数学史专题
我们档案中所有有传记的数学家都展现出非凡的智力。在本文中，我们来看几位展现出非凡记忆力和计算能力的数学家。我们还会看一些没有数学技能、通常也未受过教育的人，他们却能展示出令同时代人惊叹、至今仍令我们惊叹的心算技能。
[约翰·沃利斯]专注于（心算）求出的平方根的整数部分；几小时后，他凭记忆写下了结果。这一事实引起注意后，两个月后他被要求心算一个53位数的平方根；他心算完成了，一个月后他口述了答案，而在此期间他并未将其写下来。
这虽然相当了不起，但颇能代表我们将在本文中描述的那些壮举。正是非凡记忆力和计算能力的结合，似乎在我们考虑的许多人身上兼而有之。然而，在一个方面，约翰·沃利斯与我们描述的其他人大不相同，因为他完成上述壮举时已经53岁。我们描述的大多数其他人在幼年时就处于能力的巅峰，通常大约10岁。
考察了一位早期的数学家之后，让我们接下来考虑冯·诺伊曼，他的记忆绝技由赫尔曼·戈德斯坦在[8]中描述：-
据我所知，冯·诺伊曼在读过一本书或一篇文章后，能够逐字背诵；而且多年后他也能毫不犹豫地做到。他还能将其从原语言翻译成英语而不降低速度。有一次我通过让他告诉我《双城记》是如何开头的来测试他的能力。于是，他立即开始背诵第一章，没有停顿，直到大约十或十五分钟后被要求停止。
冯·诺伊曼进行心算的能力是大量故事的来源，这些故事无疑在传述中变得越来越令人印象深刻。很难在事实与虚构之间做出判断。然而，很明显，他在头脑中相乘两个八位数是一项他几乎不费力就能完成的任务。同样，似乎冯·诺伊曼的“几乎完美”的记忆在他的计算能力中起了很大作用。
其他在心算方面展现出强大能力的数学家包括安德烈-马里·安培、威廉·哈密顿和卡尔·弗里德里希·高斯。只有一位数学家曾详细描述过他如何能够完成令人难以置信的记忆和计算壮举。这就是亚历山大·艾特肯，见[9]、[1]和[7]，我们将在本文后面考虑他的方法。不过，首先让我们描述几位没有受过数学训练的计算神童的壮举。
Zerah Colburn的计算能力在[2]、[12]和[13]中有所描述。他于1804年出生在美国佛蒙特州的Cabut，1812年他访问欧洲，当时只有八岁，以展示他的技能：-
他能立即给出两个各四位数的乘积，但如果两个数都超过10,000，他就会犹豫。当时问他的问题包括将8提高到16次幂；几秒钟内他给出了答案281,474,976,710,656，这是正确的。……当被要求将像37或59这样的两位数提高到高次幂时，他工作得较慢。……当被问及247,483的因子时，他回答941和263；当被问及171,395的因子时，他给出5、7、59和83；当被问及36,083的因子时，他说没有。然而，他发现回答关于大于1,000,000的数字的问题很困难。
Colburn因多种原因而有趣。首先，他影响了威廉·哈密顿从事数学；其次，他展现了大多数未受教育的计算神童的一个共同特征，即他的能力在接受教育后减弱。这可能仅仅是因为这种计算能力需要每天持续练习许多小时，而教育占用了太多时间，不允许这种情况继续。Colburn还有趣的是，他能够给出他如何进行计算的思路，主要方法是将相关数字因式分解：-
当被问到 4,395 的平方时，他犹豫了一下，但在问题被重复后，他给出了正确答案，即 19,316,025。当被问及犹豫的原因时，他说他不喜欢用四位数乘以四位数，但他说：“我找到了另一种方法；我将 293 乘以 293，然后将这个乘积两次乘以 15。”另一次，当被问及 21,734 与 543 的乘积时，他立即回答 11,801,562；当被问及时，他解释说他是通过将 65,202 乘以 181 得出这个结果的。
