巴比伦数学中的毕达哥拉斯定理Pythagoras's theorem in Babylonian mathematics

毕达哥拉斯定理在巴比伦数学中

在本文中，我们考察四块巴比伦泥板，它们都与毕达哥拉斯的定理有某种联系。巴比伦人当然熟悉毕达哥拉斯的定理。大英博物馆保存的一块巴比伦泥板的译文如下：-

4是长度，5是对角线。宽度是多少？
它的大小未知。
4乘4是16。
5乘5是25。
你从25中取16，剩下9。
什么乘什么才能得到9？
3乘3是9。
3是宽度。

我们希望详细考虑的所有泥板大致来自同一时期，即在公元前1900年至公元前1600年间繁荣于美索不达米亚的古巴比伦帝国时期。
插图：Babylon_Map.jpeg ↗

这是巴比伦文明繁荣地区的地图。

这篇文章巴比伦数学概述给出了一些关于该文明如何产生的背景以及他们所继承的数学背景。

这里我们感兴趣的四个泥板我们将称为耶鲁泥板YBC 7289、普林顿322（如下所示）、苏萨泥板和泰勒迪巴伊泥板。在描述它们所包含的数学之前，让我们对这些泥板稍作说明。

我们所描述的耶鲁泥板YBC 7289是耶鲁大学耶鲁巴比伦收藏中大量泥板之一。它由一块上面有图形的泥板组成。该图形是一个边长为30的正方形，并画出了对角线。这块泥板及其意义首次在[5]中讨论，最近又在[18]中讨论。
插图：Plimpton_322.jpeg ↗

普林顿322是哥伦比亚大学G A Plimpton收藏中编号为322的泥板。

从图片中可以看出，泥板的左上角已损坏，右侧中部也有一大块缺损。其确切年代不详，但被定在公元前1800年至公元前1650年之间。人们认为它只是一块更大泥板的一部分，其余部分已被毁坏。起初，如同许多此类泥板一样，它被认为是商业交易的记录。然而，在5 奥托·纽格包尔和Sachs给出了新的解释，此后它便引起了极大的关注。

苏萨泥板是在今伊朗胡齐斯坦地区舒什镇发现的。该镇距古城巴比伦约350公里。W K Loftus早在1850年就将其确定为一处重要的考古遗址，但直到很久以后才进行发掘。我们这里感兴趣的这块特定泥板研究如何计算通过等腰三角形顶点的圆的半径。

最后，泰勒迪巴伊泥板是考古学家于1962年在巴格达附近发现的约500块泥板之一。大多数与一座古城的行政管理有关，该城在埃什努纳的伊巴尔皮埃尔二世时期繁荣，年代约为公元前1750年。我们关心的这块特定泥板不是与行政管理有关的，而是一块提出几何问题的泥板，该问题要求已知面积和对角线的矩形的尺寸。

在考察这四块泥板所包含的数学之前，我们应该稍微谈谈它们在理解巴比伦数学范围方面的意义。首先，我们应当小心，不要将我们今天能清楚看到但作者心中从未有过的早期数学观念读入其中。反过来说，我们也必须小心，不要仅仅因为这些数学是由与今天数学家想法非常不同的数学家创造出来的，就低估其意义。作为对这四块泥板告诉我们巴比伦数学什么的最后评论，我们必须小心认识到，巴比伦人的几乎所有数学成就，即使都记录在泥板上，也会已经失传，即使这四块泥板在幸存者中可能被视为特别重要，它们也可能并不代表巴比伦数学的最佳成果。
插图：Yale.gif ↗

理解耶鲁泥板 YBC 7289 是关于什么内容，没有问题。

这是Yale泥板的示意图

上面有一个正方形的图，一边标有30，对角线画出，靠近中心处写着1,24,51,10和42,25,35。当然，这些数字是用六十进制的巴比伦数字书写的。参见我们关于巴比伦数字的文章巴比伦数字。巴比伦数字总是有歧义的，没有迹象表明整数部分在哪里结束、小数部分从哪里开始。假设第一个数是1; 24,51,10，将其转换为十进制得到1.414212963，而√2 = 1.414213562。计算30 × [ 1;24,51,10 ]得到42;25,35，即第二个数。边长为30的正方形的对角线，可通过将30乘以√2的近似值求得。

这表明对毕达哥拉斯定理有很好的理解。然而，更重要的是，巴比伦人是如何找到这个对√2极为出色的近似值的。若干作者，例如见[2]和[4]，推测巴比伦人使用了一种等同于海伦方法的方法。其建议是，他们从一个猜测开始，比如$x$。然后他们求出$e = x^{2} - 2$，即误差。然后

