倍立方Doubling the cube

希腊数学中有三个经典问题，它们在几何学的发展中极为重要。这些问题就是化圆为方、倍立方和三等分角。尽管它们密切相关，我们选择在单独的文章中分别考察。本文研究倍立方问题，或称立方倍积问题，或称提洛问题，这是同一个经典问题的三个不同名称。可以公平地说，尽管化圆为方问题在更近代的时期，尤其是在业余数学家中，成为最著名的问题，但在古希腊人时代，倍立方问题无疑更为著名。

后来的评论者对这一问题的起源给出了两种不同的说法。士麦那的塞翁引用了埃拉托色尼的一部著作（见托马斯·利特尔·希思 [2]）：-

埃拉托色尼在其题为Platonicus的著作中讲述道，当神通过神谕向提洛人宣布，为了消除瘟疫，他们应当建造一座两倍于现有祭坛的祭坛时，他们的工匠在努力发现如何使一个立体成为相似立体的两倍时陷入了极大的困惑；因此他们去请教柏拉图，他回答说，神谕的意思并不是神想要一座两倍大小的祭坛，而是他希望通过给他们布置这项任务，来羞辱希腊人对数学的忽视和对几何学的蔑视。

这场瘟疫无疑是雅典历史上的重大事件，大约四分之一的人口死于其中。这大约发生在公元前430年，因此如果这个故事有任何真实性的话，我们至少可以为这一问题的出现给出一个相当准确的日期。这也与希俄斯的希波克拉底早期对这一问题作出的贡献相一致。然而，把柏拉图纳入这个故事存在一个问题，因为他直到公元前427年才出生。

阿什凯隆的欧托基奥斯在其对阿基米德的On the sphere and cylinder的注释中给出了一个略有不同的版本。这封据称是埃拉托色尼写给国王克劳狄乌斯·托勒密的信，尽管这封信是伪造的，但作者确实引用了埃拉托色尼的一些真实著作 [1]：-

埃拉托色尼致托勒密国王，问候。

相传，古代一位悲剧诗人描述弥诺斯为格劳科斯修建了一座陵墓，当弥诺斯发现陵墓每边长一百尺时，他说：“你划定为王室安息之所的陵墓太小了。让它扩大一倍。在不破坏形状的前提下，迅速把陵墓的每一边都加倍。”这显然是个错误。因为如果边长加倍，表面积变为四倍，体积变为八倍。

这个故事讲述的是希腊神话中的一段插曲，而非历史事实。然而，较近时期在克里特岛克诺索斯的发现表明，这些神话故事至少部分是基于历史事件的。神话中说，克里特国王米诺斯与其妻帕西淮之子格劳科斯，幼年时跌入一罐蜂蜜中而死。
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正如我们刚刚看到的，倍立方问题的起源可能有些模糊，但毫无疑问，希腊人早已知道如何解决倍平方问题。因为，取一个正方形 ABCD 并画出对角线 DB。在 BD 上作一个正方形 BDEF。那么很容易看出 BDEF 是 ABCD 的两倍。倍矩形稍难一些，但这也是已知的，并由 欧几里得 在 Elements 的第二卷中给出，显然这是更早期工作的一部分。

倍立方问题的第一个重大进展是由 希俄斯的希波克拉底 取得的，可能是在该问题首次出现后不久。然而，这个问题似乎已经被考虑为一种更一般的形式，即：

(i) 求一个立方体，使其与给定立方体之比等于两条给定线段之比。

现在希俄斯的希波克拉底将问题归结为如下：

(ii) 给定两条线段，求它们之间的两个比例中项。

即给定线段$a, b$，求$x, y$使得$a : x = x : y = y : b$。

现在，用我们现代对比例的理解，很容易看出 (i) 和 (ii) 是等价的。

因为$a^{3} : x^{3} = (a:x)^{3} = (a : x)(x : y)(y : b) = a : b$。

因此，如果给定一个边长为$a$的立方体，并想构造一个体积为其$b : a$倍的立方体，我们需要构造边长为$x$的立方体。

现在，在关于倍立方问题的文章中，经常给出上一段的论证来证明希俄斯的希波克拉底的结果，即 (i) 和 (ii) 是等价的；例如参见[3]。但正如[8]所指出的，这种类型的论证对希俄斯的希波克拉底来说是不可用的，因此人们不仅要考虑他如何证明这种等价性，还要考虑希俄斯的希波克拉底最初是如何想到这个结果的。这些问题无法确切知道答案。然而，有一些线索来自二维情形的问题。欧几里得在Elements中表明，以下两个问题是等价的：

