数学史专题
标题中提到的苏格兰数学物理学家是开尔文、詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和彼得·格思里·泰特。这三位之所以涉足拓扑学概念，特别是纽结理论，是因为它以自然的方式进入了他们的物理思考。1847年，利斯廷发表了Vorstudien zur Topologie Ⓣ（拓扑学初步研究），随后波恩哈德·黎曼在1851年和1857年发表了关于复分析的重要论文，研究了连通性和波恩哈德·黎曼曲面。苏格兰数学物理学家直到很久以后才知道这些论文，但赫尔曼·冯·亥姆霍兹——其1858年的论文直接影响了他们——在很大程度上建立在波恩哈德·黎曼的思想之上。
1858年，赫尔曼·冯·亥姆霍兹在Crelle's Journal上发表了他关于理想流体运动的重要论文。赫尔曼·冯·亥姆霍兹的论文Uber Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen Ⓣ（论与涡旋运动相对应的流体动力学方程的积分）首先将理想流体的运动分解为平移、旋转和形变。正是这一方面最初引起了彼得·格思里·泰特的兴趣，他看到通过使用威廉·哈密顿的四元数，可以将流体速度表示为“向量函数”。然而，论文中最终引导苏格兰数学物理学家走向拓扑学思考的思想涉及涡线和涡管。赫尔曼·冯·亥姆霍兹将涡线定义为与流体局部旋转轴方向重合的线，将涡管定义为通过无穷小面积元的涡线束。赫尔曼·冯·亥姆霍兹证明了涡管必须闭合，并且涡管中的粒子在任何给定时刻都将无限期地留在管内，因此无论管子如何变形，它都将保持其形状。
赫尔曼·冯·亥姆霍兹意识到了他论文中的拓扑学思想，特别是涡管外部的区域是多连通的这一事实，这使他考虑多值势函数。他关于两个具有共同对称轴的圆形涡环的理论结论描述如下：-
如果它们具有相同的旋转方向，它们将沿同一方向前进，前面的环将扩大并移动得更慢，而第二个环将收缩并移动得更快，如果平移速度相差不太大，第二个环最终将追上第一个环并穿过它。然后同样的过程将在另一个环上重复，因此环将交替地相互穿过。
正如我们提到的，彼得·格思里·泰特对赫尔曼·冯·亥姆霍兹论文的最初兴趣是因为他在那里看到了四元数的应用。直到1867年，彼得·格思里·泰特才用烟圈实验验证了赫尔曼·冯·亥姆霍兹关于两个圆形涡环的理论主张。他使用了两个盒子，每个盒子都有一个橡胶膜，当膜被敲击时，会射出白色烟圈。开尔文于1867年1月22日写信给赫尔曼·冯·亥姆霍兹：-
...几天前，彼得·格思里·泰特在爱丁堡向我展示了一种产生[涡环]的绝妙方法。我们有时可以让一个环穿过另一个环，完美地说明了你的描述；当一个环靠近另一个环时，每个环都受到很大扰动，可以看到它在几秒钟内处于剧烈振动状态，直到它再次稳定成圆形。...这些振动为数学工作提供了一个美丽的主题。
这些实验对开尔文产生了重大影响，他将形式的永久性视为原子的一种可能解释，从而解释了不同元素如何被构建的方式。值得注意的是，开尔文能够足够快地发展他的思想，以至于他仍然在1867年就能在Proceedings of the Royal Society of Edinburgh上发表On vortex atoms。在这篇论文中，他写道：-
勒克莱尔的原子若不把物质的性质归因于原子本身，就无法解释物质的任何性质……可以合理预期，基于紧密堆积的涡旋原子动力学来建立弹性固体和液体的理论是可能的。
尽管我们现在知道开尔文是完全错误的，但我们刚才引用的那段话中仍有许多正确的推理。这个想法也引出了有趣的数学问题。正如他在同一篇论文中所写：-
对两个涡旋环之间相互作用的完整数学研究——这两个环以任意给定速度沿任意两条线相互通过，且其方向使得它们彼此接近的距离永远不会小于任一直径的很大倍数——是一个完美的数学问题；而所设想情形的新颖性带来了令人兴奋的困难。它的解决将成为所提出的新的气体动理论。