$(x - \Large\frac{e}{2x}\normalsize )^{2} = x^{2} - e + (\Large\frac{e}{2x}\normalsize )^{2} = 2 + (\Large\frac{e}{2x}\normalsize )^{2}$

于是他们得到了更好的近似，因为如果$e$很小，那么$(\Large\frac{e}{2x}\normalsize )^{2}$将非常小。用这个对√2更好的近似继续此过程，会得到更好的近似，如此继续。事实上，正如Joseph在[4]中指出的，如果从$x = 1$开始，只需算法的两步就能得到近似值1;24,51,10。

这当然是可能的，而巴比伦人对二次方程的理解为这一说法增加了一些分量。然而，没有证据表明该算法在其他任何情况下被使用过，它在这里的使用必定仍然只是一种相当渺茫的可能性。我 [EFR] 是否可以提出另一种可能。巴比伦人制作了平方表，事实上他们对乘法的整个理解都是围绕平方建立起来的，所以对他们来说，一个更明显的方法也许是做两个猜测，一个偏高、一个偏低，比如 $a$ 和 $b$。取它们的平均值 $\large\frac{1}{2}\normalsize (a + b)$ 并平方。如果平方大于 2，就用这个更好的界替换 $b$；而如果平方小于 2，就用 $\large\frac{1}{2}\normalsize (a + b)$ 替换 a。继续这个算法。

现在这肯定需要多得多的步骤才能得到六十进制近似值 1;24,51,10。事实上，从$a = 1$和$b = 2$开始，需要 19 步，如下表所示：

step        decimal         sexagesimal

 1        1.500000000        1;29,59,59
 2        1.250000000        1;14,59,59
 3        1.375000000        1;22,29,59
 4        1.437500000        1;26,14,59
 5        1.406250000        1;24,22,29
 6        1.421875000        1;25,18,44
 7        1.414062500        1;24,50,37
 8        1.417968750        1;25, 4,41
 9        1.416015625        1;24,57,39
10        1.415039063        1;24,54, 8
11        1.414550781        1;24,52,22
12        1.414306641        1;24,51;30
13        1.414184570        1;24,51; 3
14        1.414245605        1;24,51;17
15        1.414215088        1;24,51;10
16        1.414199829        1;24,51; 7
17        1.414207458        1;24,51; 8
18        1.414211273        1;24,51; 9
19        1.414213181        1;24,51;10

然而，巴比伦人并不害怕计算，他们可能准备继续这种直接的计算，直到答案精确到六十进制的第三位。
插图：Plimpton_322.jpeg ↗

接下来我们再看⟦E1⟧

这块泥板有四列，共 15 行。最后一列最容易理解，因为它给出行号，因此包含 1, 2, 3, ... , 15。纽格包尔和Sachs在[5]中指出的显著事实是，在每一行中，第 3 列的数$c$的平方减去第 2 列的数$b$的平方是一个完全平方数，记为$h$。

$c^{2} - b^{2} = h^{2}$

所以这张表是一系列毕达哥拉斯整数三元组。不过，这并不完全正确，因为纽格包尔和Sachs认为抄写员犯了四个抄写错误，每列两个，需要这种解释才能使规则成立。然而，这些错误很容易看出是真正的错误，例如 8,1 被抄写员抄成了 9,1。

第一列更难理解，特别是因为泥板的损坏意味着其中一部分缺失。然而，使用上述记号可以看出，第一列就是$(\Large\frac{c}{h}\normalsize )^{2}$。到目前为止一切顺利，但如果有人写下毕达哥拉斯三元组，他会发现比表中出现的那些要容易得多。例如，毕达哥拉斯三元组3、4、5没有出现，5、12、13也没有出现，事实上表中出现的最小毕达哥拉斯三元组是45、60、75（即3、4、5的15倍）。此外，各行也没有按任何逻辑顺序排列，只是第一列的数字有规律地递减。于是谜题就在于这些数字是如何找到的，以及为什么表中给出了这些特定的毕达哥拉斯三元组。

几位历史学家（例如见[2]）提出，第 1 列与正割函数有关。然而，正如Joseph所评论的[4]：-

这种解释有点牵强。

埃里克·克里斯托弗·齐曼做出了一个引人入胜的观察。他指出，如果巴比伦人使用公式$h = 2mn, b = m^{2}-n^{2}, c = m^{2}+n^{2}$来生成毕达哥拉斯三元组，那么恰好有16个三元组满足$n ≤ 60, 30° ≤ t ≤ 45°$，并且$\tan^2 t = \Large\frac{h^2}{b^2}$具有有限的六十进制展开（这等价于$m, n, b$的素因子只有2、3和5）。现在，满足埃里克·克里斯托弗·齐曼条件的16个毕达哥拉斯三元组中有15个出现在普林顿322中。这是已知最早的数学分类定理吗？尽管我无法相信埃里克·克里斯托弗·齐曼完全正确，但我确实觉得他的解释一定在正确的轨道上。

