抽象群概念The abstract group concept

本文基于Peter Neumann（伯恩哈德·诺伊曼和Hanna Neumann之子）于2001年3月19日在萨塞克斯大学举行的一次会议上的演讲，该会议旨在庆祝Walter Ledermann的90岁生日。演讲题为Introduction to the theory of finite groups，即Walter Ledermann所著著名文本的标题。本文基于EFR在该演讲中所做的笔记。

群的现代定义通常按以下方式给出。

定义
一个群 $G$ 是一个带有二元运算 $G \times G$ → $G$ 的集合，该运算为 $G$ 中的每一对有序元素 $x, y$ 指定 $G$ 中唯一的第三个元素（通常称为 $x$ 和 $y$ 的 product），记作 $xy$，使得以下四条性质得到满足：

1. Closure：如果 $x, y$ 在 $G$ 中，那么 $xy$ 在 $G$ 中。
2. Associative law：若$x, y, z$在$G$中，则$x(yz) = (xy)z$。
3. Identity element：存在一个元素$e$在$G$中，使得对于所有$x$在$G$中，都有$ex = xe = x$。
4. Inverses：对于 $G$ 中的每一个 $x$，存在 $G$ 中的一个元素 $u$，使得 $xu = ux = e$。

首先要指出的是，第1条作为公理是有争议的，因为它是二元运算定义的推论。然而，我们在此的目的并非讨论这一点，并且按照惯例，这条公理被包含在内。

这个如今标准的定义从何而来？我们尤其希望考察19世纪为这一定义所做的一些推进。因此，我们在此并不关注19世纪群论中为埃瓦里斯特·伽罗瓦理论所需的置换群研究这一大部分工作。重要的是要认识到，群的抽象定义在整个19世纪不过是群论中一个深奥的旁支。

让我们首先注意到，在20世纪上半叶——比如从1905年到1955年——“抽象群”这一术语有两种含义。一种含义是由上述四条公理定义的群，而第二种含义是由生成元和关系定义的群。例如，约翰·阿瑟·托德在谈到“作为抽象群的以米里迂·拉·马丢群”时，就是在第二种含义上使用这一术语的。我们在此只对第一种含义感兴趣。

抽象群概念的出现是一个极为缓慢的过程。故事始于涉及埃瓦里斯特·伽罗瓦和奥古斯丁·路易·柯西的前史。埃瓦里斯特·伽罗瓦在1832年定义了一个群，尽管直到约瑟夫·刘维尔于1846年发表埃瓦里斯特·伽罗瓦的论文时它才付印。埃瓦里斯特·伽罗瓦关于方程代数解的重要论文的第一个版本于1829年提交给巴黎Académie des Sciences。René Taton在Académie的档案中发现了证据，表明奥古斯丁·路易·柯西曾与埃瓦里斯特·伽罗瓦交谈，并说服他撤回论文，提交一个新版本参加1830年的大奖。这是基于强有力的间接证据，但我们确实知道，埃瓦里斯特·伽罗瓦于1830年3月向约瑟夫·傅里叶提交了他论文的新版本，以供大奖评选考虑。

约瑟夫·傅里叶在此事后不久去世，埃瓦里斯特·伽罗瓦的论文遗失了。它从未被考虑授予奖项，该奖于1830年7月联合授予了尼尔斯·阿贝尔（追授）和卡尔·古斯塔夫·雅各布·雅可比。埃瓦里斯特·伽罗瓦应西莫恩·德尼·泊松之邀，向Académie提交了他的方程论回忆录的第三个版本，他于1831年1月17日这样做了。这篇论文的此版本由西莫恩·德尼·泊松审稿，他拒绝了它，但写了一篇非常同情的报告。尽管埃瓦里斯特·伽罗瓦已经一般性地证明了这些结果，但论文只考虑了素数次的方程。西莫恩·德尼·泊松未能理解这篇论文，并建议进一步展开论证。他不清楚埃瓦里斯特·伽罗瓦的结果如何对方程是否可用根式求解进行分类。

