巴比伦数字Babylonian numerals

美索不达米亚的巴比伦文明取代了苏美尔文明和阿卡德文明。我们在文章巴比伦数学概述中给出了这些事件的一些历史背景。当然，就其数系而言，巴比伦人继承了苏美尔人和阿卡德人的思想。从这些更早民族的数系中产生了60的基数，即六十进制。然而，苏美尔和阿卡德的数系都不是位值制，巴比伦人的这一进步无疑是他们在发展数系方面的最大成就。有人会认为这是他们在数学上的最大成就。

当人们听说巴比伦数字系统是60进制时，第一反应往往是：他们得学多少特殊的数字符号啊。当然，这种评论是基于我们自己的十进制系统的知识，十进制是一种位值制，有九个特殊符号和一个表示空位的零符号。然而，巴比伦人不必像我们使用十进制数字那样学习10个符号，他们只需学习两个符号就能产生他们的60进位值制系统。

现在，尽管巴比伦体系是一个位置制的六十进制体系，但它内部仍有一些十进制体系的痕迹。这是因为进入该体系某一数位的59个数字是由一个“单位”符号和一个“十”符号构成的。
插图：Babylonian_symbols.gif ↗

以下是基于这两个符号构建的59个符号

现在，给定一个位置系统，需要约定数字的哪一端表示单位。例如，十进制数12345表示

$1 \times 10^{4} + 2 \times 10^{3} + 3 \times 10^{2} + 4 \times 10 + 5.$

如果仔细想想，这或许不合逻辑，因为我们从左到右阅读，所以当我们读到第一个数字时，我们不知道它的值，直到读完整个数字才能确定这个首位与多少个10的幂相关联。巴比伦的六十进制位置系统采用相同的约定放置数字，因此最右边的位置表示单位，直到59，向左一位表示$60 \times n$，其中$1 ≤ n ≤ 59$，等等。现在我们采用一种记法，用逗号分隔数字，例如，1,57,46,40表示六十进制数

$1 \times 60^{3} + 57 \times 60^{2} + 46 \times 60 + 40$

用十进制表示就是424000。
插图：424000.gif ↗

这里是巴比伦数字中的 1,57,46,40

现在这个系统有一个潜在的问题。由于 2 由两个各代表一个单位的字符表示，而 61 由第一位代表一个单位的字符和第二位代表一个单位的相同字符表示，因此巴比伦六十进制数 1,1 和 2 本质上具有相同的表示。然而，这实际上并不是问题，因为字符之间的间距使人们能够区分它们。在 2 的符号中，代表单位的两个字符相互接触，成为一个符号。在数 1,1 中，它们之间有一个空格。

一个更严重的问题是，没有零可以放入空位。六十进制数1和1,0，即十进制中的1和60，具有完全相同的表示，现在间距无法帮助区分。上下文使其清楚，事实上，尽管这看起来非常不令人满意，但巴比伦人不可能觉得它如此。我们怎么知道这一点？如果他们真的发现这个系统给他们带来了真正的歧义，他们就会解决这个问题——如果这个系统不可行，他们几乎无疑有技能提出解决方案。也许我们应该在这里提到，后来的巴比伦文明确实发明了一个符号来表示空位，所以缺少零对他们来说不可能完全令人满意。

数字中间的空位同样给他们带来了问题。虽然这不是一个很严肃的评论，但也许值得指出，如果我们假设在一个数字中所有十进制数字出现的可能性相同，那么空位的概率是十分之一，而对于巴比伦人的六十进制系统，空位的概率是六十分之一。回到数字中间的空位，我们可以看看发生这种情况的实际例子。

下面是一个楔形文字泥板的例子（实际上是巴黎卢浮宫收藏的AO 17264），其中进行了147的平方计算。在六十进制中147 = 2,27，平方得到数21609 = 6,0 9。
插图：Babylonian_square.gif ↗

这里是 2,27 平方的巴比伦例子

也许抄写员在 6 和 9 之间留下的空格比他表示 6,9 时会留下的稍多一些。

现在，如果空位给整数带来了问题，那么巴比伦六十进制分数的问题就更大了。巴比伦人使用一种类似于我们十进制分数的六十进制分数系统。例如，如果我们写0.125，那么这是$\large\frac{1}{10}\normalsize + \large\frac{2}{100}\normalsize + \large\frac{5}{1000}\normalsize = \large\frac{1}{8}$。当然，一个形如$\Large\frac a b$的分数，在其最简形式下，可以表示为有限十进制分数，当且仅当$b$没有除2或5以外的素因子。所以$\large\frac{1}{3}$没有有限十进制分数。类似地，巴比伦六十进制分数0;7 30表示$\large\frac{7}{60}\normalsize + \large\frac{30}{3600}$，用我们的记法再次写就是$\large\frac{1}{8}$。

由于60可被素数2、3和5整除，所以一个形如$a/b$的数，在其最简形式下，可以表示为有限小数当且仅当$b$没有除2、3或5以外的素因子。因此，能表示为有限六十进制分数的分数比能表示为有限十进制分数的分数更多。一些历史学家认为这一观察结果直接关系到为什么巴比伦人发展了六十进制而不是十进制，但这似乎不太可能。如果是这种情况，为什么不以30为底呢？我们将在下面详细讨论这个问题。