(iii) 求一个正方形，使其与给定正方形的比等于两条给定直线的比。

(iv) 给定两条直线，求它们之间的一个比例中项，即给定直线$a, b$求$x$使得$a : x = x : b$。

现代论证再次给出$a^{2} : x^{2} = (a : x)^{2} = (a : x)(x : b) = a : b$，表明给定边长为$a$的正方形，若我们构造边长为$x$的正方形，则其面积等于边长为$a$的正方形面积的$b : a$倍。欧几里得在Elements第六卷中不仅证明了(iii)与(iv)的等价性，还展示了如何用(iv)来解(iii)。托马斯·利特尔·希思在[2]中还暗示希俄斯的希波克拉底可能从数论中得到了这一想法，因为他引用了欧几里得的Elements第八卷：-

在两个立方数之间有两个比例中项，且立方数与立方数之比是边与边之比的三重比。

然而，对阿基米德的On sphere and cylinder 进行巧妙的文本分析，使[8]的作者推断出，复合比虽然为阿基米德所熟知，但属于比希俄斯的希波克拉底所能获得的更为现代的数学。无论促使希俄斯的希波克拉底证明倍立方问题归结为(ii)的推理是什么，所有后来的数学家都攻击问题(ii)而非原始表述，这一点相当引人注目。

我们接下来考虑阿尔库塔斯提出的解法。这是一个相当优美的解法，展现了阿尔库塔斯相当杰出的创新。托马斯·利特尔·希思写道[2]：-

阿尔库塔斯的解法是所有解法中最引人注目的，尤其是考虑到他的年代（公元前四世纪上半叶），因为它不是平面作图，而是大胆的三维作图，将某一点确定为三个旋转曲面的交点……

我们将说明 阿什凯隆的欧托基奥斯 所给出的 阿尔库塔斯 所用的作图法。我们将尝试对这种作图法给出一种现代解释，使其更易于理解，但强调描述中部分内容所用的坐标方式在 阿尔库塔斯 中绝不存在。
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考虑$xy$平面内一个以$x$轴上的$OA$为直径的圆，其中$O$为原点，$A$为点$(a, 0)$。设$B$为圆上满足$OB = b$的点。目标是求$a$与$b$之间的两个比例中项。延长$OB$，使其与圆在$A$处的切线相交于点$C$。假设我们将此图形视为位于三维空间中，其中$z$轴位于$O$处，垂直穿出图形所在平面。现在设想上文引文中托马斯·利特尔·希思所提到的三个旋转曲面。一个曲面是以圆$OBA$为底、穿出图形所在平面的半圆柱面。第二个是当三角形$OCA$绕直线$OA$旋转时由$OC$生成的圆锥面。第三个曲面是这样产生的：考虑$xz$平面内一个以$OA$为直径的半圆，它位于$xy$平面之上，然后让这个半圆绕$OA$旋转，其中$OA$在$xy$平面内绕$O$旋转。这个曲面是环面的一半，环面中心的孔仅为一个点$O$。

假设这三个旋转曲面相交于点$P$。那么，位于半圆柱面上的$P$位于圆$OBA$上一点$N$的上方。阿尔库塔斯所构造的两个比例中项就是$OP$和$ON$。我们稍后将用一些坐标几何来验证阿尔库塔斯是正确的，但首先让我们用阿什凯隆的欧托基奥斯的原话给出这一构造，除了点的名称之外未作改动，这些名称我已改为符合我们图形以及上述描述的记号（例如参见[7]）：

