数学史专题
The Elements的第1卷以大量定义开始，随后是著名的五条公设。然后，在欧几里得开始证明定理之前，他给出了一系列共同概念。前几个定义是：
定义1.1：点是没有部分的东西。
定义1.2：线是没有宽度的长度。
定义1.3：线的端点是点。
定义1.4：直线相对于其上的点均匀地延伸。
公设是诸如以下的一些作图公设：
可以从任意一点到任意一点画一条直线。
共同概念是诸如以下的一些公理：
与同一事物相等的事物彼此也相等。
一些历史学家提出，第一卷开头与第五卷开头基本定义出现方式的差异，并不是因为欧几里得在第五卷中不够严谨，而是他们认为欧几里得始终将其基本概念留作未定义，而第一卷开头的定义是后来添加的。有什么证据支持这一点？
第一个评论是，这可以解释为什么欧几里得从未提及这些基本定义。如果它们不在欧几里得所写的文本中，那么他当然不可能提及它们。下一点要注意的是，它们与归于海伦的名叫Definitions of terms in geometry.的著作非常相似。这部著作包含133个几何术语的定义，从点、线等开始，与欧几里得给出的定义非常接近。在[2]中，威尔伯·诺尔令人信服地论证，这部著作实际上出自丢番图。这里的要点如下。Definitions of terms in geometry是基于欧几里得的Elements，还是这部著作中的基本定义被插入到The Elements?的后来版本中？
我们必须考虑塞克斯都·恩披里柯关于定义的说法。首先要注意，塞克斯都大约写于公元200年，直到相对晚近，人们还相信海伦生活在这之后。如果是这样的话，那么塞克斯都当然不可能提及海伦所写的任何东西。然而，最近海伦被定年为公元一世纪，这告诉我们塞克斯都写于海伦之后。我们在这里必须考虑的谜题的另一部分是，所发现的最早版本的欧几里得的Elements。公元79年维苏威火山爆发时，赫库兰尼姆与庞贝和斯塔比伊一起被摧毁。赫库兰尼姆被大约16米厚的致密物质掩埋，这使该城保存到18世纪发掘开始。地面湿度的特殊条件保存了木材、布料、食物，特别是纸草，它们为我们提供了重要信息。在那里发现的一份纸草包含The Elements的残篇，显然写于公元79年之前。由于Zeno of Sidon的学生菲洛德谟在公元前75年之后不久将他收藏的纸草图书馆带到那里，The Elements的版本很可能大约就是那个时期的。
让我们回到塞克斯都，他写到“数学家描述几何实体”，有趣的是，“描述”一词在The Elements中没有使用，但海伦在Definitions of terms in geometry.中使用了。再者，他给出的描述比欧几里得的描述更接近海伦中出现的原话。当塞克斯都给出“圆的定义”时，他使用了“定义”一词，那是欧几里得的定义。塞克斯都引用了出现在赫库兰尼姆残篇中的圆的精确定义。这不包括“圆周”的定义，尽管欧几里得确实使用了圆的圆周这一概念。流传下来的The Elements的后来版本在圆的定义中包含了“圆周”的定义。
以上都没有证明几何对象的基本定义是否是后来添加到The Elements中的。它们相当令人信服地表明，圆的定义在后来的版本中被扩展，以包含圆周的定义。假设是，塞克斯都在写作时面前有The Elements和Definitions of terms in geometry，当他提到海伦时使用“描述”一词，当他提到欧几里得时使用“定义”一词。即使这是正确的，它仍然不能证明塞克斯都面前的The Elements版本不包含几何对象的基本定义，但它确实使这种可能性至少值得讨论。你怎么看？
最后一点值得思考。我们在上面引用了：
定义1.4。一条直线相对于其自身上的各点均匀地放置。
这是什么意思？这确实像是欧几里得会给出的一个奇怪描述，因为它似乎毫无意义。将其与Definitions of terms in geometry中直线的定义相比较：
一条直线是一条相对于其自身上的所有点均匀地放置，并且在其两端之间最大程度地绷紧的线。
我们再次询问读者：你认为The Elements中出现的定义是海伦定义的讹误，因而后来被添加进去，还是你认为欧几里得给出了一个相当糟糕的定义，后来被海伦改进了？为什么两者都没有使用直线作为两点之间最短距离的定义？