现在我们已经提出了我们将用来表示带小数部分的六十进制数的记号。为了说明，10,12 5;1,52,30 表示数

$10 \times 60^{2} + 12 \times 60 + 5 + \large\frac{1}{60}\normalsize + \large\frac{52}{60^{2}\normalsize} + \large\frac{30}{60^{3}}$

用我们的记号表示就是$36725 \large\frac{1}{32}\normalsize$。这没问题，但我们引入了分号的记号来表示整数部分在哪里结束、小数部分从哪里开始。它就是“六十进制小数点”，作用类似于十进制小数点。然而，巴比伦人没有记号来表明整数部分在哪里结束、小数部分从哪里开始。因此引入了大量歧义，“上下文使其清楚”的说法现在看来相当牵强。如果我在没有“六十进制小数点”记号的情况下写10,12,5,1,52,30，那么它可能表示以下任何一种：

0;10,12, 5, 1,52,30
  10; 12, 5, 1,52,30
  10, 12; 5, 1,52,30
  10, 12, 5; 1 52 30
  10, 12, 5, 1;52,30
  10, 12, 5, 1,52;30
  10, 12, 5, 1,52 30

当然，此外还有10,12,5,1,52,30,0或0;0,10,12,5,1,52,30等等。

最后我们应该探讨为什么巴比伦人有一个以60为底的数系。简单的答案是他们的60进制继承自苏美尔人，但这根本不算答案。它只会引导我们去问为什么苏美尔人使用60进制。第一点评论是，我们不必追溯得更远，因为我们可以相当确定六十进制起源于苏美尔人。第二点要指出的是，现代数学家并不是最早提出这类问题的人。亚历山大的席恩在公元四世纪试图回答这个问题，此后许多数学史家提出了自己的看法，但都没有给出真正令人信服的答案。

亚历山大的席恩的答案是，60是能被1、2、3、4和5整除的最小数，因此其约数数目达到了最大。尽管这是事实，但这似乎是一个过于学术化的理由。如果这是原因的话，以12为底似乎更有可能，然而似乎没有哪个主要文明提出过这种底。另一方面，许多度量确实涉及12，例如它频繁出现在重量、货币和长度细分中。例如在旧英制中，一英尺有十二英寸，一先令有十二便士等等。

奥托·纽格包尔基于苏美尔人使用的度量衡提出了一种理论。他的观点基本上是，十进制计数系统被修改为60进制，以便将度量衡分成三等份。当然我们知道苏美尔人的度量衡系统确实使用$\large\frac{1}{3}\normalsize$和$\large\frac{2}{3}\normalsize$作为基本分数。然而，尽管奥托·纽格包尔可能是正确的，但反驳的观点是，度量衡系统是数系的结果，而不是相反。

有几种理论基于天文事件。认为60是一年中月数（每年月亮数）与行星数（水星、金星、火星、木星、土星）的乘积，这作为60进制的原因似乎也很牵强。数学史家莫里兹·贝内迪克特·康托尔提出，一年被认为有360天是60进制的理由。这个想法同样不太令人信服，因为苏美尔人肯定知道一年比360天长。另一个假说涉及这样一个事实：太阳在一天中走过其直径720次，而一天有12个苏美尔小时，由此可以得出60。

有些理论以几何为基础。例如，有一种理论认为等边三角形被苏美尔人视为基本的几何构建单元。等边三角形的一个角是60°，因此如果将其分为10份，6°的角就会成为基本的角度单位。现在一个圆中有六十个这样的基本单位，因此我们再次得到了选择60作为基数的可能理由。注意这个论证几乎自相矛盾，因为它假设10是划分的基本单位！

我[EFR]觉得所有这些理由实在不值得认真考虑。也许我有点在构建自己的论证，但我刚才使用的“选择60作为基数”这个说法意义重大。我就是不相信任何文明曾经选择过数字基数。你能想象苏美尔人成立一个委员会来决定他们的数字基数吗——不，事情根本不是那样发生的。原因必然涉及苏美尔文明中计数方式产生的方式，正如10在其他用手指开始计数的文明中成为基数，而二十则成为那些用手指和脚趾计数的人的基数。

以下是它可能发生的一种方式。一个人可以用两只手数到60。在你的左手上，除拇指外的四根手指各有三个指节。这些指节由手指的关节彼此分开。现在，用右手的一根手指指向左手手指的十二个指节之一，就可以数到60。这提供了一种用手指计数到60而非10的方法。有人信服吗？

其他人提出了这一设想的一个变体。也许最广为接受的理论提出，苏美尔文明必定是通过两个民族的融合而产生的，其中一个民族的计数以12为基数，另一个以5为基数。尽管5作为古代民族中的数字基数远不如10常见，但它并不罕见，并且显然被那些用一只手的手指计数然后重新开始的人所使用。这个理论进而假设，随着两个民族的融合，两种计数系统被社会中相互贸易的不同成员使用，那么60进制就会自然而然地作为人人都理解的系统而产生。

我听说过同样的理论，但提出融合产生苏美尔人的两个民族分别以10和6作为数字基数。这个版本的优势在于，巴比伦体系中存在一个自然的10的单位，人们可以论证这是早期十进制系统的残余。这些理论最妙的一点是，有可能找到两种融合系统的书面证据，从而基本上相当于给出该猜想的证明。不要把历史看作一门死去的学科。相反，随着最新研究带来新的证据和新的解释，我们的观点在不断变化。