数学史专题
尼古拉·布尔巴基故事的起源在布尔巴基：战前岁月一文中讲述。
第二次世界大战介入时，布尔巴基正要加速产出并迅速朝着该团体最初的目标——出版六本书，每本包含若干章——迈进。战争的影响导致该项目蹒跚停滞，仅出版了第1、2、3册的部分内容。战后项目重启时，招募了新的年轻数学家。特别是罗杰·戈德芒、皮埃尔·萨米埃尔、雅克·迪克斯米耶和让-皮埃尔·塞尔在20世纪40年代末加入了布尔巴基。在20世纪40年代末和50年代初推动项目前进的其他“第二代”成员有塞缪尔·艾伦伯格、让-路易·科斯居尔和洛朗·施瓦茨。
阿曼德·博雷尔于1949年首次结识布尔巴基团队。他描述[11]了他第一次参加的布尔巴基大会：-
[大会]是私人事务，专注于书籍。通常的会议会讨论某一章的草稿，或者某个考虑纳入（当时或以后）的主题的初步报告。由一名成员逐行朗读，任何人都可以随时打断、评论、提问或批评。这种“讨论”往往变成混乱的争吵。我经常注意到，让·迪厄多内以其洪亮的声音、喜欢下明确结论和极端观点的倾向，会不由自主地提高任何他参与的谈话的分贝水平。尽管如此，我还是没有准备好面对我所看到和听到的：“两三个独白以最高音量喊出，似乎彼此独立”是我对第一个晚上印象的简要总结……
让·迪厄多内在[15]中，对大会给出了类似的描述，并谈到了团队成员必须具备的素质：-
在大会期间，各章按日程顺序出现，没有特定顺序，我们永远无法预先知道这次大会是否只做微分拓扑，或者下次大会是否做交换代数。不，一切都混在一起……一个布尔巴基成员应该对他听到的一切都感兴趣。如果他是一个狂热的代数学家，说“我只对代数感兴趣，别的都不感兴趣”，那也行，但他永远不会成为布尔巴基的成员。一个人必须同时对一切感兴趣。不能在所有领域都有创造力，这没关系。要求每个人都成为全才数学家是不可能的；这是留给少数天才的。但是，一个人仍然应该对一切感兴趣，并且在需要的时候，能够撰写论著的一章，即使这不是他的专业。这几乎发生在每个成员身上，我想他们中的大多数人都觉得这极其有益。
此时的计划是实现布尔巴基在1939年设定的目标，即出版六本书，每本最多包含10章：
第一卷 集合论
第二卷 代数
第三卷 拓扑学
第四卷 一元实变函数
第五卷 拓扑向量空间
第六卷 积分
第二次世界大战后，在中断五年之后，出版于1947年重新开始。对1947-52这五年间出现的各章的描述，将说明作者们所达到的普遍性，以及各章以某种混乱的顺序出现，肯定不是连续的事实。
1947年 第III册 拓扑学：第V、VI和VII章。
第V章涉及实数加法群、其子群、商群和同态。第VI和VII章涉及欧几里得空间、射影空间、复数、复射影空间、四元数等的基本性质。
1947 第二卷 代数：第二章。
桑德斯·麦克兰恩关于这个线性代数章节写道：-
这些卷册的作者为自己设定了任务：对全部数学作系统而均衡的阐述，并恰当地选择通过统一的术语和概念方法来达到必要的连贯性，其中特殊事实和说明性例子被安排在适当的一般概念之下。他对线性代数的处理遵循这些原则；基和矩阵从属于左模和线性映射。当标量乘法不交换时，人们常常需要这些概念；这种适当的一般性程度在这里被系统地贯彻。
1948年 第二卷 代数：第三章。
这一关于多重线性代数的章节涵盖张量积、张量空间、赫尔曼·格拉斯曼 代数和行列式。
1948 第三卷 拓扑学：第九章。
这一章考察实数在一般拓扑学中的使用。它涵盖诸如度量空间、赋范空间和 勒内-路易·贝尔 空间等主题。
1949 第四卷 一元实变函数：第一章。
萨洛蒙·博赫纳写道：-
布尔巴基的这部超级教科书的这一部分，对米歇尔·罗尔定理和带余项的布鲁克·泰勒定理作了出色的论述；对不定积分作为反导数，针对只有第一类间断点的函数，这样的函数是分段常值函数的一致极限，其中“区间”指开区间或一个点；对此类积分的奥古斯丁·路易·柯西极限；对在积分号下关于参数进行积分和微分；以及对初等对数函数、指数函数和三角函数。一切都针对抽象值函数进行，其值位于拓扑向量空间中，或者至少位于赋范环中，但在这层无处不在的推广之下，铺展着分析学的许多精妙特征。