George Parker Bidder 于 1806 年出生在英格兰德文郡的 Moreton Hampstead。他并不是那种在接受教育后就失去技能的人，并在 [3] 中写了一份关于他能力的有趣记述。同样值得注意的是，他的其他家庭成员也具有非凡的记忆力和计算能力。他的一个兄弟能背诵《圣经》，另一个兄弟是一名精算师，不幸的是他所有的书都在一场火灾中被毁。这对普通人来说可能是个问题，但他能够在六个月内凭记忆重写这些书。Bidder 的一个儿子能够相乘两个 15 位数字，但与他的父亲相比，他速度慢且准确性较低。Bidder 解释说，数字的声音对他来说比它们的视觉表示重要得多，这一点 亚历山大·艾特肯 也强调过。Bidder 写道，见 [3]：-
……如果我试图将纸上表示的任何数字固定在记忆中，这对我来说需要比口头表达或列举时更长的时间和更大的努力。……如果需要找出两个各九位数字的乘积，这些数字被读给我听，我不需要超过一次；但如果它们以通常的方式表示并交到我手中，我可能需要四次阅读才能重复它们，而且最终它们不会如此生动地印在我的想象中。
我们描述的最后一位非数学家是 扎卡里亚斯·达斯。他特别有趣，因为他的才能被 卡尔·弗里德里希·高斯、约翰·弗朗茨·恩克 和其他数学家研究过。作为 扎卡里亚斯·达斯 计算能力的例子，这里有一个：79532853 × 93758479 = 7456879327810587，用时 54 秒。他在 6 分钟内相乘了两个 20 位数字；在 40 分钟内相乘了两个 40 位数字；在 8 小时 45 分钟内相乘了两个 100 位数字。卡尔·弗里德里希·高斯 评论说，他认为一个擅长计算的人用铅笔和纸大约可以在他一半的时间内完成 100 位数字的例子。
尽管 扎卡里亚斯·达斯 没有接受过数学教育，但他提出利用自己的能力来帮助数学。他被展示了如何使用公式
并且，使用这个公式，他在大约两个月的时间里正确地将 π 计算到 200 位。在业余时间，1844 年至 1847 年间，他将前 1005000 个数字的自然对数计算到 7 位小数。
在19世纪，观看天赋异禀的儿童在舞台上进行计算似乎是一种相当流行的娱乐。当然，由于这种表演有市场，看起来有这种天赋的儿童被鼓励刻苦练习，以便能赚钱。Colburn、Bidder和扎卡里亚斯·达斯都进行了舞台表演。
另一种类型的闪电计算者是来自美国佛蒙特州罗亚尔顿的Trueman Henry Stafford。Stafford选择不在舞台上表演，尽管他在十岁时就拥有与其他人匹敌的计算能力。根据H W Adams的描述，如果他登台表演，很可能会吸引大批观众，见[12]，[13]：-
在脑中计算365,365,365,365,365,365与365,365,365,365,365,365的乘积。他像陀螺一样在房间里转来转去，把裤子拉到靴子上面，咬自己的手，眼珠在眼眶里乱转，时而微笑交谈，时而似乎痛苦不堪，直到不超过一分钟，他说出了133,491,850,208,566,925,016,658,299,941,583,225！
Stafford在普林斯顿获得了学位，并成为一名职业天文学家。随着年龄增长，他进行心算的能力逐渐消退。
在许多方面，这些人中最有趣的是亚历山大·艾特肯。原因是他不像上面描述的大多数人那样在年幼时就展示了自己的天赋。相反，正如他所解释的，他是逐渐发展出这种技能的，见[7]：-
直到15岁时，我才感到自己可能发展出真正的能力，大约在那时的一些年里，我没有告诉任何人，像婆罗门瑜伽士一样凭记忆练习心算，这里多练一点，那里多练一点，直到起初困难的事情逐渐变得越来越容易……
亚历山大·艾特肯成为了一位杰出的职业数学家，担任苏格兰爱丁堡大学的数学讲席。他在作为数学家的角色中以多种方式充分利用了自己的记忆力。仅举一例，见[6]：-
