数学史专题
在公元前一千年，希腊并没有统一的民族标准。因为各个城邦都以其独立而自豪。这意味着它们各自拥有自己的货币、度量衡等。这反过来又导致不同城邦之间的数系存在细微差异，因为在古代，数系的一个主要功能是处理商业交易。然而，本文不会详细到足以考察各个城邦体系之间的细微差异，而是会审视其总体结构。我们应当立即指出，古希腊人对于基数词和序数词有不同的体系，因此我们必须仔细审视我们所说的希腊数系是什么意思。此外，我们还将简要介绍一些由不同希腊数学家提出但未被广泛采用的体系。
我们考察的第一个希腊数字系统是他们的acrophonic system，它在公元前一千年使用。“Acrophonic”意味着数字的符号来自数字名称的第一个字母，所以符号来自用于数字的单词的缩写。这里是数字5、10、100、1000、10000的符号。
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首音数字 5、10、100、1000、10000。
我们省略了表示“一”的符号，即简单的“|”，这是一个显而易见的记号，并非来自某个数字的首字母。对于5、10、100、1000、10000，读者只会遇到一个疑问，那就是5的符号，如果它是Pente的首字母，就应当是P。然而，这不过是希腊字母表在这些字母所对应的数字符号固定之后发生变化的结果。到那时，人们大概已不再认为这些符号来自字母，因此也就没有随着字母符号的变化而改变它们。π的原始形式是G，所以Pente最初是Gente。
现在该系统基于加法原则，类似于罗马数字。这意味着8就是V|||，即五的符号后跟三个一的符号。这里是希腊Acrophonic数字中的1-10。
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希腊首音数字中的1—10。
如果使用以10为基数的加法系统而没有中间符号，那么表示某些数字就需要许多字符。在这样的系统中，数字9999需要36个符号，这非常笨拙。我们已经看到，希腊字母表数制有表示5的特殊符号。这并不奇怪，因为它减少了所需的字符数，并且大概也源于用手指计数。我们有10根手指，但每只手上有5根。稍微更令人惊讶的是，该系统有表示50、500、5000和50000的中间符号，但它们不是新字符，而是由5和分别表示10、100、1000、10000的符号组成的复合符号。以下是这些复合符号的形成方式。
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组合首音数字。
注意，由于该系统没有位值方面的特性，因此不需要用零作为空位占位符。符号H表示100，因为在该表示法中，数字没有十位或个位并不会造成任何问题。
然而，这并不是创造这种复合符号的唯一方式。我们已经提到，不同的城邦使用了该数制系统的变体，尽管我们不打算详细考察这些变体，但至少可以通过展示已发现的一些表示50的形式来给出一些提示。这些形式大多比我们所考虑的数字的主要形式更古老，更典型地属于公元前1500年至公元前1000年这一时期。
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不同希腊城邦中50的不同写法。
下一个值得注意的点是，这个数系并不真正由我们今天所认为的那种抽象数字组成。今天，数字2适用于任何两个物体的集合，而2被视为所有这类两个物体的集合所共有的抽象属性。我们知道古希腊人的想法有些不同，因为数字会根据其所指代的对象而以略有不同的形式使用。这个特定数系最频繁的用途是表示货币金额。货币的基本单位是drachma，更大的单位是塔兰特，价值6000德拉克马。德拉克马又细分为更小的单位，即obol，它是1德拉克马的，以及chalkos，它是1奥波尔的。半奥波尔和四分之一奥波尔也被使用。注意，这个货币体系并非基于十进制，尽管该数系以10为底数、5为次底数。
不同的货币单位通过修改数字中单位的记法来表示。
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5678德拉克马会这样写：
单位的这种形式将表示德拉克马。
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3807塔兰特将写作：
单位现在将表示为T（对于talent则为T）。涉及德拉克马和奥波尔的金额将写成：
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3807德拉克马和3奥波尔：
这种首字母缩合系统不仅用于货币。一个非常相似的系统也用于处理重量和度量，这并不奇怪，因为货币的价值肯定是从重量系统演变而来的。德拉克马也是重量单位的名称这一事实证实了这一点。
