在判断Diocles作为数学家有多优秀时，答案当然是“重要”。如果Diocles确实如托马斯·利特尔·希思所“证明”的那样生活在阿波罗尼奥斯之后一个世纪或更久，那么他将非常熟悉阿波罗尼奥斯的Conics，因此他自己关于圆锥曲线的工作就必须在这一背景下评价。然而，如果戴可利斯不知道阿波罗尼奥斯的Conics，那么他自己的工作显然必须被认为远比否则所认为的更具创新性。
我们现在来看Toomer的著作[2]。它呈现了戴可利斯 On burning mirrors的一份阿拉伯语译本，该译本来自一份1462年抄写的抄本，并附有英文翻译和评注。这部著作于1976年出版，是数学史上的一件大事，为拼图增添了一块此前遗失的碎片。它如何帮助我们了解戴可利斯生活的年代？为了回答这个问题，我们引用Toomer翻译的戴可利斯为On burning mirrors所写的导言[2]：-
萨索斯的几何学家Pythian写了一封信给科农，在信中他问科农如何找到一种镜面，使得当它面向太阳放置时，从它反射的光线会聚到一个圆周上。当天文学家Zenodorus来到阿卡迪亚并被介绍给我们时，他问我们如何找到一种镜面，使得当它面向太阳放置时，从它反射的光线会聚到一点，从而引起燃烧。
Toomer指出，他将“当Zenodorus天文学家来到阿卡迪亚并被介绍给我们”这一句的翻译，或许可以译为“当Zenodorus天文学家来到阿卡迪亚并被任命到那里的一个教职”。
这当然使我们能够给出戴可利斯相当准确的年代，因为Zenodorus的年代是准确已知的（尽管解释我们如何知道这一点是另一回事！）。查看On burning mirrors 的文本表明保罗·塔内里是正确的，而托马斯·利特尔·希思是错误的：Eutocius确实插入了对阿波罗尼奥斯的引用。事实上阿什凯隆的欧托基奥斯做的远不止这些，因为尽管声称给出的是直接引文，阿什凯隆的欧托基奥斯还是以后来的风格改写了戴可利斯的证明，因此他把戴可利斯的文本转换成了对他而言的现代形式。
那么阿波罗尼奥斯和戴可利斯的日期如何吻合呢？戴可利斯是否知道阿波罗尼奥斯的Conics？我们现在可以确定地说，阿波罗尼奥斯和戴可利斯是同时代人，戴可利斯或许稍年长一些。《论燃烧的镜子》的文本是否表明戴可利斯知道阿波罗尼奥斯的工作？这里的证据有些矛盾。整部作品是用一种用于圆锥曲线的语言写成的，这种语言早于阿波罗尼奥斯的贡献，只有一个定理例外，即命题8，其中使用了阿波罗尼奥斯的术语。当然，后来的某个抄写者可能将这种后来的术语插入命题8，但正如Toomer所写，有人只对这一个命题做出改变，而在其他所有地方都保留旧术语，这是令人难以置信的。我们只剩下Toomer在[2]中提出的可能解释，即戴可利斯得知了阿波罗尼奥斯的工作（也许是在其发表之前），并在他几乎完成的作品中做出了改变。然而，这留下了为什么戴可利斯只在一个地方做出这种改变的问题。已经提出了许多不同的解决方案，但这使我们偏离了本文正在讨论的断代问题。
当我们问及阿波罗尼奥斯和戴可利斯的年代如何吻合时，我们想到的是阿波罗尼奥斯的年代已知，而戴可利斯的年代则不那么为人所知。我们将在本文后面考虑我们是如何了解到阿波罗尼奥斯的，但在继续这一讨论之前，值得思考一下我们对于关于戴可利斯的信息现在是正确的这一点有多大把握。我们确定上面给出的戴可利斯的年代至少接近正确吗？不幸的是，答案必须是否定的。我们不能确定。尽管这一论证基于目前可获得的最佳知识，我们当然不能排除未来某个时候可能发现进一步证据、指向不同答案的可能性。鉴于现在已知的“事实”，人们很容易认为这不可能发生。然而，仅举一个可能的怀疑来源，Toomer可能错误地认定了Zenodorus，因为他写道[2]：-
尽管阿拉伯语文本在提到此人名字的两处都略有讹误，但这是读出该名字的唯一合理方式。
另一点值得一提的是，必定还有其他数学家的年代是通过与托马斯·利特尔·希思用于戴可利斯同样强有力的逻辑论证推算出来的，然而这些年代同样也是错误的。