开尔文与他同时代的大多数科学家一样，认为空间充满了一种完美流体，即以太。涡旋原子于是就是以太的纽结管，根据赫尔曼·冯·亥姆霍兹的理论，这些管尽管发生形变仍保持其形状。涡旋的这种稳定性解释了原子的稳定性。涡旋原子由以太构成，不需要特殊材料。不同的元素由不同纽结或链环构成的原子来解释，而纽结的振动，开尔文相信，将解释不同元素所特有的光谱线。
彼得·格思里·泰特开始思考纽结，而开尔文关于涡旋原子的第二篇论文于1869年发表，其中包含了由彼得·格思里·泰特绘制的纽结和链接的图示。然而，早在很久以前，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦就已经参与了三位苏格兰数学物理学家之间书信往来的讨论。他由于电磁学的考虑而对纽结感兴趣，并在1867年12月4日写给彼得·格思里·泰特的一封信中，重新发现了一个计算两条闭曲线环绕数的积分公式，这个公式卡尔·弗里德里希·高斯曾在1833年发现但未发表。詹姆斯·克拉克·麦克斯韦还给出了表示纽结曲线的三维方程。
然而正当他们的工作迅速推进时，一个重大问题出现了。约瑟·伯特兰声称赫尔曼·冯·亥姆霍兹1858年的论文——涡旋原子观念所依据的论文——是错误的。詹姆斯·克拉克·麦克斯韦已经对这些难题产生了兴趣，并且不相信约瑟·伯特兰的反对意见对赫尔曼·冯·亥姆霍兹的论文造成了严重打击。1868年9月，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦写了几份研究纽结和链环的手稿。他如下提出了纽结和链环分类的基本问题：-
设给定空间中任意一个闭曲线系统，并假定它们能够以任意连续方式改变其形状，只要没有两条曲线或一条曲线的两个分支经过空间中同一点，我们提议研究这些曲线的位置之间以及系统中不同曲线的复杂程度之间的必要关系。
詹姆斯·克拉克·麦克斯韦考察了链环的二维投影，并设计了一种对图进行编码的方法，以指明在投影的交叉点上哪条曲线在上、哪条在下。
随后他考察了在不改变链环或纽结的情况下修改图的方法。对于由一条弧詹姆斯·克拉克·麦克斯韦围成的区域，他指出可以通过展开曲线来消去该区域。对于由两条弧围成的区域，他指出有两种情形：一种情形是两条弧可以分开并消去该区域，另一种情形是不对图的其他部分作出改变就无法做到这一点。对于由三条弧围成的区域，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦指出同样有两种情形：——
在第一种情形中，任意一条曲线都可以越过另外两条曲线的交点而不扰动它们。在第二种情形中，这一点无法做到，两条曲线的交点阻碍了第三条曲线沿该方向的运动。
尽管他的方法缺乏数学上的严格性，但值得注意的是，在这一早期阶段，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦已经定义了“Reidemeister移动”，而这些移动在20世纪20年代将被证明是修改纽结的基本移动。
在第二份手稿中，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦考虑了由亏格为的一个外部曲面和亏格为的个内部曲面所围成的空间区域，并证明了该区域具有条环路且是重连通的。用现代术语来说，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦所断言的是该区域的第一个恩里科·贝蒂数为。我们再次应当注意，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦没有给出他所处理概念的精确数学定义，因此不可能有严格的证明。人们自然会问，他当时是如何找到正确答案的。原因在于，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦以及开尔文同样，都是凭借正确的物理理解而非数学直觉得出了正确的结果。
