埃及纸草书中的数学Mathematics in Egyptian Papyri

在埃及数学概览上的文章《埃及数学概览》中，我们考察了现存主要埃及纸莎草的一些细节。在本文中，我们详细考察其中包含的数学。

插图：Rhind_papyrus.jpeg ↗

⟦E1⟧

Ahmes中，用以下方式说明了埃及的乘法。假设我们要计算41乘以59。取59并加上它自身，然后将结果再加上它自身并继续：-

  41             59
  _________________
   1             59
   2            118
   4            236
   8            472
  16            944
  32           1888
  _________________

由于64 > 41，无需超过32这一项。现在进行若干次减法

41 - 32 = 9, 9 - 8 = 1, 1 - 1 = 0

以看出41 = 32 + 8 + 1。接着检查右列中对应于32、8、1的数并将它们相加。

  41             59
  _________________
   1             59 ✓
   2            118
   4            236
   8            472 ✓
  16            944
  32           1888 ✓
  _________________
               2419

注意，这种乘法仅通过加法完成，还要注意这是二进制算术的极早使用（见下文）。将因数互换，我们有：

    59             41
    _________________
     1             41 ✓
     2             82 ✓
     4            164
     8            328 ✓
    16            656 ✓
    32           1312 ✓
    _________________
                 2419

注意，要使这种方法有效，我们需要知道每个数都是2的幂之和。古埃及人不会有这一证明，也不会认识到证明是必要的。他们只是从实践经验中知道这总是可以做到的。基本上，我们可以把这种方法看作是将其中一个数写成以2为底的形式。在上面的例子中，我们写下了

$41 = 1.2^{0} + 0.2^{1} + 0.2^{2} + 1.2^{3} + 0.2^{4} + 1.2^{5}$

和

$59 = 1.2^{0} + 1.2^{1} + 0.2^{2} + 1.2^{3} + 1.2^{4} + 1.2^{5}$。

除法也可以利用加倍来进行。例如，要用65除1495，我们按如下步骤进行：

     1             65
     2            130
     4            260
     8            520
    16           1040

我们在此停下，因为下一次翻倍将超出1495。现在我们在右列中寻找加起来等于1495的数。我们看到1040 + 260 + 130 + 65 = 1495，并在这些数所在的行上打勾：

     1             65 ✓
     2            130 ✓
     4            260 ✓
     8            520
    16           1040 ✓

现在把打勾行中左列的数相加：

16 + 4 + 2 + 1 = 23,

所以1495除以65等于23。

如果这些数不能整除，会发生什么？那么埃及方法会得到分数，如下例所示。

要用65除1500，按之前的方法进行：

     1             65
     2            130
     4            260
     8            520
    16           1040

我们再次停下，因为下一次翻倍将超出1500。现在在右列中寻找加起来等于某个数n且满足1500-65 < $n$ ≤ 1500的数。[埃及人知道这总是可能的：你能证明这一点吗？]在这种情况下，我们有

1040 + 260 + 130 + 65 = 1495

而我们离所需的和小了5。再次在这些条目所在的行上打勾：

     1             65 ✓
     2            130 ✓
     4            260 ✓
     8            520
    16           1040 ✓

现在把打勾行中左列的数相加：

16 + 4 + 2 + 1 = 23,

所以1500除以65等于23余$\large\frac{5}{65}\normalsize = \large\frac{1}{13}\normalsize$。因此答案是$23 \large\frac{1}{13}\normalsize$。

我们在这里稍微取巧了，因为得到的分数是单位分数，即形如1/n的数，其中n为整数。事实上，埃及人只有这种类型的分数，如果答案不涉及单位分数，那么埃及人会将分数部分写成单位分数之和。下面我们将看到这是如何做到的，但我们要考察一个更一般的情况。

下一个问题是如何乘除涉及分数的数。第一个要点是埃及人只使用单位分数，为了能够计算，需要一张表将单位分数的两倍转换为单位分数之和。现在可能会认为将单位分数$\large\frac{1}{5}\normalsize$加倍很容易，并得到单位分数之和$\large\frac{1}{5}\normalsize + \large\frac{1}{5}\normalsize$。然而，由于我们完全理解的原因，这不是他们的方法。他们将单位分数的两倍写成不同单位分数之和。例如，两倍的$\large\frac{1}{5}\normalsize$会写成$\large\frac{1}{3}\normalsize + \large\frac{1}{15}\normalsize$。

莱因德纸草书给出了一张表，用于将单位分数$\Large\frac{1}{n}\normalsize$加倍，其中$n$为奇数，$n$在5到101之间。注意，Ahmes不需要给出$\Large\frac{1}{n}\normalsize$的两倍，因为$n$为偶数时，它只是$\Large\frac{1}{m}\normalsize$，其中$n = 2m$。单位分数的加倍表开始于

Unit fraction  Double unit fraction
____________________________________
   1/5      1/3  + 1/15 
   1/7      1/4  + 1/28 
   1/9      1/6  + 1/18 
  1/11 
  1/13 
  1/15     1/10 + 1/30 
  1/17     1/12 + 1/51 + 1/68 
  ....     ..................