在导致他死亡的那场决斗的前夜，埃瓦里斯特·伽罗瓦在他的论文上做了笔记。其中一条笔记写于1832年5月29日，内容如下：-

……如果在这样一个群中，有替换S和T，那么就有替换ST。

尽管埃瓦里斯特·伽罗瓦在他关于方程的整篇论文中广泛使用了群，但他没有给出定义。难怪西莫恩·德尼·泊松觉得这篇论文难以理解，因为其中包含许多群中的明确计算，然而这个概念却没有被定义——可怜的西莫恩·德尼·泊松！

现在到了1845年，即约瑟夫·刘维尔发表上述由埃瓦里斯特·伽罗瓦给出的定义的前一年，奥古斯丁·路易·柯西给出了一个定义。他考虑了$n$个字母$x, y, z, ...$上的替换，并将导出替换定义为所有可以通过以任意顺序将这些替换相乘而推导出的替换。然后，他将这组替换连同导出替换一起称为“替换的共轭系统”。有一段时间，这两个相同的概念，“群”和“替换的共轭系统”，都被使用。然而，从1863年卡米耶·若尔当写了一篇关于埃瓦里斯特·伽罗瓦工作的评论，其中使用了“群”开始，它成为了标准术语。当卡米耶·若尔当于1870年出版他的主要群论教材Traité des substitutions et des équations algebraiqueⓉ（《替换与代数方程论》）时，这一点得到了加强。然而，奥古斯丁·路易·柯西的术语“替换的共轭系统”一直为一些人所使用，直到大约1880年。

奥古斯丁·路易·柯西在多大程度上受到了埃瓦里斯特·伽罗瓦的影响？尽管他见过埃瓦里斯特·伽罗瓦提交给Académie的论文，但其中没有群的明确定义。另一方面，他至少潜意识中一定受到了影响。当然，埃瓦里斯特·伽罗瓦和奥古斯丁·路易·柯西都仅用封闭性来定义群。现在熟悉的结合律、单位元和逆元公理并未出现。两人都在处理排列，这意味着封闭性就是定义一个群所需的全部，其他性质都自动成立。奥古斯丁·路易·柯西在1845年9月至1846年1月间就此主题写了25篇论文。

[EFR注：Peter Neumann在他的讲座中没有提到保罗·鲁菲尼的思想可能对奥古斯丁·路易·柯西产生过任何影响。1821年，奥古斯丁·路易·柯西曾写信给保罗·鲁菲尼赞扬他的工作，显然他读过这些工作。尽管保罗·鲁菲尼的工作中没有群的明确定义，但这一概念再次清晰地出现，并且可能对奥古斯丁·路易·柯西的思想产生了与埃瓦里斯特·伽罗瓦的工作同样重大的影响。]

第一个试图给出群的抽象定义的人是阿瑟·凯莱。他在1854年写了一篇关于群的论文，并于1878年在两个不同的期刊上再次发表。在1854年的论文中，他试图用符号θ给出一个抽象定义，这些符号作用于一个系统$(x, y, ... )$，使得

$\theta(x, y, ... ) = (x', y', ... )$ 其中$x', y', ...$是$x, y, ...$的任意函数。

阿瑟·凯莱接着定义了一个恒等符号1，它使系统的成员保持不变。他将元素θφ定义为先由φ作用于系统，然后由θ作用的结果。他指出θφ不必等于φθ。阿瑟·凯莱还要求满足结合律θ.φψ = θφ.ψ。然后他说，任何一组这样的符号，如果其中任意两个的乘积仍在该集合中，就称为一个群。

这是对群进行抽象定义的一次重要尝试，但阿瑟·凯莱走得太远了。他在这里搞出的东西其实一团糟。如果他的符号是算子，为什么还要求结合律成立？对于置换而言，作为算子，结合律自动成立。同样不清楚的是，$(x', y', ... )$（其中$x', y', ...$是$x, y, ...$的任意函数）是否会在该系统中。这个定义并不完全成功。

1878年，阿瑟·凯莱写道：-

群由其元素的合成法则所定义。

这一思想被威廉·伯恩赛德、瓦尔特·冯·戴克等人采纳。威廉·伯恩赛德在其1897年出版的著作The Theory of Groups of Finite Order中给出了如下定义：-