当他翻阅一本新出的数学期刊时，只需逐页浏览，翻页的速度之快，普通读者大约只能看六行左右。随后的讨论表明，他记住了全部内容。而且，正如他所说，他从不忘记曾经看过的东西。
亚历山大·艾特肯的生平在[7]中有描述，他的心智能力由他本人在[1]中、以及一位爱丁堡心理学家在[9]中记录并分析。在我看来[EFR]，亚历山大·艾特肯心算能力最引人入胜之处，在于他能将计算技巧和非凡的记忆壮举与对数值数学方法的深刻理解结合起来。
在[9]中，Hunter描述了亚历山大·艾特肯向他背诵π的前1000位数字的情形：——
他放松而安静地坐着，毫无错误、毫不犹豫地背出前500位数字。然后他停下来，几乎真的是为了喘口气。总共用时150秒。说话的节奏和速度很明显；大约每秒五个数字，中间隔着约秒的停顿。时间上的规律性几乎是机械式的；举例来说，每连续五十个数字一组，都正好用15秒背出。
接着亚历山大·艾特肯正确地背出了π的第二组500位数字。然而Hunter报告说，在这里亚历山大·艾特肯有过犹豫，有时还自我纠正。当被问及为什么他觉得第二组500位比第一组500位难得多时，亚历山大·艾特肯给出了一个有趣的回答。他说，部分原因是疲劳，因为回忆需要极大的努力。然而更有趣的是他的另一个理由：——
在计算机出现之前，人们有一种竞赛（我指的是人类之间的竞赛），看谁能把π算到多少位。1873年，威廉·尚克斯将其推进到707位小数；但直到1948年才发现，其中最后180位是错的。1927年，我曾为一次面向学生社团的非正式演示记住了那707位数字，1948年发现自己记住的东西有错，自然相当懊恼。当π被计算到1000位乃至更多小数时，我重新记住了它。但我不得不抑制自己早先对那些错误数字的记忆，那180位……
所以亚历山大·艾特肯的问题在于他无法忘记那错误的180位数字！
你可以在THIS LINK看到亚历山大·艾特肯背诵的π的十进制展开的1000位数字。
他的计算能力又如何呢？首先，当面对一个数字时，艾特肯立刻就能看到多种不同的表达方式。例如
会立刻浮现在他脑海中。事实上，一个数字会立刻以一种特别适合所需任务的形式出现在他眼前。例如，如果要求的十进制展开，他会把851想成；如果要求851的平方根，他会把它想成；如果要求的十进制展开，他会把它想成几乎等于0.02。
数字充满了亚历山大·艾特肯的世界。他说：——
如果我出去散步，如果一辆汽车经过，它的车牌号是731，我不由自主地注意到它是17乘以43。……当我看到公交车售票员翻领上的号码时，我会把它平方……这不是故意的，我就是忍不住。……[给定一个数字]它是形如的素数吗，因此只能以一种方式表示为两个平方数之和？它是伯努利数的分子，还是出现在某个连分数中？等等。有时候一个数字几乎没有任何性质，比如811；有时候一个数字，比如41，深深涉及你知道的许多定理。
亚历山大·艾特肯展示了除法能力，因而能计算有理数的十进制展开，这是其他计算者做不到的。在上述计算表演中，总有一条规则：当观众被要求提出算式时，除法算式是被禁止的。然而亚历山大·艾特肯能够使用某些技巧。当被要求计算的十进制展开时，他解释了自己的方法。他立刻看出697 = 17 × 41。然后：——
我在脑中算出了 41 的倒数，同时用 17 去除它。我做了两件事。顺便说一句，这很吃力。双重过程非常吃力。你看，你必须一边展开一个十进制小数，一边用别的数去除它。你得来回交替。我必须清楚 41 的倒数是 0.02439，同时还要用 17 去除。
然而，亚历山大·艾特肯用巧妙的技巧进行了许多次除法。他解释了如何用短除法展开许多十进制小数。他说，见[9]：
人们可以用短除法去除以像 59、79、109、599 这样的数，等等。以 为例，它几乎等于 。把除法列成这样
