数学史专题
斯特拉斯堡大学的两位年轻讲师正在讨论教学。他们是亨利·嘉当，29岁，自1931年以来一直在斯特拉斯堡任教，以及安德烈·韦伊，1933年被任命，27岁。时间是1934年，几周来亨利·嘉当一直在问安德烈·韦伊他将如何教授微分和积分学的不同方面。安德烈·韦伊和亨利·嘉当一样，对推荐教材爱徳华·古尔萨的Traité d'Analyse Ⓣ（分析论）感到不满，并一直向他建议在微积分中引入各种概念的更好方法。然而今天，他想出了一个新主意。“我们下次去巴黎时和朋友们谈谈”，安德烈·韦伊建议道，“关于写一本新的分析教科书。”
亨利·嘉当和安德烈·韦伊经常在巴黎。他们通常每隔一个星期一去那里，参加亨利-儒勒·昂利·庞加莱研究所的数学讨论班。这不仅让他们有机会逛书店和图书馆，还能与其他巴黎高等师范学校的旧同学相聚。他们定期在卢森堡公园附近圣米歇尔大道的卡普拉德咖啡馆与朋友们共进午餐。在卡普拉德咖啡馆，安德烈·韦伊兴奋地谈论他关于新分析教材的想法，询问朋友们是否认为这是个好主意，以及他们是否有兴趣参与。他们约定于1934年12月10日星期一中午会面，正式讨论安德烈·韦伊的想法。
在Café Capoulade聚会的数学家亨利·嘉当、谢瓦莱、让·戴尔萨特、让·迪厄多内、René de Possel和安德烈·韦伊都清楚法国数学面临的基本问题。法国在第一次世界大战期间严格坚持其平等信念，因此学者们和其他人一样有可能在战壕中阵亡。在参战的其他国家，学者们承担了利用其专业技能的特别战时任务，因此他们安全得多。20世纪30年代的年轻法国数学家是由临近职业生涯末期的讲师们教出来的。法国出现了一代讲师的缺失。安德烈·韦伊热情地提出了他的雄心勃勃的提议，即他们的目标是：
……通过集体撰写一部分析论著，为微分与积分微积分证书确定25年的教学大纲。当然，这部论著要尽可能现代。
在Café Capoulade聚会的小组其他成员和提议者一样热情。他们谈论写一本1000页的书，在六个月内出版。在这个阶段，对他们来说重要的是作品能迅速面世。他们决定定期在Café Capoulade聚会，并为自己定下目标：必须在1935年夏天之前商定该书的教学大纲。他们开始热烈讨论要涵盖的主题以及它们应出现的顺序。这至少让他们意识到任务的艰巨，他们也发现达成共识并不容易，但不能服从多数——每个决定都必须全体同意。他们为自己取名为“分析论著委员会”，并确定了下次会议的日期。在这次第二次会议上，委员会决定将成员限制为九名数学家，即我们上面列出的六位以及Paul Dubreil、让·勒雷和索勒姆·曼德尔布罗伊特。然而，Dubreil和让·勒雷没有参与很久。夏尔·埃雷斯曼被邀请代替让·勒雷加入，而Jean Coulomb——他是索勒姆·曼德尔布罗伊特和de Possel在Clermont-Ferrand的物理学同事——被邀请代替Dubreil加入。
在这个阶段，为分析论著构建主题列表的任务被分给了各个小组委员会。一个将成为他们哲学基本部分的决定是，每个小组委员会都必须有非专家，其中大多数有三名成员。鉴于小组的规模，成立了大量小组委员会，这些小组委员会将涵盖以下主题：代数、解析函数、积分理论、微分方程、微分方程的存在定理、偏微分方程、微分和微分形式、变分法、特殊函数、几何、约瑟夫·傅里叶级数以及函数的表示。很快又增加了一个拓扑学小组委员会。
到1935年夏天，小组决定以尼古拉·布尔巴基为笔名写作。相当令人惊讶的是，小组成员似乎不太确定这个名字的确切来源。当然，这个名字来自夏尔·索泰尔将军布尔巴基是一位法国将军，曾参加1870-71年的普法战争。当安德烈·韦伊是巴黎高等师范学校的一年级学生时，宣布了一个讲座，鼓励所有一年级学生参加。演讲者是拉乌尔·于松，一名高年级学生，他伪装成一位受人尊敬的资深数学家。为了显得像那个角色，他戴上了假胡子，并用浓重的外国口音发表演讲。他提出了一系列定理，全部完全错误，每个都归于不同的假数学家。定理的名字取自法国将军，他提出的最后一个也是最荒谬的定理，他命名为“布尔巴基定理”，名字取自布尔巴基将军。设计分析论著的所有小组成员都非常欣赏这种幽默，因此他们采用了布尔巴基这个名字。看来尼古拉是古典典故，指一位古希腊英雄，布尔巴基将军是他的后裔。
成员们幽默的另一个例证，与他们选择的笔名有关，是他们对Mathematical Reviews执行编辑R P Boas所写文章的反应。Boas向读者解释布尔巴基是一群年轻法国数学家的笔名。不久之后，Boas文章的出版商收到了一封来自布尔巴基的措辞强烈的信，强烈反对他的存在权受到质疑。此外，布尔巴基的信提出了一个理论，即BOAS只是Mathematical Reviews编辑们的笔名。关于Boas本人对这些事件的叙述，见[10]。
第一届布尔巴基大会于1935年7月在Besse-en-Chandesse举行。这是后来成为定期会议的首届会议，通常每年三次，大多数持续一周，但有些持续两周。布尔巴基创始成员对这些大会的描述引人入胜。让·迪厄多内写道，任何第一次参加的人都会[15]：-