詹姆斯·克拉克·麦克斯韦的这些手稿在写作时并未发表，尽管彼得·格思里·泰特曾请他将其关于纽结理论的想法提交给爱丁堡皇家学会发表。然而，在写成100多年后，这些手稿发表在[2]中。共有三份关于纽结的手稿，在第二份（詹姆斯·克拉克·麦克斯韦于1868年10月写成）和第三份（他于1868年12月29日写成）之间的某个时候，他读到了利斯廷1847年的论文Vorstudien zur TopologieⓉ（拓扑学初步研究），因为在第三份手稿中他列出了利斯廷的主要结果。1869年2月，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦向伦敦数学学会提交了关于利斯廷拓扑学思想的报告。
1869年，开尔文试图澄清他所使用的拓扑概念。问题实际上归结为这样一个事实：也许并不令人意外，他把我们今天所知的两个不同概念混淆了。他写道：——
当空间的有限部分的边界面使得其上任意两点之间存在n条不可调和的路径时，我将称该有限部分为n重连续的。
他解释说，两点和之间两条不可调和的道路是指无法通过保持在所考虑的空间部分内的道路彼此光滑变换的道路。这个定义实际上并不奏效，尽管可以看出开尔文在努力达到同伦的定义。然而，他并没有复合他的道路，而这是同伦定义中的一个关键要素。在论文中给出的证明里，开尔文甚至没有尝试使用他的定义，而是诉诸于涉及虚拟屏障的论证，这些屏障会阻止流体流动。再次，他的拓扑学是由流体流动的物理观念驱动的，但这个概念，类似于波恩哈德·黎曼引入并由赫尔曼·冯·亥姆霍兹使用的“切割面”概念，与我们今天同调的概念相关，而非同伦。
到1876年，开尔文在涡旋原子方面的想法几乎没有进展。他面前有许多问题，事实上到那时他还没有成功地在数学上描述两个涡旋环如果没有共同的对称轴将如何相互作用，更不用说打结的涡旋将如何相互作用了。此外，通过纽结列表也没有对涡旋原子提供任何洞见，而在开尔文的理论中，这些列表将解释化学元素。彼得·格思里·泰特决定在1876年开始对平面闭曲线进行分类，在给英国科学促进会的一份报告中写道：-
这一学科的发展预示着绝对无尽的工作——但是一种非常有趣和有用的工作——因为它与纽结理论密切相关，而纽结理论（尤其是应用于W开尔文爵士的涡旋原子理论时）很可能很快成为数学的一个重要分支。
现在通过观察平面闭曲线，彼得·格思里·泰特正在考虑交错纽结，即那些在二维空间中沿投影行进时，交叉点交替出现上穿和下穿的纽结。选择一个起点和沿路径行进的方向，他将第一、第三、第五等点标记为等。一个具有个交叉点的纽结随后将由长度为的交叉点序列来描述，其中当纽结被行进时，中的每一个恰好出现两次。彼得·格思里·泰特将这个序列称为“纽结的方案”。
插图：knot_scheme.gif ↗
一个具有方案的纽结。
当时有两个基本问题需要解决。第一，上述类型的序列中哪些对应于一个纽结；第二，当两个纽结由这样的序列描述时，如何判定它们是否相同。然而还有一些其他问题，例如，一个长度为10的序列，比如说，可能表示一个纽结，但它可能是一个交叉数少于5的纽结。它可能是一个可以约化为交叉数更少的纽结。例如，如果投影包含一个交叉，它把曲线分成两个不相交的部分，那么这就是一个nugatory交叉，可以通过一个扭转去掉。
插图：nugatory.gif ↗
无效交叉的一个例子。
彼得·格思里·泰特猜想，一个没有无效交叉的交替图会包含最少数量的交叉。这被称为彼得·格思里·泰特第一猜想。他给出了一个“证明”，表明只有无效交叉才允许减少交叉数。然而这还不够好，因为可能存在一系列操作，先增加交叉数，然后进一步的操作减少到比原来更少的交叉数。如果我们按照他似乎在猜想中使用的一种形式来解释彼得·格思里·泰特，即两个表示同一素纽结且没有无效交叉的交替图通过一系列扭转相关联，那么我们就得到了所谓的彼得·格思里·泰特第二猜想。这直到1993年才最终被证明。
