巴比伦数学概述An overview of Babylonian mathematics

巴比伦人生活在美索不达米亚，那是底格里斯河与幼发拉底河之间的一片肥沃平原。

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这是该文明繁荣地区的地图。

该地区曾是苏美尔文明的中心，该文明在公元前3500年前就已繁荣。这是一个先进的文明，建造城市，并通过灌溉系统、法律体系、行政管理，甚至邮政服务来支撑人民的生活。文字得到发展，计数基于六十进制，也就是说以60为基数。大约在公元前2300年，阿卡德人入侵该地区，有一段时间，较为落后的阿卡德文化与较为先进的苏美尔文化相融合。阿卡德人发明了算盘作为计数工具，并发展出有些笨拙的算术方法，加法、减法、乘法和除法都发挥了作用。然而，苏美尔人反抗阿卡德人的统治，到公元前2100年，他们重新掌握了控制权。

然而，本文所讨论的数学属于巴比伦文明，该文明大约从公元前2000年起取代了苏美尔文明。巴比伦人是一支闪米特民族，他们入侵美索不达米亚，击败了苏美尔人，并在大约公元前1900年将首都定于巴比伦。

苏美尔人发展了一种基于楔形（即楔形）符号的抽象书写形式。他们的符号写在湿泥板上，这些泥板在烈日下烘烤，成千上万这样的泥板保存至今。正是在泥质介质上使用 stylus 导致了楔形符号的使用，因为无法画出曲线。后来的巴比伦人在泥板上采用了相同风格的楔形文字书写。
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这是他们的一块泥板

许多泥板涉及的主题虽然不包含深奥的数学，但仍然引人入胜。例如，我们上面提到了美索不达米亚早期文明的灌溉系统。这些内容在40中有所讨论，其中Muroi写道：-

对美索不达米亚的统治者来说，挖掘运河并维护它们是一项重要任务，因为运河不仅对灌溉是必要的，而且对运输货物和军队也有用。统治者或高级政府官员一定命令巴比伦数学家计算修建运河所需的工人数和天数，并计算工人工资的总费用。

有几份古巴比伦数学文本询问了关于挖掘运河的各种数量。它们是YBC 4666、7164和VAT 7528，所有这些都用苏美尔语写成……，以及YBC 9874和BM 85196第15号，它们用阿卡德语写成……。从数学的角度来看，这些问题相对简单……

巴比伦人有一个先进的数字系统，在某些方面比我们现在的系统更先进。它是一个以60为基数的位值制系统，而不是今天广泛使用的以10为基数的系统。

关于巴比伦数字的更多细节，以及关于他们为何使用60为基数的理论的讨论，请参见我们在巴比伦数字上关于巴比伦数字的文章。

巴比伦人将一天分为24小时，每小时分为60分钟，每分钟分为60秒。这种计数方式已经沿用了4000年。要写5小时25分30秒，即5h 25' 30"，就相当于写出六十进制分数$5 \large\frac{25}{60}\normalsize \large\frac{30}{3600}\normalsize$。我们采用记号5; 25, 30来表示这个六十进制数。

作为十进制分数，六十进制数5; 25, 30是$5 \large\frac{4}{10}\normalsize \large\frac{2}{100}\normalsize \large\frac{5}{1000}\normalsize$，用十进制记法写作5.425。

关于这种记数法的更多细节，请参见我们在巴比伦数字上关于巴比伦数字的文章。

也许巴比伦人计算技能最令人惊叹的方面是他们构建表格以辅助计算。1854年在幼发拉底河畔的Senkerah发现的两块泥板可追溯到公元前2000年。它们给出了直到59的数字的平方和直到32的数字的立方。该表给出了$8^{2} = 1,4$，它代表

$8^{2} = 1, 4 = 1 \times 60 + 4 = 64$

依此类推直到$59^{2} = 58, 1 (= 58 \times 60 +1 = 3481)$。

巴比伦人使用公式

$ab = \large\frac{1}{2}\normalsize [(a + b)^{2} - a^{2} - b^{2}]$

来使乘法更容易。更好的是他们的公式

$ab = \large\frac{1}{4}\normalsize [(a + b)^{2} - (a - b)^{2}]$

这表明，要相乘只需一张平方表，只需取在表中查到的两个平方之差，再取答案的四分之一。

除法是更困难的过程。巴比伦人没有长除法的算法。相反，他们的方法基于这样一个事实：

$\Large\frac{a}{b}\normalsize = a\times \Large\frac{1}{b}\normalsize$

因此所需的只是一张倒数表。我们仍然拥有他们的倒数表，一直列到几十亿的数的倒数。当然，这些表是用他们的数字写成的，但使用我们上面引入的六十进制记法，他们的其中一张表的开头会像这样：

         2          0; 30
         3          0; 20
         4          0; 15
         5          0; 12
         6          0; 10
         8          0; 7, 30
         9          0; 6, 40
        10          0; 6
        12          0; 5
        15          0; 4
        16          0; 3, 45
        18          0; 3, 20
        20          0; 3
        24          0; 2, 30
        25          0; 2, 24
        27          0; 2, 13, 20

现在表中存在空缺，因为$\large\frac{1}{7}\normalsize , \large\frac{1}{11}\normalsize , \large\frac{1}{13}\normalsize$等不是有限的六十进制分数。这并不意味着巴比伦人不能计算比如说$\large\frac{1}{13}\normalsize$。他们会写成

$\large\frac{1}{13}\normalsize = \large\frac{7}{91}\normalsize = 7 \times \large\frac{1}{91}\normalsize$ = (近似) $7 \times \large\frac{1}{90}\normalsize$