为了公平地讨论普林顿322，我们应该补充一点，并非所有历史学家都同意这块泥板与毕达哥拉斯三元组有关。例如，Exarchakos在[17]中声称，这块泥板与二次方程的求解有关，而与毕达哥拉斯三元组毫无关系：-

……我们证明，在这块泥板中，没有任何证据表明巴比伦人知道毕达哥拉斯定理和毕达哥拉斯三元组。

我觉得这些论点很薄弱，特别是因为有许多泥板表明这一时期的巴比伦人对毕达哥拉斯定理有很好的理解。其他作者，尽管接受普林顿322是毕达哥拉斯三元组的集合，但认为它们有一个实际用途，正如Viola在[31]中所写，即给出一种：-

……近似计算三角形面积的通用方法。

苏萨泥板提出了一个关于边长为50、50和60的等腰三角形的问题。问题是求通过三个顶点的圆的半径。
插图：Susa.gif ↗

这是苏萨泥板的示意图

这里我们标记了三角形$A, B, C$，圆心为$O$。从$A$作垂线$AD$交边$BC$于一点。现在三角形$ABD$是直角三角形，所以利用毕达哥拉斯定理$AD^{2} = AB^{2} - BD^{2}$，得$AD = 40$。设圆的半径为$x$。则$AO = OB = x$和$OD = 40 - x$。再次对三角形$OBD$使用毕达哥拉斯定理，我们有

$x^{2} = OD^{2} + DB^{2}$。

所以

$x^{2} = (40-x)^{2} + 30^{2}$

得到$x^{2} = 40^{2} - 80x + x^{2} + 30^{2}$

因此$80x = 2500$，或者用六十进制表示，$x =$ 31;15。

最后考虑来自Tell Dhibayi泥板的问题。它要求一个矩形的边长，其面积为0;45，对角线为1;15。对我们来说，这是解方程中相当容易的练习。如果边长为$x, y$，我们有$xy = 0.75$和$x^{2} + y^{2} = (1.25)^{2}$。我们会将$y = 0.75/x$代入第二个方程，得到一个关于$x^{2}$的二次方程，很容易求解。然而，这不是巴比伦人给出的解法，而且这确实并不奇怪，因为它严重依赖于我们对方程的代数理解。我认为，Tell Dhibayi泥板解决这个问题的方式实际上比现代方法有趣得多。

这是来自Tell Dhibayi泥板的方法。为清晰起见，我们在每一步保留现代记号$x$和$y$，但计算采用六十进制记数法（泥板当然也是如此）。

计算 $2xy$ = 1;30。

从 $x^{2} + y^{2} =$ 中减去 1;33,45，得到 $x^{2} + y^{2} - 2xy =$ 0;3,45。

取平方根，得到 $x - y =$ 0;15。

除以 2，得到 $\Large\frac{x-y}{2}\normalsize =$ 0;7,30。

将 $x^{2} + y^{2} - 2xy =$ 0;3,45 除以 4，得到 $\Large\frac{x^2}{4} \normalsize + \Large\frac{y^2}{4} \normalsize -\Large\frac{xy}{2} \normalsize =$ 0;0,56,15。

加上 $xy =$ 0;45，得到 $\Large\frac{x^2}{4} \normalsize + \Large\frac{y^2}{4} \normalsize +\Large\frac{xy}{2} \normalsize =$ 0;45,56,15。

取平方根得到$\Large\frac{x+y}{2}\normalsize =$ 0;52,30。

将$\Large\frac{x+y}{2}\normalsize =$ 0;52,30加到$\Large\frac{x-y}{2}\normalsize =$ 0;7,30上，得到$x = 1$。

从$\Large\frac{x+y}{2}\normalsize =$ 0;52,30中减去$\Large\frac{x-y}{2}\normalsize =$ 0;7,30，得到$y =$ 0;45。

因此矩形的边长为 $x = 1$ 和 $y =$ 0;45。

这难道不是一段美妙的数学吗！请记住，它已有3750年的历史。我们应当感谢巴比伦人，他们把这一小小的杰作记录在泥板上，让我们今天得以欣赏。