埃及数学概览An overview of Egyptian mathematics

埃及的文明在早期就达到了很高的水平。这个国家非常适合人民居住，得益于尼罗河，土地肥沃，气候宜人。它也是一个容易防御的国家，几乎没有天然的邻国来攻击它，因为周围的沙漠为入侵力量提供了天然屏障。因此，埃及享有长期的和平，社会迅速发展。

到公元前3000年，两个早期的民族联合起来，在一位统治者的领导下形成了一个单一的埃及民族。农业已经发展起来，大量利用了一年中有规律的雨季和旱季。尼罗河在雨季泛滥，提供了肥沃的土地，复杂的灌溉系统使其适合种植庄稼。知道雨季何时即将到来至关重要，天文学的研究发展起来以提供日历信息。埃及民族覆盖的广阔区域需要复杂的行政管理、税收制度，并且必须支持军队。随着社会变得更加复杂，需要保存记录，并在人们以物易物时进行计算。计数需求出现了，然后需要文字和数字来记录交易。

到公元前3000年，埃及人已经发展出他们的象形文字（更多细节见我们在埃及数字的文章Egyptian numerals）。这标志着古王国时期的开始，在此期间金字塔得以建造。例如，吉萨大金字塔建于约公元前2650年，是一项非凡的工程壮举。这最清楚地表明，当时的社会已经达到了很高的成就水平。

用于书写和计数的象形文字让位于用于书写和数字的僧侣体文字。数字本身的细节见我们在埃及数字的文章Egyptian numerals。这里我们关注的是他们为使用这些数字而设计的算术方法。

埃及数字系统不太适合算术计算。我们今天仍然熟悉罗马数字，因此很容易理解，尽管罗马数字的加法相当令人满意，但乘法和除法基本上是不可能的。埃及数字系统与罗马数字有类似的缺点。然而，埃及人在数学方法上非常务实，他们的贸易要求他们能够处理分数。贸易还要求乘法和除法成为可能，因此他们设计了非凡的方法来克服他们不得不使用的数字系统的缺陷。基本上，他们必须设计出只涉及加法的乘法和除法方法。

早期的象形文字数字可以在神庙、石碑和花瓶上找到。它们几乎没有提供关于可能用这些数字系统进行的任何数学计算的知识。当这些象形文字被刻在石头上时，没有必要发展可以更快书写的符号。然而，一旦埃及人开始使用干燥的纸莎草芦苇的扁平片作为“纸”，并使用芦苇的尖端作为“笔”，就有理由发展更快速的书写方式。这促进了僧侣体文字和数字的发展。

必定有大量的纸莎草纸，其中许多以某种形式涉及数学，但遗憾的是，由于材料相当脆弱，几乎全部都已损毁。任何能够留存下来都是非凡的，而它们之所以留存下来，是埃及干燥气候条件的结果。两份主要的数学文献留存了下来。

你可以看到写在Rhind papyrus上的埃及数学的一个例子，以及另一份纸莎草纸，即Moscow papyrus，附有僧侣体文字的翻译。我们对埃及数学的大部分知识都来自这两份文献，本文中的大部分数学信息都取自这两份古代文献。

插图：Rhind_papyrus.jpeg ↗

这是莱因德纸草书

莱因德纸草书以苏格兰埃及学家A Henry Rhind命名，他于1858年在卢克索购得此书。这份纸草书是一卷长约6米、宽$\large\frac{1}{3}\normalsize$米的卷轴，约于公元前1650年由书吏Ahmes抄写，他声称自己是在抄写一份比之早200年的文献。因此，莱因德纸草书所依据的原始纸草书大约可追溯至公元前1850年。

插图：Moscow_papyrus.jpeg ↗

这是莫斯科纸草书

莫斯科纸草书也定年于这一时期。如今，以Ahmes而非Rhind来称呼莱因德纸草书变得越来越普遍，因为以书吏而非相对晚近购得它的人来命名似乎公平得多。然而，对于莫斯科纸草书来说，这却不可能，因为遗憾的是，写下这份文献的书吏没有留下自己的名字。它常以购得它的人命名为戈列尼谢夫纸草书。莫斯科纸草书现藏于莫斯科美术博物馆，而莱因德纸草书则藏于伦敦大英博物馆。

