数学史专题
本文考察了历经许多世纪发展起来的度量衡体系所面临的问题，并探讨了公制体系的引入。我们首先大致评论一下测量的含义。测量就是将数与物理量联系起来，因此最早的测量形式构成了迈向数学的最初步骤。一旦完成了将数与物理对象联系起来的步骤，就可以通过比较相关联的数来比较这些对象。这导致了处理数的方法的发展。
最早的重量似乎是以被称量的物体为基础的，例如种子和豆类。古代的长度测量以人体为基础，例如一只脚的长度、一步的长度、一掌的宽度以及一拇指的宽度。早期发展出了多得令人难以置信的不同测量体系，其中大多数只在一个小地区使用。一种具有一定普遍性的体系是约公元前3000年发展起来的埃及腕尺。它以人体为基础，被取为从肘部到伸开指尖的手臂长度。由于不同人的手臂长度不同，埃及人发展出一种标准的皇家腕尺，它以一根黑色花岗岩石杆的形式保存下来，每个人都可以据此校准自己的测量杆。
要测量更小的长度，就需要对皇家腕尺进行细分。尽管我们可能认为以系统的方式划分它有着不可回避的逻辑，但这忽略了测量是随着人们使用人体其他部位测量较短长度而发展起来的这一事实。指宽是最小的基本单位，即一根手指的宽度。一腕尺有28指宽，一掌有4指宽，一手有5指宽，一小拃有3掌（即12指宽），一大拃有14指宽（即半腕尺），一小腕尺有24指宽，还有若干其他类似的量度。人们可能想要比指宽更小的量度，为此埃及人使用了由单位分数构成的量度。
流传至今的最早数学涉及重量与测量问题，这并不奇怪，因为这必定是发展这门学科的最早原因之一。例如，埃及纸草书中包含求解由重量与测量问题所产生的方程的方法。
后来一个其度量衡产生了广泛影响的文明是约公元前1700年的巴比伦文明。与埃及人一样，他们的基本长度单位是腕尺。然而，巴比伦腕尺（530毫米）比埃及腕尺（524毫米）略长。巴比伦腕尺被分为30库斯，这很有意思，因为库斯必定大约为一指宽，而分数也与巴比伦的六十进制数系密切相关。一巴比伦尺为巴比伦腕尺。
我们在上一段中评论了巴比伦单位的一种细分，它与他们的数系密切相关。在我们考察度量体系的发展时，这提出了一个问题。许多早期数系往往以十为基础，原因显而易见：我们有十根手指可以用来计数。大多数这类数系不是位值制，因此在测量细分中使用十的倍数的理由就不那么充分。而且，十是一个不适合用来划分测量单位的数，因为它只能自然地分成。以12为基础进行细分，意味着是自然的细分，为交易数量提供了大得多的范围。然而，由于大多数测量体系似乎都是作为不同“自然”量度的组合发展起来的，因此不会产生关于用哪个数来细分的问题。一个例外，也是已知最早的十进制重量与测量体系，是哈拉帕体系。
哈拉帕文明在公元前2500年至公元前1700年间繁荣于旁遮普地区。哈拉帕人似乎采用了一套统一的度量衡体系。对发掘中发现的砝码所作的分析表明，他们有两套不同的系列，二者本质上都是十进制的，每个十进制数都乘以二或除以二。主系列的比率为0.05、0.1、0.2、0.5、1、2、5、10、20、50、100、200和500。发掘中还发现了几种测量长度的标尺。一种是以1.32英寸（3.35厘米）的测量单位为基础的十进制标尺，这一单位被称为“印度河英寸”。当然，十个单位就是13.2英寸（33.5厘米），这作为一“英尺”的度量是相当可信的，尽管这表明哈拉帕人的脚相当大！另一种标尺是在发现一根青铜杆上有长度为0.367英寸的刻度时被发现的。这些标尺刻度的精确程度确实令人惊讶。这种度量的100个单位是36.7英寸（93厘米），大约是一步的长度。对已发掘建筑遗迹的测量表明，哈拉帕人在建造中准确地使用了这些长度单位。
欧洲的度量体系最初基于罗马的度量，而罗马的度量又基于希腊的度量。希腊人用一指宽（约19.3毫米）作为基本的长度单位，一英尺为16指，一希腊腕尺为24指。这些长度单位，如同希腊的重量和体积单位一样，都源自埃及和巴比伦的单位。当然，贸易是度量单位传播到比其本地更广地区的主要原因。约公元前400年，雅典是一个来自广大地区的贸易中心。阿戈拉是这座城市的商业中心，我们从阿里斯托芬的戏剧中得知那里进行着何种喧闹的交易。大多数争端都因所交易货物的度量衡而起，因此那里保存着一套标准量具，以便公平地解决此类争端。用于量取坚果、椰枣、豆类及其他此类物品的容器的大小已由法律规定，如果发现某个容器不符合标准，其内容物将被没收，容器将被销毁。