现在我们来看第二种古希腊数字系统，即字母数字，或有时被称为“博学”系统。正如“字母”一词所暗示的，这些数字基于赋予字母表中的字母以数值。值得注意的是，希腊人是最早采用基于字母表的书写系统的民族之一。他们并非这种书写形式的发明者，因为腓尼基人首先建立了这样的系统。用于书写词语的希腊字母表是从腓尼基系统接管过来的，并且与之相当接近。我们不会考察希腊字母本身的形式，但确实值得强调这种书写形式在推动知识进步方面的重要性。它对于当今大多数国家的交流方式至关重要，尽管有些民族确实更喜欢使用其他书写形式。
古典希腊字母表中有24个字母，它们与3个已不再使用的更古老的字母一起使用。这27个字母是
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其中，我们给出了24个古典字母的大写和小写形式。字母digamma、koppa和san是废弃的字母。尽管我们在上表中没有给出它们的符号，但它们的符号出现在下面的数字表中。这些字母中的前九个被用作1、2、…、9的符号。
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按字母顺序的1-9。
注意，6 用已废弃字母 digamma 的符号表示。
接下来的九个字母被用作 10，20，…，90 的符号。
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按字母顺序的 10–90。
注意，90 用已废弃字母 koppa 的符号表示。
剩下的九个字母被用作 100，200，…，900 的符号。
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按字母顺序的 100–900。
注意，900 由已废弃字母 san 的符号表示。
有时当这些字母被写来表示数字时，会在符号上方加一横杠，以区别于对应的字母。
现在数字通过加法原则构成。例如 11，12，…，19 写作：
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按字母顺序的 11-19。
更大的数字以同样的方式构造。例如这里是 269。
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按字母顺序的 269。
现在这个数系很紧凑，但未经修改时有一个主要缺点，即不允许表示大于 999 的数。为了克服这个问题，人们创造了复合符号。1000 到 9000 之间的数是通过给 1 到 9 的符号加上下标或上标 iota 构成的。
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1000，…，9000的第一种形式。
1000，…，9000的第二种形式。
希腊人如何表示大于 9999 的数？他们以万为基础，即 10000。符号 M 上方写有表示某个不超过 9999 的数的小数字，意味着该小数字所表示的数乘以 10000。因此，在 M 上方写 β 表示 20000：
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数20000。
类似地，写在M上方的插图：greek_numbers_20.gif ↗表示1230000：
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数1230000。
当然，在M上方写一个大数字相当困难，所以在这种情况下，小数字常常写在M的前面而不是上方。来自阿里斯塔克斯的一个例子：
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阿里斯塔克斯将数71755875写成：
对于大多数用途而言，这套数系可以表示日常正常生活中可能出现的所有数。事实上，像71755875这样大的数不太可能经常出现。另一方面，数学家们确实看到了扩展数系的必要性，我们现在来看两个这样的方案，首先是阿波罗尼奥斯提出的一个，然后简要介绍阿基米德提出的一个（尽管事实上从历史上看，阿基米德提出他的方案比阿波罗尼奥斯早了近50年）。
虽然我们没有关于阿波罗尼奥斯提议的第一手资料，但我们通过帕普斯的报告知道了它。我们上面描述的系统以万为单位进行乘法运算。阿波罗尼奥斯用来将系统扩展到更大数字的想法是使用万的幂。上方带有α的M表示10000，上方带有β的M表示M2，即100000000，等等。要乘以10000、10000000等的数字写在M符号之后，而插图：greek_numbers_21.gif ↗写在数字各部分之间，这个词最好解释为“加”。作为一个例子，这是阿波罗尼奥斯会写587571750269的方式。
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阿波罗尼奥斯对587571750269的表示法。
阿基米德设计了一个类似的系统，但他不是用作为被提升到各种幂的基本数，而是用的幂。阿基米德的第一个八位组由直到的数组成，而第二个八位组是从直到的数。使用这个系统，阿基米德计算出能够装入宇宙的沙粒数量约为第八个八位组的量级，即1的量级。