设A、B、C、……表示一组可以对同一对象或对象集合施行的运算。

他随后假定任意两个运算都是不同的，即没有两个运算产生相同的效果。他遵循阿瑟·凯莱，要求封闭性、结合律和逆元。同样，他的定义也受到与阿瑟·凯莱的定义相同的批评。如果他的元素是运算，那么他为什么需要假定结合律？相当奇怪的是，威廉·伯恩赛德没有假定单位元的存在，尽管人们可以从$A$和$A ^{-1}$都在该集合中且满足封闭性这一事实推断出单位元。威廉·伯恩赛德在其1911年出版的该著作第二版中完全重复了相同的定义。

值得注意的是，阿瑟·凯莱和威廉·伯恩赛德都没有坚持他们的群是有限的。该定义有意允许无限群的可能性，而威廉·伯恩赛德尤其对研究无限群感兴趣。我们在这里给出的是一系列发展的一部分，我们可以称之为英国学派。在这一序列中，这些主要贡献之间还有其他片段，我们已略去。现在我们转向与此同时正在进行的另一项群论发展，我们可以称之为欧洲学派。

1870年，利奥波德·克罗内克在一个完全不同的背景下给出了群的定义，即代数数论中类群的背景。他取一个特定的有限集合θ'、θ''、θ'''、……，使得从任意两个可以通过一种特定方法导出第三个。然后他假定交换律和结合律成立，并且如果θ'' ≠ θ'''，则θ'θ'' ≠ θ'θ'''。这似乎是利奥波德·克罗内克的一项独立发展，他没有将其与先前关于群的工作联系起来。然而，海因里希·马丁·韦伯在1882年给出了与利奥波德·克罗内克非常相似的定义，但他确实将其与先前关于群的工作联系了起来。

海因里希·马丁·韦伯定义了一个次数为$h$的群，如同利奥波德·克罗内克在类群背景下的做法，同样将其定义为一个有限集合。他要求从系统的两个元素可以导出系统的第三个元素，使得以下条件成立：-

$(\theta_{r}\theta_{s})\theta_{t} = \theta_{r}(\theta_{s}\theta_{t}) = \theta_{r}\theta_{s}\theta_{t}$

$\theta\theta_{r} = \theta\theta_{s}$蕴含$\theta_{r} = \theta_{s}$。

这里作几点评论。结合律的表述方式略显奇怪。在结合律被定义成立之前，表达式$\theta_{r}\theta_{s}\theta_{t}$没有意义，因此在现代处理中，人们可能会写成：

$(\theta_{r}\theta_{s})\theta_{t} = \theta_{r}(\theta_{s}\theta_{t})$，于是两边都可以用$\theta_{r}\theta_{s}\theta_{t}$表示。

仍然可以看出，这个定义存在一点不够清晰之处。海因里希·马丁·韦伯实际上定义的是一个带消去律的半群，并且，鉴于它是有限的，这足以保证单位元和逆元的存在。对于无限系统这一点不成立，海因里希·马丁·韦伯在其1895年出版的著名教科书Lehrbuch der AlgebraⓉ（《代数教科书》）中已经指出。在这本书中，他指出上述群的定义只对有限群有效，在无限情形下需要明确地公设逆元的存在。

插图：group_definitions.gif ↗

这里有一张图，用以说明各位数学家在缓慢走向群的抽象定义过程中的相互影响。

我们应当指出，这两条发展路线之间似乎相对缺少相互促进。不过也有一些。例如，威廉·伯恩赛德确实读过费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯的论文，尽管他读得比本该读的时间要晚，并且不得不两次向费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯道歉，因为不知道后者已经发表了什么。最近，一封威廉·伯恩赛德写给伊赛·舒尔的信被发现，我们知道威廉·伯恩赛德与奥托·赫尔德有过通信。

我们确实知道20世纪某些影响的来源——埃米·诺特，一位重要的20世纪人物，尤其通过巴特尔·伦德特·范德瓦尔登的Algebra一书产生了重要影响，他深受海因里希·马丁·韦伯的影响。另一方面，伊赛·舒尔，另一位有影响力的20世纪人物，则受到费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯的影响。

关于Ledermann的书Introduction to the theory of finite groups的一些轶事见THIS LINK。