罗马人改编了希腊的体系。他们以英尺为基础，一英尺分为12英寸（或盎司，因为这两个词实际上相同）。罗马人不用腕尺，但也许因为大多数较长的测量都源自行军，他们有五英尺等于一步（一步是两跨步，即行走时右脚连续两次落地位置之间的距离）。然后1,000步量出一罗马里，这与今天使用的英制英里相当接近。随着罗马帝国的扩张，这套罗马体系在整个欧洲被采用，并带有地方性差异。然而，如果看一下像英格兰这样的国家，它在不同时期被许多民族入侵，带来了他们自己的度量。盎格鲁人、撒克逊人和朱特人带来了诸如杆、棒和弗隆这样的度量。英寻源于丹麦，是双臂伸展时从指尖到指尖的距离，而厄尔最初是德国量取毛料的度量。
在英格兰和法国，度量以相当不同的方式发展。我们在上文已经看到，度量的标准化问题总是带来麻烦，而在13世纪初的英格兰，一项王室法令Assize of Weights and Measures给出了一长串要使用的度量定义。一方面，这是一次极其成功的标准化尝试，因为其定义持续了近600年。英格兰与苏格兰之间的联合法案规定，这些标准将在整个大不列颠生效。然而在地方上，这些标准并不总是被遵守，各地区仍保留着自己的度量。当然，尽管已经尝试使度量标准化，却没有人尝试使它们合理化，大不列颠保留了一大堆令人眼花缭乱的度量，法令将它们定义为彼此之间相当奇怪的细分。科学家们早已看到度量合理化的好处，诸如克里斯托弗·雷恩这样的人曾提出一种新体系，以码为基础，而码被定义为在伦敦塔以每秒一次的频率摆动的摆的长度。
另一方面，在法国没有标准化，直到1788年，Arthur Young在1793年出版的Travels during the years 中写道：-
在法国，度量衡的无穷混乱超乎所有理解。它们不仅因省而异，而且因区而异，几乎每个城镇都不同。
事实上，据估计当时法国有大约800种不同的度量衡名称，考虑到它们在不同城镇的不同值，大约有250,000种不同大小的单位。这在某种程度上反映了地方贵族手中的权力，他们抵制了法国国王几个世纪以来标准化度量衡的所有尝试。狄德罗和让·勒朗·达朗贝尔在他们的Encyclopédie中极大地遗憾这种多样性，但看不到任何可能被接受的解决方案。一些法国科学家在法国大革命前至少100年就提出了统一的系统。加布里埃尔·穆顿在1670年建议世界应采用基于“米勒”的统一测量尺度，他将其定义为一分钟地球弧长的长度。他提议应使用十进制细分来确定较短长度单位的长度。拉朗德在1789年4月提议巴黎使用的度量衡应成为全国性的，这是一种标准化的尝试，但不是合理化。这一提议于1790年2月提交给国民议会，但在3月提出了不同的建议。塔列朗向国民议会提出了一项由尼古拉·德·孔多塞提出的建议，即采用一种基于自然长度的新测量系统。该系统应有十进制细分，所有面积、体积、重量等的度量都应链接到基本长度单位。基本长度应是一个以一秒速率摆动的摆的长度。该提议被采纳。
这个提议不是为了引入法国测量系统，而是为了设计一个国际测量系统，因此寻求其他国家的同意。一个直接问题是摆长取决于实验进行的纬度，因此必须选择一个纬度。法国提议45°，这方便地落在法国；英国提议伦敦；美国提议第38平行线，这方便地靠近Thomas Jefferson的庄园。外交措辞允许达成国际协议，但在1791年3月，让-夏尔·德博尔达作为度量衡委员会主席，提议使用从极点到地球赤道距离的长度，而不是摆的长度。如果他们没有宣布这个距离将通过Dunkerque和Barcelona之间距离的精确测量来确定，他们可能已经就此达成国际协议。伦敦皇家学会宣布这是基于法国的测量，美国人不准备接受法国数学家对其长度的说法，甚至在法国也有人声称整个项目实际上是为了获取地球形状的信息。确实，可能皮埃尔·西蒙·拉普拉斯和其他人更感兴趣的是发现地球的形状，而不是米的长度。
让·巴蒂斯特·约瑟夫·德朗布尔和皮埃尔·梅尚在1792年至1798年间测量了从Dunkerque到Barcelona的子午线。然而，在这些日期之间，法国大革命进展到Académie des Sciences在1793年8月被废除的阶段，但在此之前，让-夏尔·德博尔达、约瑟夫·拉格朗日和皮埃尔·西蒙·拉普拉斯基于塞萨尔-弗朗索瓦·卡西尼·图里在1740年进行的测量计算了米的临时值。公制被国民议会通过成为法律，一根米尺和一个千克砝码被送往美国，期望他们采用新度量衡。国会犹豫，因为标准是临时的。英国对米变得敌对，德国也是如此，德国想要基于摆的标准。
