椭圆函数与积分Elliptic functions and integrals

椭圆积分与椭圆函数的术语在它们的研究过程中发生了变化。最初被称为椭圆函数的，现在被称为椭圆积分，而椭圆函数这一术语则保留给一个不同的概念。因此，为了避免混淆，我们在本文中始终使用现代术语。

理解数学家在各个时期如何以不同方式思考是很重要的。早期的代数学家必须用几何来证明他们的公式。同样，早期从事积分工作的人如果能把一个积分与一个几何对象联系起来，就认为他们的问题解决了。

许多积分源于解决力学问题的尝试。例如，单摆的周期被发现与一个表示弧长的积分有关，但无法找到用“简单”函数表示的形式。对于细弹性杆的挠度也是如此。

椭圆积分的研究可以说是始于1655年，当时约翰·沃利斯开始研究椭圆的弧长。事实上，他考虑了各种摆线的弧长，并将这些弧长与椭圆的弧长联系起来。约翰·沃利斯和艾萨克·牛顿都发表了椭圆弧长的无穷级数展开式。

在此我们应当给出椭圆积分的定义。它是形如$\int r(x, √p(x) )dx$的积分，其中$r(x,y)$是二元有理函数，$p(x)$是无重根的三次或四次多项式。

1679年，雅各布·伯努利试图求一条螺线的弧长，遇到了一个椭圆积分的例子。

雅各布·伯努利在1694年为椭圆积分理论迈出了重要一步。他考察了一根弹性杆在两端受压时会呈现的形状。他证明该曲线满足$ds/dt = 1/√(1 - t^{4})$，随后引入了双纽线$(x^{2}+y^{2})^{2} = (x^{2}-y^{2})$，其弧长由从0到$x$的$dt/√(1 - t^{4})$的积分给出。这个积分显然满足上述定义，因此是椭圆积分，后来被称为双纽线积分。

这是椭圆积分的一个特别简单的例子。例如注意它在形式上类似于函数$\sin^{-1}(x)$，后者由从0到$x$的$dt/√(1 - t^{2})$的积分给出。双纽线积分的其他优点在于，它足够一般，使得它的许多性质可以推广到更一般的椭圆函数，同时来自双纽线弧长的几何直观有助于理解。

1694年，雅各布·伯努利考虑了另一个椭圆积分$\int t^{2} dt/√(1 - t^{4})$，并猜想它不能用“已知”函数sin、exp、sin-1来表示。