1949年 第三卷 拓扑学：第十章。
这是第三卷的最后一章。各节为：函数空间上的一致结构；连续函数空间；等度连续集；连续函数的紧集；以及实连续函数的逼近。
1950年 第二卷 代数：第IV章和第V章。
这两章对多项式与域的理论作了精心推演的发展。
1951年 第四卷 一元实变函数：第IV章。
本章涵盖通常的一阶微分方程及此类方程组，同样以比先前教材大得多的普遍性加以呈现。
1952 第二卷 代数：第VI章和第VII章。
这些章节中的第一章涉及偏序半群与群、整环中的整除性以及类似主题的研究。两章中的第二章涵盖主理想环上的模论。
1952 第四卷 积分：第I、II、III和IV章。
这些章节建立了积分理论的基本性质，就布尔巴基而言，这意味着局部紧空间上的积分。
布尔巴基成员的“第三代”大约在该项目产出六卷本的工作即将完成时加入。从开始工作到最终出版，一章需要八到十年时间。到1958年，六卷本的出版已经完成，因此在20世纪50年代中期，只剩下最后的润色工作要做。1958年，亨利·嘉当解释了为什么布尔巴基没有变老[13]：-
布尔巴基已经运作超过20年。你可能会认为他在这段时间里已经老了，其成员的活力也逐渐减弱。但事实并非如此。布尔巴基将永远保持年轻和活力；就像人类一样，他不断地自我更新。所谓的“创始之父”……多年来已经退下，由更年轻的成员接替他们的位置。这些新来者找到了他们自己的方式加入布尔巴基。
阿曼德·博雷尔、François Bruhat、皮埃尔·卡地亚、亚历山大·格罗滕迪克、塞尔日·兰和约翰·泰特被认为是这第三代的年轻成员。他们看待事物的方式与创始人并不完全相同，例如皮埃尔·卡地亚说：-
误解在于许多人认为[数学]应该按照书本上写的方式来教授。你可以把布尔巴基的最初几本书视为数学的百科全书，包含了所有必要的信息。这是一个很好的描述。如果你把它当作教科书，那就是一场灾难。
显然，这个强大的数学团队并不认为他们的任务只是简单地将最后几章推过出版流程。完全不是——事实上，从一开始布尔巴基的成员就有比仅仅计划中的六本书更宏大的想法。阿曼德·博雷尔在[11]中解释道：-
在五十年代，[这六本书]基本上完成了，并且人们理解布尔巴基的主要精力从此将集中在续篇上；这在布尔巴基很早就有了想法（毕竟，当时还没有“Traité d'Analyse”Ⓣ（分析论））。早在1940年9月，让·迪厄多内就已经勾勒出一个包含27本书的宏大计划，涵盖了大部分数学。更为适度的计划，仍然超出“éléments”的范围，通常也由让·迪厄多内提出，会定期在大会上得出结论。此外，许多关于未来章节的报告和草稿已经写好。然而，数学已经极大地发展，数学的景观已经发生了相当大的变化，部分是通过布尔巴基的工作，并且变得清楚的是，我们不能继续简单地遵循传统模式。尽管这不是有意为之，创始成员在基本决策上往往承担更大的分量，但他们现在正在退休，主要责任正在转移到更年轻的成员身上。一些基本原则必须重新审视。
这些基本原则要求布尔巴基以线性方式构建一切，不引用外部来源。随着他们转向更高级的主题，这显然会变得越来越困难。此外，每个布尔巴基成员都应该对每个主题感兴趣的想法，确实需要让·迪厄多内已经明确表示他们不是的那种普遍数学家：-
要求每个人都成为全能数学家是不可能的；这是留给少数天才的。
那么布尔巴基是否会分裂成更小的单位，每个单位负责一个高级主题？这类问题在小组内的理想主义者和现实主义者之间引发了激烈讨论。亚历山大·格罗滕迪克虽然是第三代成员，却全力主张为高级主题提供公认的“布尔巴基一般性”的完整基础。他在1957年的一次大会上提出了一个方案，要求有：
第七卷：同调代数
第八卷：初等拓扑学
第九卷：流形