一个国际委员会于1798年9月开始工作，用从让·巴蒂斯特·约瑟夫·德朗布尔和皮埃尔·梅尚收集的数据计算出的精确值替换临时值。到次年6月，委员会生产了一根铂金棒，成为米的官方定义，并在1799年9月，法律要求在巴黎地区使用米。然而，正如人们所料，引入新度量衡说起来容易做起来难。部分问题是，像kilo-和centi-这样的希腊和拉丁前缀被提议以帮助新系统在国际上被接受，但在法国强烈不受欢迎。这也是一项本质上不可能执行的法律，而且，正如人们所料，许多商人趁机欺骗顾客。学校强制教授公制，希望至少下一代能接受它，即使当前一代不会。
1800年11月，有人试图通过去掉希腊语和拉丁语前缀、恢复旧的度量名称但赋予新的米制数值，使这一制度更易被接受。次年9月，在法国任何地方使用任何其他度量衡制度都成为非法，但这一规定在很大程度上被忽视。它没有持续多久，因为1812年2月12日，拿破仑让全国恢复了旧单位。米原器标准仍在使用，其含义是1英寻被定为2米，1英寻有6英尺，1英尺有12英寸。
尽管有这一倒退举措，拿破仑对米制的传播仍有重大影响。法国征服低地国家时，米制被引入那里，而在拿破仑战败、这些国家恢复君主制后，它们保留了这一制度。1820年，低地国家法律规定必须使用十进制米制。1830年比利时脱离荷兰独立，并将米制连同其原有的希腊语和拉丁语前缀定为唯一合法的计量制度。或许法国人废弃了自己发明的制度这一事实，反而有助于它在其他欧洲国家被接受。1840年，法国政府重新引入米制，但过了许多年旧度量才最终消亡。
19世纪60年代，英国、美国和德意志各邦都朝着采用米制迈出了步伐。1864年米制在英国成为合法，但下议院通过的一项要求在整个大英帝国使用米制的法律从未走完最后阶段而成为成文法。同样，在美国，米制于1866年成为合法，尽管其使用并未被强制。德意志各邦于1868年通过立法，这意味着在这些邦统一形成德国后，米制的使用成为强制性的。
有趣的是，许多英国顶尖科学家在1864年反对在英国引入公制，这是它只成为合法而非强制的原因之一。乔治·比德尔·艾里和约翰·赫歇尔强烈反对它，威廉·约翰·麦夸恩·兰金也是如此，他创作了诗歌The Three-Foot Rule：-
有人谈毫米，有人谈千克，
有人谈分升，用来量啤酒和打兰；
但我是个英国工人，太老上不了学，
所以我按磅吃，按夸脱喝，按我的三英尺尺子干活。一队天文学家去测量地球，
他们取四千万米作为其周长；
然而从极到极有五亿英寸；
所以还是坚持英寸、英尺和码，以及那好用的三英尺尺子吧。
1870年，法国人在巴黎召集了一次国际会议。邀请函已发给世界各国的科学家，目的是通过将米制作为世界范围的标准来改善国际科学合作。然而，就在代表们即将抵达之前，法国和普鲁士之间爆发了战争，德国代表团没有出席。由于希望任何决定都是真正国际性的，会议被推迟，并于1872年再次召开。结果是成立了设在巴黎的国际计量局，以及1875年由十七个国家签署的《米制公约》。随后几年又有更多国家签署。
1889年，国际计量局用一根新的米原器替换了巴黎的原始米原器，同时将米原器的副本送往每个签署了《米制公约》的国家。定义现在变为在一根由90%铂和10%铱制成的标准棒上标出的两条线之间的距离。这一直是标准，直到1960年国际计量局为国际科学采用了更精确的标准，它根据氪-86原子发出的光的波长来定义米，即在真空中该原子光谱橙红色线的1,650,763.73个波长。1983年米再次被重新定义，这次定义为光在真空中秒内传播的距离。这仍是当前的定义。请注意，在所有这些重新定义中，米的长度总是尽可能接近1799年由让·巴蒂斯特·约瑟夫·德朗布尔-皮埃尔·梅尚测量数据所确定的值。
请注意，当前的定义是用秒来定义米。而在1791年，让-夏尔·德博尔达曾反对用摆动周期为一秒的摆的长度来定义米，理由很合理：秒并非固定单位，可能随时间变化。确实，当时定义为平太阳日1/86,400的秒会变化，但1956年国际计量局引入了固定定义，即1900年回归年长度的。尽管这固定了数值，但人们认为这一定义并不令人满意，因为1900年的长度在1900年之后永远无法测量。1964年，它被改为与铯-133原子特定状态跃迁相关的9,192,631,770个辐射周期。到1983年，当米用秒来定义时，让-夏尔·德博尔达的反对意见已不再成立，因为那时秒的定义已不再采用确实可变的天文学定义。