数学史专题
代数曲面是形如的曲面，其中是和的多项式。曲面的阶数是该多项式的次数。一阶曲面是平面。二阶曲面称为二次曲面，包括椭球面、双曲面等。这些包括锥面、柱面和抛物面。本文所关注其历史的曲面是三阶曲面，称为三次曲面。
1849年，乔治·萨蒙和阿瑟·凯莱发表了他们关于三次曲面上直线数目的通信结果。是阿瑟·凯莱在给乔治·萨蒙的信中首先表明三次曲面上只能有有限条直线，而乔治·萨蒙随后证明了一般情况下恰好有27条这样的直线。在其1865年论著The Geometry of Three Dimensions的末尾，乔治·萨蒙描述了两人如何合作发现阿瑟·凯莱-乔治·萨蒙定理。
雅各布·施泰纳在开始自己关于三次曲面的工作时，已经知道阿瑟·凯莱-乔治·萨蒙关于27条直线的定理。他写了一篇重要文章，其中给出的结果使得三次曲面可以作纯几何处理。他在1856年证明了：——
两个任意给定的三面体的表面相交的九条直线，与一个给定点一起，确定一个三次曲面。
他引入了“核曲面”的概念并研究了其性质。关于三次曲面的许多结果由雅各布·施泰纳陈述而未加证明，我们稍后将评论安东尼奥·路易吉·高登齐奥·朱塞佩·克雷莫纳和Rudolf Sturm如何在雅各布·施泰纳的论文发表十年后证明了其中的许多结果。
阿尔弗雷德·克莱布什描述了各种有理曲面的平面表示，他尤其对一般三次曲面的表示感兴趣。利用黑塞曲面，他首次证明任何给定的三次曲面都可以写成詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特提出的五面体形式。关于三次曲面的其他结果由阿尔弗雷德·克莱布什证明，包括：存在一个九阶共变曲面，它与三次曲面恰好交于27条直线；并且每个光滑三次曲面都可以用通过六个点的四个平面三次曲面在平面上表示，反之亦然。
是雅各布·施泰纳向路德维希·施莱夫利传达了关于三次曲面上27条直线的阿瑟·凯莱-乔治·萨蒙定理。1858年，施莱夫利成为第一个根据三次曲面上实直线和三切平面的数目对三次曲面进行分类的人，发现他的分类中恰好有五种类型。施莱夫利随后在该曲面上找到了36个“双六”。他在1863年根据奇点的性质将三次曲面分为23个族，并在其论文On the distribution of surfaces of the third order into species, in reference to the presence or absence of singular points and the reality of their lines中发表了该分类。在其长篇Memoir on Cubic Surfaces中，阿瑟·凯莱呈现了施莱夫利将三次曲面完全分类为23个不同族的分类，并补充了自己的进一步研究。
1866年3月，安东尼奥·路易吉·高登齐奥·朱塞佩·克雷莫纳发表了Memoire de géometrie pure sur les surfaces du troisième ordreⓉ（《论三次曲面的纯几何学回忆录》）。在这篇回忆录中，他建立了许多仅由雅各布·施泰纳陈述过的性质。他还建立了关于三次曲面上27条直线的阿瑟·凯莱-乔治·萨蒙定理与布莱兹·帕斯卡的 Mystic Hexagram 之间的联系：-
如果一个六边形内接于任何圆锥曲线，那么对边相交的点共线。
因他的回忆录，安东尼奥·路易吉·高登齐奥·朱塞佩·克雷莫纳被授予雅各布·施泰纳奖的一部分。他与Rudolf Sturm分享了该奖，后者研究了三次曲面的射影表示，并证明了由雅各布·施泰纳陈述但未证明的定理。
1869年，在阿尔弗雷德·克莱布什的建议下，Christian Wiener制作了三次曲面的熟石膏模型，这些模型与他制作的其他曲面模型一起，于1876年在伦敦、1893年在慕尼黑以及同年在芝加哥展出。菲利克斯·克莱因在1870年研究了三次曲面，他的工作显示出对空间构造的几何直观的特别关注。
Karl Geiser的叔祖父是雅各布·施泰纳，因此他在开始数学生涯时就已经与三次曲面理论发展中的重要人物之一有联系。因此，他最重要的研究贡献是关于三次曲面的，这或许并不令人意外。他的一个结果解释了平面二次曲面的28条二重切线与三次曲面的27条直线之间的关系。
Le Paige整个职业生涯都在列日大学度过，他研究代数形式理论，这一主题的研究由乔治·布尔于1841年开创，随后由阿瑟·凯莱、詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特、夏尔·埃尔米特、阿尔弗雷德·克莱布什和Aronhold发展。特别是，Le Paige在这一早期工作的基础上研究了代数曲线和曲面的几何。他最著名的是由十九个点给出的三次曲面的构造。从由一条直线、一条直线上的三组每组三个点以及另外六个点给出的三次曲面的构造出发，Le Paige被引导到由一条直线、一条直线上的三个点以及另外十二个点给出的三次曲面的构造。通过这种构造，他接着构造了由一条直线上的三个点以及另外十六个点给出的三次曲面，最终得到了由十九个点给出的三次曲面。
在这篇关于三次曲面研究的简短历史中，我们要提到的最后一个人是基诺·法诺。基诺·法诺于1893年与菲利克斯·克莱因一起学习，并翻译了菲利克斯·克莱因的Erlanger Program（1872年）的意大利文版，该书给出了他将几何综合为研究在给定变换群下不变的空间性质。正是在他职业生涯的后期，基诺·法诺才对三次曲面和一般代数曲面产生兴趣。然而，到那时，对这类主题的兴趣已经有所下降。