现在让我们转向获取关于古希腊数学家信息的其他方式。在数学著作中经常可以找到的另一条有用信息是献给曾支持该数学家的赞助人的题献。如果赞助人及其年代已知，这种题献可以提供断代信息。它还可以提供其他信息，因为它几乎肯定能让我们确定该数学家进行工作的地点。其他著作以寄给同事的信件形式写成，可能包含有关为何撰写该著作的信息。作为一个例子，让我们考察上面提到的了解阿波罗尼奥斯的问题。为此，他的著名著作Conics是一个极其宝贵的来源，事实上它几乎是我们唯一的来源。
Conics的第一卷由阿波罗尼奥斯寄给了帕加马的欧德摩斯。让我们简要介绍一下帕加马城及其国家背景。它是一座距爱琴海约25公里的希腊城市；今天土耳其伊兹密尔的贝尔加马镇就坐落于此。统治者欧迈尼斯一世于公元前263年宣布帕加马为独立国家，并统治至公元前241年由其侄子阿塔罗斯一世（公元前269年—公元前197年）继位。公元前230年击败加拉太人后，阿塔罗斯自称为帕加马国王。随后是一段政治条约时期（尤其是与罗马），以及与邻国频繁交战的时期。
阿波罗尼奥斯的Conics第一卷开头写道：
阿波罗尼乌斯向欧德摩斯致意。
若你身体健康，其他事情也如你所愿，那便很好；我这边也还算过得去。在佩加蒙与你相处期间，我注意到你渴望了解我在圆锥曲线方面的工作；因此我寄给你我已校正的第一卷，其余各卷待我满意地完成后也会转寄给你。我敢说你没有忘记我告诉过你，我是应几何学家瑙克拉特斯的请求着手研究这个课题的，当时他来到亚历山大并住在我处，当我以八卷完成这项工作后，我立即交给了他，因为过于仓促，因为他即将启航……
这是一段极为有用的引言。它不仅告诉我们阿波罗尼奥斯当时住在亚历山大，当然也告诉我们他曾访问过佩加蒙。它还让人感受到那个时代数学家们四处游历、互相拜访、以问题和想法相互启发的风气。
Conics的第二卷也由阿波罗尼奥斯寄给了佩加蒙的欧德摩斯：
阿波罗尼乌斯向欧德摩斯致意。
我已派我的儿子阿波罗尼乌斯给你带去按我们约定安排的《圆锥曲线》第二卷。请仔细通读，并让那些值得分享此类事物的人了解它。几何学家菲洛尼德斯，我在以弗所向你介绍过的那位，如果他来佩加蒙，也让他了解。保重，愿你安好。
现在我们知道，当他寄出这本书时，阿波罗尼奥斯已经年长到有一个儿子（也叫阿波罗尼奥斯），能够前往帕加马递送第二卷。还要注意，菲洛尼德斯、帕加马的欧德摩斯和阿波罗尼奥斯都曾在以弗所会面，这再次表明这些数学家四处游历的方式。
尽管《圆锥曲线》第三卷在我们所见的版本中没有序言，但从第四卷的序言来看，它在被送往帕加马时几乎肯定有序言。第三卷再次被送往帕加马的欧德摩斯，但在阿波罗尼奥斯完成第四卷之前，欧德摩斯已经去世。因此，阿波罗尼奥斯将第四卷送给了阿塔罗斯一世。如上所述，他是公元前241年至197年帕加马的统治者。这现在为我们提供了一个坚实的基点，用以估算阿波罗尼奥斯生活的年代。
阿波罗尼乌斯向阿塔罗斯致意。
前些时候，我阐述并寄给佩加蒙的欧德摩斯我编成八卷的《圆锥曲线》的前三卷，但既然他已去世，我决定将剩余各卷献给你，因为你渴望拥有我的著作。
现在，除了以军事和外交才能闻名外，阿塔罗斯还以慷慨赞助艺术而闻名。很可能他确实给了阿波罗尼奥斯更多的支持，而不仅仅是渴望拥有他的著作。
当然，关于我们所关注的这位数学家的生平，可以在其他文献中找到参考资料。这些信息存在困难——我们确定它指的是正确的人吗（例如欧几里得是一个非常常见的名字）；将各种此类信息拼凑在一起可能导致需要解决的不一致；并且在每个阶段我们都需要评估信息的可能准确性。我们必须小心，不要犯这样的错误：假设同一信息由多个来源给出就一定是正确的。这些来源可能都取自同一处。
为了举例说明可能有助于将事件置于背景中的参考文献，我们给出了一个仍与上述事件相关的例子。相关信息是在赫库兰尼姆发现的一份纸草中发现的。当公元79年维苏威火山爆发时，赫库兰尼姆与庞贝和斯塔比伊一起被摧毁。赫库兰尼姆被约16米厚的致密物质掩埋，这使城市得以保存，直到18世纪开始发掘。地面的特殊湿度条件保存了木材、布料、食物，特别是纸草，这些为我们提供了重要信息。一份纸草写道[1]：-
菲洛尼德斯是学生，先是欧德摩斯的学生，后来是狄奥尼索多罗斯的学生，后者是考诺斯的狄奥尼索多罗斯的儿子。
这段引文提到的Eudemus是帕加马的Eudemus，而Philonides就是阿波罗尼奥斯在以弗所遇到的那位几何学家。这样我们就又拼上了一小块拼图，得知Philonides是帕加马的Eudemus的学生。