6 ) 1.0 1 6 9 4 9 1 5 2... ------------------------ 0.0 1 6 9 4 9 1 5 2 5...这里我们得到了 的十进制小数，它是通过用 1 除以 60 得到的；每得到一位数字，我们只需把它写进被除数中，位置往后一位，然后继续除法。再举一个例子，考虑 。把它写成 。然后进行
7 ) 15.2 1 7 3 9 1 3 0... ------------------------ 0.2 1 7 3 9 1 3 0 4...事实上， 是一个循环小数，循环节有 22 位。同样可以把它写成 ，然后每次两位地用 3 去除，并把结果写进被除数中往后两位的位置。还有其他可能：例如，心算者非常熟悉（或者应该非常熟悉）数的因数分解；他不仅应该知道 23 乘 13 是 299，还应该知道 23 乘 87 是 2001。例如， 等于 ；如果我们注意到 435 等同于 434.999999999...，我们就有了另一种方法：每得到一位数字，就把它们从被除数中减去，位置往后若干位。因此在当前这个例子中
2 ) 434 782 608 695 652 ... ------------------------- 217 391 304 347 ...例如，从 999 中减去 217 得到 782，然后我们用它除以 2，得到 391；再从 999 中减去它，得到 608；依此类推。我的目标是通过这些相当简单的例子，展示心算者可以调用的部分本领和资源库，以及在选择使用哪一种时，他必须瞬间做出决定，并坚持到底。
当被要求确切解释他在被要求计算123乘以456时做了什么时，亚历山大·艾特肯回答说：-
我立刻看出123乘以45是5535，而123乘以6是738；我几乎不用思考。然后5535加上738得到56088。甚至在记下56088的那一刻，我已经通过将它除以8来检查，得到7011，再除以9得到779。我认出779是41乘以19。而41乘以3是123，19乘以24是456。你看，这是一个检验；它在大约1秒内就过去了。
为什么我们所有人，在学习了亚历山大·艾特肯的技巧后，不能像他那样进行快速计算呢。亚历山大·艾特肯，当被问及他认为是什么使他比普通人更能计算时，将其归因于他轻松记住数字的能力。他说：-
我可以将已经得到的结果放在存储中，以备将来之用。我知道我可以正确地将其取出。……[这]就是计算者与街上普通人的区别。街上普通人会忘记中间阶段。
有些记忆壮举确实是视觉性质的。相关的人可以‘看到’已记住的物体的数字，并在某种意义上像读纸上写的一样读出来。亚历山大·艾特肯说他的记忆可以那样工作，但这会让他变慢。
看到会让我分心。如果我被迫视觉化，我会慢得多。
然而，当被要求倒背π的数字时亚历山大·艾特肯有趣的是，他别无选择，只能将这些数字转化为视觉形式，然后从他的视觉图像中倒着读出来。他所说的“慢得多”可能是真的，但速度仍然令人印象深刻。展开式的最后50位数字，他正背需要18秒，倒背需要34秒。
我们以两个关于亚历山大·艾特肯记忆力的最终例证作为结束。第一次世界大战期间，在阿门蒂耶尔的奥塔哥连队服役时，该排的登记册被毁。亚历山大·艾特肯背诵出了他所在排所有成员的名字和编号。第二个例证来自爱丁堡心理学系对亚历山大·艾特肯能力的测试。20世纪30年代，亚历山大·艾特肯接受了该系的测试。其中一项测试涉及从字典中随机选出的25个单词。这些单词被读给亚历山大·艾特肯听，他能够复述出来。1961年，当Hunter采访亚历山大·艾特肯时，他面前有一份20世纪30年代测试的记录，他问亚历山大·艾特肯是否记得曾被要求背诵一串随机单词。亚历山大·艾特肯确实记得，并且在近30年后仍能正确地背诵出来。