这里的目标是按照前六卷的风格继续构建布尔巴基。亚历山大·格罗滕迪克向下一次大会提交了两章的详细草稿，第一章包含流形卷和流形范畴的预备知识，第二章则包含可微流形和微分形式体系[11]：-
[亚历山大·格罗滕迪克]警告说，将需要多得多的代数，例如超代数。正如亚历山大·格罗滕迪克的论文常常出现的情况那样，它们在有些地方笼统得令人沮丧，但在另一些地方则富有思想和洞见。然而，相当清楚的是，如果我们走那条路，我们会在基础问题上陷入多年，而结果非常不确定。
还有一个不断困扰布尔巴基成员的问题。最初的目标是为学生提供一部最新的教材，让他们学习数学的最新方法。但到1958年最初六卷完成时，其中前几卷已经过时近20年了。由于数学是一门发展迅速的学科，前几章的作者显然不可能涵盖后面教材所需的一切。他们怎样才能使他们的线性推进与重写早期各卷保持一致呢？亚历山大·格罗滕迪克提议，布尔巴基现在在提供基础方面比前六卷走得更远，并计划基础：-
……也在可预见的范围内为未来发展所用。
然而，这些提议并未得到其他人的认同，他们倾向于采取更现实的方法来实现他们希望看到的目标。有些人希望看到两条并行的路线：一条是秉承创始人精神的亚历山大·格罗滕迪克，另一条则是针对他们想要涵盖领域的高级文本。但无论这多么适合所有人，他们就是没有足够的人力来做到这一点。尽管布尔巴基放弃了以线性发展方式写下全部数学这一终极目标，意识到这根本不可行，但他们仍然启动了一个雄心过大到不可能完成的计划。他们计划重写前六卷，并出版它们的“最终版本”。他们还计划放弃完全线性的方式，但作为妥协，按照他们第一卷第一章第一版的形式，编写一本关于微分流形与分析流形的概要文本，并且只列出必要的结果，以建立足够的工具来推进他们非常渴望涵盖的主题。他们决定编写关于交换代数、代数几何、索菲斯·李群、整体分析与泛函分析、代数数论以及自守形式的高级文本。
到1980年，他们已经完成了计划中的两章关于微分流形和分析流形的总结章节，七章关于交换代数，八章关于索菲斯·李群和索菲斯·李代数，以及两章关于谱理论。他们还完成了前六卷部分内容的英文翻译，连同三章关于索菲斯·李群和代数，以及七章关于交换代数。对许多人来说，关于索菲斯·李群和索菲斯·李代数的章节是布尔巴基最杰出的成就。为此，阿曼德·博雷尔必须获得大部分功劳，因为他是这一部分风格和内容的主要推动力。
尽管1960年后取得了成就，但该项目在1970年代开始动摇。皮埃尔·卡地亚在[36]中给出了他所认为的原因：-
布尔巴基在七八十年代艰难地寻找新方向。[曾有]一个关于多复变的失败项目。还有对同伦论、算子谱理论、指标定理、辛几何的尝试。但这些项目都没有超出初步阶段。布尔巴基找不到新的出路，因为他们对数学持有一种教条式的观点：一切都应该被置于一个稳固的框架之内。这对于一般拓扑学和一般代数来说是相当合理的，因为它们到1950年左右已经稳固下来。现在大多数人都同意，你确实需要数学的一般基础，至少如果你相信数学的统一性的话。但我现在认为这种统一性应该是有机的，而布尔巴基则提倡一种结构主义的观点。
1970年代，布尔巴基还遇到了另一个与数学无关的问题。他们与出版商就版税和翻译权陷入了长期的法律纠纷。皮埃尔·卡地亚说[36]：-
我认为这是本世纪的重大案件之一！我们聘请了一位著名律师，他曾为毕加索和藤田的继承人打过官司。我们靠人为支撑活了下来：我们必须赢得这场战斗。但这是一场惨胜。正如法律斗争中的常态，双方都输了，而律师则名利双收。
尽管存在这些问题，该项目仍然活跃，新版本不断问世。布尔巴基的创始人曾规定成员应在五十岁退休。皮埃尔·卡地亚提出，或许布尔巴基在五十岁退休是合适的。但这并未发生，布尔巴基现在已七十岁。是否会出现复兴，突然回归创始人那种对变革的热情？大概不会。现在可能已无此必要，而无必要的一个原因当然是布尔巴基撼动数学世界的方式。有人喜爱这种方法，有人厌恶它，但无法否认布尔巴基的影响。