值得注意的是，表中没有错误。当然，Ahmes在计算方面一定很在行，这对他来说不会仅仅是一项抄写工作。⟦E1⟧中错误很少，但存在的那些似乎是计算错误，而不是抄写错误，因为错误的结果被继续沿用，而不是像抄写错误那样回到正确的路径上。

这些分解是如何找到的，以及为什么某些分解被优先选择，这是一个引人入胜的问题。这在[6]中进行了讨论，而补充和修正[6]中信息的进一步想法则在[17]、[18]、[29]和[35]中给出。许多历史学家，如Gillings，认为指导书吏选择将$\Large\frac{2}{n}\normalsize$分解为单位分数的偏好规则是：(1) 偏好小数 (2) 项数越少越好，且绝不超过四项 (3) 偏好偶数而非奇数。然而，其他历史学家如Bruins则反对这些规则。他的论点本质上是，在应用这些规则之前，需要计算出$\Large\frac{2}{n}\normalsize$的所有单位分数分解，而没有证据表明埃及人有任何方法做到这一点。

作为如何使用该表的一个例子，让我们考察莱因德纸草书的问题21。注意，$\large\frac{2}{3}\normalsize$尽管不是单位分数，却是一个允许的埃及分数。

问题21：将$\large\frac{2}{3}\normalsize$和$\large\frac{1}{15}\normalsize$补全为1。

用现代术语来说，这要求一个分数$x$，使得

$\large\frac{2}{3}\normalsize + \large\frac{1}{15}\normalsize + x = 1$。

解法是通过两边相乘来“消去”分数。在这种情况下，将每个分数乘以15得到

$10 + 1 + y = 15$。

这被称为“红色辅助”方程，因为抄写员用红墨水写下了这个方程。[当然，它不会以这种形式出现，而是“将10和1补足到15”。]

现在红色辅助方程的解是4，所以原方程的解是两倍 × (两倍 × $\large\frac{1}{15}\normalsize$)。从倍增表中我们看到，$\large\frac{1}{15}\normalsize$的两倍是$\large\frac{1}{10}\normalsize + \large\frac{1}{30}\normalsize$。再将其加倍得到$\large\frac{1}{5}\normalsize + \large\frac{1}{15}\normalsize$，这就是问题21所需的解。

另一个解方程的例子是第24题，该题问：

第24题：一个量加上它的四分之一等于15。这个量是多少？

Ahmes使用了“假位法”，这种方法在三千年后仍然是一种标准方法。用现代符号表示，问题是求解

$x + \Large\frac{x}{4}\normalsize = 15$。

Ahmes猜测答案是$x = 4$。这是为了消去$\Large\frac{x}{4}\normalsize$项中的分数。现在用$x = 4$，表达式$x + \Large\frac{x}{4}\normalsize$变为5。这不是正确答案，因为表达式需要等于15。然而，15是5的3倍，所以取他猜测的$x = 4$的3倍，即$x = 12$，得到Ahmes正确结果。另一种解释，受到一些历史学家的青睐，是Ahmes认为该方法是将$x$分成4个大小待定的等份。现在Ahmes计算$x + \Large\frac{x}{4}\normalsize$得到5个这样的等份。每个等份现在必须是三，以便5个等份等于15。与我们之前的思考方式没有太大不同，但可能更接近Ahmes的思考方式，而不是我们之前的描述。最后，Ahmes检查他的解，或证明他的答案是正确的。他取$x = 4 \times 3 = 12$。然后$\Large\frac{x}{4}\normalsize = 3$，所以$x + \Large\frac{x}{4}\normalsize = 15$如所需。

假位法用于Ahmes的第24至29题。然而，在该纸草书的第31题中，31使用了更简单的纯除法方法。这在[⟦L4⟧]中有详细讨论。

现在让我们看看如何使用埃及方法将$1 + \large\frac{1}{3}\normalsize + \large\frac{1}{5}\normalsize$乘以$30 + \large\frac{1}{3}\normalsize$。