在没有任何严格理论的情况下——这远远超出了十九世纪数学的范围——彼得·格思里·泰特开始利用他的数学和几何直觉对纽结进行分类。他知道真正需要的是一种纽结不变量，即某种独立于纽结在二维中表示方式的东西。首先他寻找数值不变量，并考虑给定纽结在二维表示中可能具有的最小交叉点数。这引导他提出了关于交错纽结的彼得·格思里·泰特第一猜想。
另一个对彼得·格思里·泰特来说似乎很有希望的想法是“纽结度”，他定义如下。沿着纽结图走一圈，在每个交叉之后立即向左抛一枚铜币、向右抛一枚银币，如果该交叉是上交叉；或者向左抛一枚银币、向右抛一枚铜币，如果该交叉是下交叉。
插图：crossings.gif ↗
这导致了：
彼得·格思里·泰特随后将“纽结度”（现在称为扭转数）定义为银交叉超过铜交叉的超出量。如果只考虑没有无效交叉的图，那么彼得·格思里·泰特相信这是一个纽结不变量。事实上它不是，但对于交替纽结，它是一个不变量，这一事实是彼得·格思里·泰特第二猜想（自1993年以来的一个定理）的推论。他尝试了其他更明显物理的想法，例如将纽结视为一个电路，并考察由纽结中电流携带的磁性粒子所做的功。他尝试了另一个起初对他来说非常有希望的想法，即为解开纽结所需将下交叉改为上交叉（或反之）的最小交叉数。他最初认为这将是纽结度的一半。他很快发现并非如此。看到这两个概念是不同的，彼得·格思里·泰特改变了他的定义，并将为解开图所需改变的最小交叉数称为纽结度，而将最小交叉数称为纽结性。
利斯廷引入了与纽结相关的两个变量的多项式。这些多项式是通过按照一条与上交叉或下交叉有关的规则，在一个交叉或（分别对应左或右）的四个角上做标记而产生的。然而，这些多项式并不是不变量。彼得·格思里·泰特尝试了一个类似的想法，他在图的区域或上做标记，然后用一个重数等于两个区域边界上交叉点数的多重键连接区域。他这样做是受到他的同事（也是他的妹夫）Alexander Crum Brown 发明的化学表示法的启发。
到1877年，彼得·格思里·泰特已经分类了所有七个交叉的纽结，但他止步于此。他在1883年对爱丁堡数学学会的演讲中回到了纽结这个话题：-
我们发现，画出所有具有任意给定交叉数的可能纽结，仅仅成为一个熟练劳动的问题。所需的劳动量随着交叉数的增加而极其迅速地增长。……我没能抽出时间将这一过程推进到超过七个交叉的纽结。……非常希望有某位具备必要闲暇的人，能够尝试扩展这份列表，如果可能的话直到11个……
托马斯·柯克曼阅读了彼得·格思里·泰特演讲的文本，并开始着手对超过七个交叉的纽结进行分类。他在1884年5月将关于最多九个交叉的纽结投影的结果寄给了彼得·格思里·泰特，但他还没有考虑判定哪些投影导致等价纽结的问题。彼得·格思里·泰特研究了这一方面的问题，并且仅考虑交错纽结，在几周内解决了等价性问题。彼得·格思里·泰特似乎知道如何在没有严格方法的情况下判断两个纽结是否等价。他在他撰写的将纽结制成表格的论文中非常清楚地说明了这一点，他说他的方法：-
……或多或少具有尝试性的缺点。并不是说所制定的规则……留下了任何纯粹猜测的余地，而是它们过于复杂，无法始终完全保持在视野中。因此，我们不能绝对确定通过这些过程，我们已经获得了我们所采用的定义所包含的所有本质上不同的形式。
尽管存在这些问题，彼得·格思里·泰特确切地知道他在做什么，因为值得注意的是，他的表格是正确的。当托马斯·柯克曼在1885年1月将所有具有10个交叉的纽结投影寄给他时，彼得·格思里·泰特再次发现所有投影都归于等价纽结。这些表格于1885年9月印刷，再次完全正确。到那时，他已经从托马斯·柯克曼那里收到了1581个具有11个交叉的纽结投影，而这一次彼得·格思里·泰特觉得他没有时间解决这些投影的等价性问题。然而到这时，一位美国数学家和工程师Charles N Little已经将他自己计算出的纽结表格寄给了彼得·格思里·泰特，并且Little开始将表格扩展到非交错纽结以及具有十一个交叉的纽结。