这是阿尔库塔斯的解法，由罗德岛的欧德摩斯报道：

设两条给定直线为OA [= a]和b；要求构造a与b之间的两个比例中项。作以OA为直径的圆OBA，其中OA较大[OA = a > b]；作弦OB，长度为b，并延长它与圆在A处的切线相交于C。……想象一个半圆柱面垂直立于半圆OBA之上，并且在OA上竖起一个垂直的半圆，立于半圆柱面的[底]上。当这个半圆从A移动到B时，直径的端点O保持固定，它在移动过程中将切割柱面，并在其上描出一条确定的曲线。然后，如果OA保持固定，并且如果三角形OCA绕OA旋转，其运动方向与半圆的运动方向相反，它将借助直线OC产生一个圆锥面，该直线在运动过程中将与柱面上画出的曲线相交于一个特定的点[P]。……

为了用现代数学看出这为什么成立，我们注意到柱面的方程为

(1) $x^{2} + y^{2} = ax$,

环面方程为

(2) $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a√(x^{2} + y^{2})$

锥面方程为

(3) $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}x^{2}/b^{2}$。

如果$(p, q, r)$是这三个曲面相交的点，那么

$OP = √(p^{2}+q^{2}+r^{2})$ 而 $ON = √(p^{2}+q^{2})$。

现在由 (1) 和 (3) 得 $p^{2}+q^{2}+r^{2} = (p^{2}+q^{2})^{2}/b^{2}$。

因此

$a/√(p^{2}+q^{2}+r^{2}) = √(p^{2}+q^{2}+r^{2})/√(p^{2}+q^{2}) = √(p^{2}+q^{2})/b$

如所要求。

通过阿什凯隆的欧托基奥斯的著作，我们知道欧多克索斯也给出了倍立方问题的一个解。然而他的解失传了，因为阿什凯隆的欧托基奥斯所面对的版本相当明显地不正确，因此他没有将其复制下来。没有人相信欧多克索斯的解中会有一个初等错误（他作为数学家实在太优秀了，不会犯这种错误），所以这个错误必定是在他的解被某个未能正确理解它的人抄写时引入的。保罗·塔内里提出，欧多克索斯的解是阿尔库塔斯所给出的、我们刚刚描述过的解的一个二维版本，实际上就是将阿尔库塔斯的作图投影到一个平面上所得到的解。然而，托马斯·利特尔·希思 [2] 提出欧多克索斯是：-

……是一位过于有独创性的数学家，不会满足于仅仅对阿尔库塔斯的解法作一番改编。

I [EFR]同意对托马斯·利特尔·希思的这一评价，因此现在看来我们几乎不可能知道欧多克索斯是如何解决倍立方问题的。

据说梅内克穆斯是在试图解决倍立方问题时发现圆锥曲线的。梅内克穆斯关于求两个比例中项的解法由阿什凯隆的欧托基奥斯在其对阿基米德的On the sphere and cylinder的注释中描述。

假设给定$a, b$，我们想求出它们之间的两个比例中项$x, y$，即$a : x = x : y = y : b$。运用现代数学——当然梅内克穆斯完全无法获得——我们可以看到圆锥曲线是如何在解决该问题时出现的。现在

$a/x = y/b$所以$xy = ab$，

$x/y = y/b$所以$y^{2} = bx$，并且

$a/x = x/y$所以$x^{2} = ay$。

梅内克穆斯给出了两种解法。第一种来自直角双曲线和抛物线，它们是我们列表中的前两个方程。我们现在看到，$x$和$y$的值由抛物线$y^{2} = bx$与直角双曲线$xy = ab$的交点求出。当然，我们必须再次强调，这绝不表明梅内克穆斯是如何解决该问题的，但它确实以现代术语说明了抛物线和双曲线如何进入该问题的解法。对于他的第二种解法，梅内克穆斯使用了抛物线$y^{2} = bx$和$x^{2} = ay$的交点，它们是我们列表中的第二个和第三个方程。

关于倍立方问题解法的一大谜团是，存在一种称为柏拉图机器的机械解法。现在看来，柏拉图极不可能给出机械解法，尤其是考虑到他对这类解法的看法。Plutarch写道（例如见[7]）：-

柏拉图责备欧多克索斯、阿尔库塔斯和梅内克穆斯的弟子们，因为他们借助力学和工具手段来解决倍立方问题；为了以某种方式找到两个比例中项，他们 resort 到一种不合理的方法。这样做，难道不是不可挽回地失去了几何学中最精华的部分，退回到感官的层次，从而阻碍了人们创造甚至感知永恒无形的形象，而上帝正是在这些形象中永恒地是上帝。