   1  1 + 1/3  + 1/5 
   2  2 + 2/3  + 1/3 + 1/15 = 3 + 1/15 
   4  6 + 1/10 + 1/30 
   8  12 + 1/5  + 1/15 
  16  24 + 1/3  + 1/15 + 1/10 + 1/30 
 2/3  2/3 + 1/6  + 1/18 + 1/10 + 1/30 
 1/3  1/3 + 1/12 + 1/36 + 1/20 + 1/60 

现在这里以$\large\frac{2}{3}\normalsize$开头的那一行已由$\large\frac{2}{3}\normalsize$计算得出，1的$\large\frac{2}{3}\normalsize , \large\frac{2}{3}\normalsize$是$\large\frac{1}{3}\normalsize$的$\large\frac{1}{9}\normalsize$是双倍的$\large\frac{1}{6}\normalsize +\large\frac{1}{18}\normalsize , \large\frac{2}{3}\normalsize$，即$\large\frac{1}{5}\normalsize$的$\large\frac{1}{15}\normalsize$是双倍的$\large\frac{1}{10}\normalsize + \large\frac{1}{30}\normalsize$。

接下来在左列中找出相加等于$30+\large\frac{1}{3}\normalsize$的数。这些就是标有记号的行：

   1  1 + 1/3  + 1/5 
   2  3 + 1/15          ✓
   4  6 + 1/10 + 1/30        ✓
   8  12 + 1/5  + 1/15        ✓
  16  24 + 1/3  + 1/15 + 1/10 + 1/30   ✓
 2/3  2/3 + 1/6  + 1/18 + 1/10 + 1/30 
 1/3  1/3 + 1/12 + 1/36 + 1/20 + 1/60  ✓

把标有记号的行右列中的条目相加，就得到乘法的结果

46 + 1 /5 + 1 /10 + 1 /12 + 1 /15 + 1 /30 + 1 /36 .

作为对莱因德纸草书的最后审视，让我们给出第50题的解答。一块圆形田地的直径为9 khet。它的面积是多少？以下是Ahmes给出的解答。

取走直径的1/9，即1；余数为8。将8乘以8；得到64。因此，它包含64 setat的土地。

这样做：

     1   9
   1/9   1

减去这个后剩下8

   1   8
   2   16
   4   32
   8   64

它的面积是64塞塔特。

注意，该解答相当于取π = 4(8 /9 )2 = 3.1605。考虑到这一近似值被发现的时代，这是一个非凡的结果。这引发了一个有趣的问题：这样的发现可能是如何做出的。尽管我们无法确切知晓，但已有几种有趣的猜想被提出。在[25]中，Gerdes给出了三个可能引导埃及人得出这一结果的想法。[25]中提出的两个此类猜想涉及非洲手工艺，其中常见蛇形曲线和一组等距同心圆。这两种几何图案在非洲广泛存在，Gerdes展示了它们如何可能导致圆的面积公式。[25]中的第三个猜想与一种棋盘游戏“mancala”有关，该游戏在非洲和古埃及广受欢迎。游戏涉及比较小圆与大圆，可能为面积公式提供了动机。

插图：Moscow_papyrus.jpeg ↗

莫斯科纸草书

尽管我们描述的数学方法出现在各种埃及文献中，但迄今为止我们给出的所有实际例子都来自莱因德纸草书。让我们以莫斯科纸草书中的一个例子来结束本文，许多历史学家认为这是埃及数学最令人印象深刻的成就。该问题是纸草书中的第14题，它涉及这张图片中可见的莫斯科纸草书部分所展示的几何图形。

例14。计算截棱锥的示例。底面是边长为4腕尺的正方形，顶面是边长为2腕尺的正方形，截棱锥的高为6腕尺。

首先我们注意到，作者所说的“计算棱锥”是指“计算棱锥的体积”。同样值得注意的是，这种计算对于今天因建造了非凡的金字塔而举世闻名的文明来说是多么贴切。

计算首先算出底面积：4 × 4 = 16。然后算出顶面积：2 × 2 = 4。接着计算底边与顶边的乘积：4 × 2 = 8。然后将这三个数相加：16 + 4 + 8 = 28。现在取高度的$\large\frac{1}{3}\normalsize$，即2。最后取高度的$\large\frac{1}{3}\normalsize$与前面28的和相乘，书吏写道：-

看，是56。

这个例子意味着埃及人知道体积公式（当然不是我们现在所认为的代数意义上的公式）。如果底正方形边长为$a$，顶正方形边长为$b$，高为$h$，那么

$V = \large\frac{1}{3}\normalsize h (a^{2} + ab + b^{2})$。