而这些值，例如$\large\frac{1}{90}\normalsize$，被列在他们的表中。事实上，有一些引人入胜的片段显示巴比伦人认识到除以7会导致无限的六十进制分数。一位书吏会给出一个接近$\large\frac{1}{7}\normalsize$的数，然后写下诸如（例如参见[5]）：-

……给出一个近似值，因为7不能整除。

巴比伦数学远远超出了算术计算。在我们关于巴比伦数学中的毕达哥拉斯定理上巴比伦数学中毕达哥拉斯定理的文章中，我们考察了他们的一些几何思想以及数论中的一些基本思想。在本文中，我们现在考察巴比伦人发展出的一些代数，特别是导致方程及其求解的问题。

我们在上面注意到，巴比伦人以制作表格而闻名。现在这些表格可以用来解方程。例如，他们为$n^{3} + n^{2}$制作了表格，然后借助这些表格，某些三次方程就可以求解。例如，考虑方程

$ax^{3} + bx^{2} = c$。

我们要立刻强调，我们使用的是现代记号，而在巴比伦时代，根本不存在任何像符号表示这样的东西。尽管如此，巴比伦人仍能通过使用规则来处理这类方程的数值例子，这些规则表明他们确实拥有给定类型的典型问题以及解决它的典型方法的概念。例如，在上述情形中，他们会（用我们的记号）将方程乘以$a^{2}$并除以$b^{3}$，得到

$(\Large\frac{ax}{b}\normalsize )^{3} + (\Large\frac{ax}{b}\normalsize )^{2}$ = $c\Large\frac{a^2}{b^3}$。

令$y =\Large\frac{ ax}{b}\normalsize$，这给出方程

$y^{3} + y^{2}$ = $c\Large\frac{a^2}{b^3}$

现在可以通过查阅$n^{3} + n^{2}$表来求解，以找到满足$n^{3} + n^{2}$ = $c\Large\frac{a^2}{b^3}$的$n$的值。当找到$y$的解时，则通过$x = \Large\frac{by}{a}\normalsize$求得$x$。我们再次强调，所有这一切都是在没有代数记号的情况下完成的，并显示出非凡的理解深度。

同样，会查找一个表来解线性方程$ax = b$。他们会查阅$\Large\frac{1}{n}\normalsize$表以找到$\Large\frac{1}{a}\normalsize$，然后将表中给出的六十进制数乘以$b$。这类问题的一个例子如下。
假设，一位抄写员写道，取一定量的大麦的$\large\frac{2}{3}\normalsize$的$\large\frac{2}{3}\normalsize$，加入100单位大麦，并恢复原来的数量。抄写员提出的问题是找出大麦的数量。抄写员给出的解法是计算0; 40乘以0; 40得到0; 26, 40。从1; 00中减去这个得到0; 33, 20。在表中查找0; 33, 20的倒数得到1;48。将1;48乘以1,40得到答案3,0。

除非我们将这些计算翻译成现代代数记号，否则很难理解书吏的这些计算。我们需要求解

$\large\frac{2}{3}\normalsize \times \large\frac{2}{3}\normalsize x + 100 = x$

正如书吏所知，这等价于求解$(1 - \large\frac{4}{9}\normalsize )x = 100$。这就是为什么书吏计算了$\large\frac{2}{3}\normalsize \times \large\frac{2}{3}\normalsize$，从1中减去答案得到$(1 - \large\frac{4}{9}\normalsize )$，然后查$1/(1 - \large\frac{4}{9}\normalsize )$，于是由$1/(1 - \large\frac{4}{9}\normalsize )$乘以100得到$x$为180（在六十进制中即1;48乘以1,40得3,0）。

为了求解二次方程，巴比伦人本质上使用了标准公式。他们考虑了两类二次方程，即

$x^{2} + bx = c$和$x^{2} - bx = c$

这里$b, c$为正但不一定是整数。他们的解分别取如下形式

$x = √[(\Large\frac{b}{2}\normalsize )^{2} + c] - \Large\frac{b}{2}\normalsize$和$x = √[(\Large\frac{b}{2}\normalsize )^{2} + c] + \Large\frac{b}{2}\normalsize$。

注意在每种情况下，这都是二次方程两个根中的正根，也是在解决“实际”问题时合理的那个根。例如，导致巴比伦人得到这类方程的问题常常涉及矩形的面积。例如，如果给定面积以及长超出宽的数值，那么宽满足一个二次方程，然后他们就会应用上述公式的第一个版本。

一块古巴比伦时期的泥板上的一个问题指出，一个矩形的面积是1,0，其长超出宽7。方程

$x^{2} + 7x = 1, 0$

当然，这不是由抄写员给出的，他按如下方式找到答案。计算7的一半，即3；30，将其平方得到12；15。抄写员在此基础上加上1，0得到1；12，15。取其平方根（从平方表中）得到8；30。从中减去3；30，得到三角形宽度为5的答案。注意，抄写员通过使用$x = √[(\Large\frac{b}{2}\normalsize )^{2} + c] - \Large\frac{b}{2}\normalsize$有效地解决了一个$x^{2} + bx = c$类型的方程。

在[10]中，Berriman给出了13个取自古巴比伦泥板的导致二次方程的典型问题示例。

如果涉及矩形面积的问题导致二次方程，那么涉及矩形挖掘（“地窖”）体积的问题则导致三次方程。泥板BM 85200+包含36个此类问题，是已知最早的建立和求解三次方程的尝试。Hoyrup在[26]中讨论了这块引人入胜的泥板。当然，巴比伦人并没有得出求解三次方程的一般公式。这要在三千多年后才被发现。