关于柏拉图解决倍立方问题的机器有两种理论。一种理论认为柏拉图发明了机械解法以表明设计此类解法是多么容易，但更广泛接受的理论是柏拉图的机器是由他在科学院的一位追随者发明的。

埃拉托色尼在这个故事中很重要，既因为问题的历史是通过他传达的，也因为他自己对问题的贡献。他在亚历山大里亚竖立了一根献给国王托勒密的柱子，上面刻有一首关于他自己对倍立方问题的机械解法的铭文[2]：-

如果，好朋友，你想从任何小立方体得到一个双倍于它的立方体，并适当地将任何立体图形变成另一个，这就在你的能力范围内；你可以通过这种方法找到一个褶皱、一个坑或一个空心井的宽阔盆地的度量，也就是说，如果你这样在两个尺子之间抓住两个中项，使它们的极端末端汇聚。不要你去寻求阿尔库塔斯的圆柱体的困难工作，也不要在梅内克穆斯的三元组中切割圆锥，也不要实现敬畏神的欧多克索斯所描述的那种曲线形式。不，你可以在这些 tablets 上，从一个小基开始，轻松找到无数个中项。你是幸福的，托勒密，因为作为一个在青春活力上与儿子相等的父亲，你自己给了他所有对缪斯和国王们珍贵的东西，并且将来，哦宙斯，天空之神，也可能从你手中接受权杖。愿如此，让任何看到这个奉献物的人说“这是西奥多罗斯的埃拉托色尼的礼物”。

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那么埃拉托色尼为解决这个问题而发明的机器是什么呢？它由两条平行线以及它们之间的三角形组成，如上方图形所示。这里$AE$和$DH$就是需要求两个比例中项的两个长度。现在保持第一个三角形$AMF$固定，但允许三角形$MNG$和$NQH$在由$AX$和$EY$界定的框架内滑动。旋转$AX$，直到它经过$D$，但在这样做时要确保这条旋转直线与$MF$和$NG$相交的点$B$和$C$也继续位于两个三角形的边$MG$和$NH$上，这两个三角形向左移动以使这种配置保持可能。三角形向左滑动，直到到达两个图形的底部。在这个最终图形中，$BF$和$CG$是$AE$与$DH$之间的两个比例中项。

现在埃拉托色尼在上文引文中评论说，他的机器能够求出多于两个的比例中项。如果要求‘无数个’比例中项，那么就需要将那么多个可移动三角形放入他的机器中，同样的程序将求出‘无数个’比例中项。

这个问题的其他解法由费隆和海伦给出，他们两人给出了类似的方法。他们的解法实际上是通过一个圆和一条直角双曲线的交点产生的。尼科米迪斯，他对埃拉托色尼的机械解法极为批评，给出了一种使用蚌线曲线的作图法，他也用这种曲线来解决三等分角问题。作图的细节在[2]中给出。戴可利斯也发明了一种特殊曲线来解决倍立方问题，即蔓叶线。

尽管发明了这么多不同的方法来倍立方，并且在尝试中做出了显著的数学发现，但古希腊人永远不可能找到他们真正寻求的解法，即一种可以用尺规作图完成的解法。他们永远找不到这样的作图，因为这样的作图不可能做出。然而，古希腊人无论如何也不可能证明这样的结果，因为它所需要的数学远远超出了他们所发展的任何东西。不过，可以公平地说，尽管他们不能证明尺规作图是不可能的，但最优秀的古希腊数学家凭直觉知道它确实是不可能的。

不可能性的证明必须等待19世纪的数学。论证的最后部分由皮埃尔·汪策尔拼凑起来。1837年，皮埃尔·汪策尔在约瑟夫·刘维尔的Journal中发表了以下证明：-

……确定一个几何问题能否用尺规解决的方法。

卡尔·弗里德里希·高斯曾断言倍立方问题和三等分角问题不能用尺规解决，但他没有给出证明。在1837年的这篇论文中，皮埃尔·汪策尔首次证明了这些结果。后来雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆给出了改进的证明，但他没有发表。