……总是带着这样的印象离开：这是一群疯子的聚会。他们无法想象这些人——有时三四个同时——大喊大叫，怎么可能想出什么有智慧的东西。这也许是个谜，但最终一切都会平静下来。
安德烈·韦伊在[39]中写道，大会上导致喊叫的无政府状态实际上是故意设计的：-
[我们在]讨论中保持了一种刻意无序的特点。在小组的会议中，从来没有主席。谁想发言就发言，每个人都有权打断他……这些讨论的无政府状态在小组存在的整个期间一直保持着……一个好的组织无疑会要求给每个人分配一个主题或一章，但我们从未想到这样做……从这一经验中具体能学到的是，任何组织化的努力最终都会产生一部像其他任何著作一样的论著……
然而，布尔巴基小组就如何呈现数学做出了一些明确的决定，这些决定为整个著作的发展定下了模式。首先，他们决定将数学的呈现建立在公理方法的基础上。亨利·嘉当[13]解释了这一决定的后果：-
布尔巴基决定在整个过程中使用公理方法，这带来了对数学各分支进行新安排的必要性。事实证明，不可能保留分析、微分、几何、代数、数论等经典划分。其位置被结构的概念所取代，这使得同构的概念得以定义，并由此对数学内部的基础学科进行分类。
例如，有代数结构、序结构和拓扑结构。例如，所有这三种结构都存在于实数的概念中，当然不是以独立的方式，而是以复杂的方式相互联系。此外，还决定布尔巴基绝不从特殊情况推广，而是总是从最一般的情况推导出特殊情况。这种方法的后果是数学大厦建造方式上的强烈逻辑顺序。对许多人来说，这是高度逻辑方法的主要优势，但对另一些人来说，这是一个主要弱点，因为看似具有根本重要性的实数，直到代数和拓扑学的广大领域被建立起来之后才能引入，当然总是以尽可能最一般的形式[13]：-
……从有理数出发构造实数，对[布尔巴基]来说是一个更一般构造的特殊情况：拓扑群的完备化（第三卷第三章）。而这个完备化本身又基于一致空间的完备化理论（第三卷第二章）。
布尔巴基从一般到特殊的方法，对于具体问题储备有限的初学者来说，当然有点危险，因为他可能被引导相信一般性本身就是目标。但这不是布尔巴基的意图。对于布尔巴基来说，一个一般概念只有适用于若干更特殊的问题并真正节省时间和精力时才有用。这种节省在今天已成为必需。如果布尔巴基成员认为从零开始研究一切是他们的职责，他们这样做是希望将一种工具交到未来数学家手中，使他们的工作更容易，并使他们能够更进一步。
早在1935年，布尔巴基就已决定出版一系列书籍，这些书籍按线性顺序排列，即除了线性序列中较早的书籍外，不能引用任何其他书籍。也不能引用布尔巴基之外的任何材料，因为该小组希望在他们的工作中从零开始构建数学。唯一的例外是他们所包含的历史注释。他们制定了六本书的计划，每本书都有若干章。这些书是：
第一卷 集合论
第二卷 代数
第三卷 拓扑学
第四卷 一元实变函数
第五卷 拓扑向量空间
第六卷 积分
现在，虽然这些书要按线性顺序排列，但不必按顺序出版。然而，如果只引用序列中较早的文本，就有必要相当详细地了解前几本书将包含什么内容，以便后续书籍的工作能够推进。第一批材料出版所花的时间比布尔巴基成员在1935年想象的要长得多，直到1939年才出版。然而，在此之前，需要一个标题。阿曼德·博雷尔解释了为整个著作选择的这个微妙标题[11]：-
标题“Éléments de Mathématique”是在1938年选定的。值得注意的是，他们选择了“Mathématique”而不是更常见的“Mathématiques”。没有“s”当然是完全有意的，这是布尔巴基表明其对数学统一性信念的一种方式。
首次出版的是一本书，其中包含集合论的记号，并收录了当时可供后续工作使用的公式，但没有给出证明，这些证明很久以后才完成。塞缪尔·艾伦伯格 评论了第一卷第一章的Fascicule de résultats Ⓣ（结果列表），并写道：-
布尔巴基 是一群年轻法国数学家的笔名，他们着手出版一部涵盖大部分现代数学的百科全书式著作。本期专论集合论，且仅是正式卷册的摘要。其目的是为对后续某卷感兴趣的读者提供必要的集合论准备，而不必纠缠于严格的公理化方法和证明；实际上，材料的组织极为出色，以至于大多数证明都能轻松补全。……最后一节概述了一种有趣的方法，在一般基础上处理诸如序、拓扑、群、环等结构，并以相当一般的方式定义了同构等概念。
事实上，第一卷第一章带有完整证明的完成版很久以后才作为布尔巴基出版的第17卷问世。布尔巴基的第二部出版物于1940年问世，当时第三卷的第一章和第二章出版：-
第一章题为“拓扑结构”，致力于拓扑空间和费利克斯·豪斯多夫空间的研究。……第二章致力于一致结构，这是度量空间的现代替代品。借助滤子，呈现了一种极为优雅的处理方式。……记号与术语严谨且完全一致。
1942年又出版了两部著作，即第三卷的第三章和第四章，以及第二卷的第一章。然而，第二次世界大战对该项目产生了重大影响，布尔巴基的成员如安德烈·韦伊和谢瓦莱身在美国，只有亨利·嘉当和让·迪厄多内积极继续推进发展。
第二次世界大战结束后，法国需要一段时间才能充分恢复，使布尔巴基的工作得以再次推进，但一旦招募了新成员，它就带着新的活力向前推进。我们在布尔巴基：战后岁月一文中讨论这一第二阶段。