莱因德纸草书包含87个问题，而莫斯科纸草书包含25个。这些问题大多是实用性的，但也有少数是为了教授数字系统本身的运算而提出的，并无实际应用意图。例如，莱因德纸草书的前六个问题问的是如何将$n$个面包分给10个人，其中问题1为$n =1$，问题2为$n = 2$，问题3为$n = 6$，问题4为$n = 7$，问题5为$n = 8$，问题6为$n = 9$。显然这里涉及分数，事实上，87个问题中有81个涉及分数运算。Rising在[37]中讨论了这些面包公平分配问题，这些问题在埃及数学的发展中尤为重要。

有些问题要求解方程。例如问题26：一个量加上该量的四分之一等于15。这个量是多少？其他问题涉及等比级数，如问题64：将10赫卡特大麦分给10个人，使每个人比前一个人多得$\large\frac{1}{8}\normalsize$赫卡特。有些问题涉及几何。例如问题50：一块圆形田地的直径为9凯特。它的面积是多少？莫斯科纸草书也包含几何问题。

与抽象地思考数学观念的希腊人不同，埃及人只关心实用算术。大多数历史学家认为，埃及人并不把数看作抽象的量，而是每当提到8时，总是想到8个具体物体的集合。为了克服其数字系统的缺陷，埃及人想出了巧妙的方法来绕过他们的数字不适合乘法这一事实，正如莱因德纸草书所展示的那样。

我们在埃及纸草书中的数学上的一篇关于埃及纸草书中的数学的单独文章中详细考察了埃及纸草书中包含的数学。在本文中，我们接下来考察一些关于金字塔建造中所用数学常数的说法，特别是吉萨大金字塔，正如我们上面所指出的，它建于约公元前2650年。

Joseph [8] 和其他许多作者给出了一些大金字塔的测量数据，这些数据使一些人相信它的建造考虑到了某些数学常数。底面与一个侧面之间的夹角是 51° 50' 35"。这个角的正割是 1.61806，与黄金比例 1.618034 惊人地接近。并不是说有人相信埃及人知道正割函数，但这当然只是斜面高度与正方形底面边长一半之比。另一方面，51° 50' 35" 倾角的余切非常接近 $\Large\frac{\pi}{4}\normalsize$。同样，当然没有人相信埃及人发明了余切，但这同样是边长之比，人们相信这个比值被造得符合这个数。现在，细心的读者会意识到，要使这两个说法至少在数值上都准确，黄金比例与 π 之间必定存在某种关系。事实上存在一个数值巧合：黄金比例的平方根乘以 π 接近 4，实际上这个乘积是 3.996168。

在 [38] 中，Robins 反对黄金比例或 π 被有意用于金字塔建造的说法。他声称垂直升高与水平距离之比被选为 $5\large\frac{1}{2}\normalsize$ 比 7，而 $(\large\frac{11}{14}\normalsize ) \times 4 = 3.1428$ 且接近 π 这一事实不过是巧合。同样，Robins 声称黄金比例出现的方式也仅仅是巧合。Robins 声称某些构造被做成使金字塔的底面、高度和斜面高度形成的三角形是一个 3、4、5 三角形。当然，工程师们利用数学知识来构造直角，似乎比他们建造出与黄金比例和 π 相关的比值更有可能。

最后我们考察古埃及历法的一些细节。如上所述，埃及人必须知道尼罗河何时泛滥，因此这需要历法计算。一年的开始被选为天狼星——天空中最亮的星——的偕日升。偕日升是这颗星在过于靠近太阳而无法看见的时期之后首次出现。对于天狼星，这发生在七月，这被视为一年的开始。尼罗河在此之后不久泛滥，所以这是一年自然的开端。天狼星的偕日升会告诉人们准备应对洪水。一年被计算为 365 天，这肯定在公元前 2776 年就已知道，这个值被用于记录日期的民用历。后来算出了更精确的 $365\large\frac{1}{4}\normalsize$ 天作为一年的长度，但民用历从未改变以考虑这一点。事实上，两种历法并行运行，用于播种、收割等实际目的的那一种基于朔望月。最终民用年被分为 12 个月，年末有一个 5 天的额外时期。埃及历法虽然随时间变化很大，但它是儒略历和格里高利历的基础。