数学史专题
我们在印度数字关于印度数字的文章中讨论的印度数字构成了现在广泛使用的欧洲数字系统的基础。然而，它们并不是直接从印度传到欧洲的，而是先传到阿拉伯/伊斯兰民族，再从他们那里传到欧洲。然而，这种传播的故事并不简单。阿拉伯世界的东部和西部都各自独立发展了印度数字，两者之间的交流相对较少。我们所说的阿拉伯世界西部，是指主要包括北非和西班牙的地区。向欧洲的传播是通过这条西阿拉伯路线，首先通过西班牙进入欧洲。
然而，这个故事还有其他复杂之处，因为并不是简单地阿拉伯人接管了印度数字系统。相反，在很长一段时间内，阿拉伯世界同时使用了不同的数字系统。例如，在11世纪的阿拉伯国家，至少使用了三种不同类型的算术：一种源于用手指计数，数字完全用文字书写，这种手指计算算术是商业社区使用的系统；一种六十进制系统，数字用阿拉伯字母表示；以及使用十进制位值制的印度数字和分数的算术。
印度数字向西传播的第一个迹象来自一个早于阿拉伯民族崛起的来源。公元662年，住在幼发拉底河畔Keneshra的聂斯脱利派主教Severus Sebokht写道：-
我将省略所有关于印度人科学的讨论，……，关于他们在天文学上的微妙发现，这些发现比希腊人和巴比伦人的更为巧妙，以及他们超越描述的宝贵计算方法。我只想说，这种计算是通过九个符号完成的。如果那些因为说希腊语就认为自己已经到达科学极限的人，读一读印度文本，他们就会确信，即使为时稍晚，还有其他人知道一些有价值的东西。
这段话清楚地表明，早在七世纪，即将成为阿拉伯世界一部分的地区就已经知道了印度数字系统的知识。当然，这段话本身肯定表明，该地区很少有人对这个系统有所了解。Severus Sebokht作为基督教主教，会对计算复活节日期感兴趣（这是基督教教会数百年来面临的问题）。这可能鼓励他去了解印度人的天文学著作，而在这些著作中，他当然会找到九个符号的算术。
到公元776年，阿拉伯帝国开始成形，我们有了另一处关于印度数字传播的参考。我们引用al-QiftiChronology of the scholars的一部著作，该著作写于12世纪末左右，但引用了更早得多的资料：-
……在[776年]，一位来自印度的人来到哈里发al-阿布·纳斯尔·曼苏尔面前，他精通与天体运动有关的siddhanta计算方法，并且拥有基于半弦[本质上即正弦]以半度为单位计算方程的方法……这些都包含在一部著作中……他声称从中取用了以分为单位计算的半弦。al-曼苏尔下令将此书译为阿拉伯文，并基于该译本撰写一部著作，为阿拉伯人计算行星运动提供坚实的基础……
现在在[1]中（那里给出了更长的引文），Ifrah试图确定所指的是哪部印度著作。他得出结论，该著作最可能是婆罗摩笈多的Brahmasphutasiddhanta（《宇宙的开启》），写于628年。无论Ifrah是否正确，由于阿耶波多的Aryabhatiya之后的所有印度文本都使用了由九个符号组成的印度数字系统，因此肯定从这时起，阿拉伯人就有了用印度数字系统写成的文本的阿拉伯文译本。
人们常称，第一部为解释印度数字系统而写的阿拉伯文著作出自花拉子米之手。然而这里存在许多作者往往忽略的困难。该阿拉伯文原著已佚失，但一部十二世纪的拉丁文译本Algoritmi de numero Indorum Ⓣ（《花拉子米论印度计算术》）使“algorithm”一词从其标题中的他的名字衍生而来。遗憾的是，已知这部拉丁文译本与花拉子米的原文（甚至连标题都不为人知）相比已有很大改动。拉丁文本确实描述了基于1、2、3、4、5、6、7、8、9和0的印度位值数字系统。有人认为，在这部著作中首次将零用作位值记数法中的占位符应归功于花拉子米。由此产生的困难在于，伊本·塔希尔·巴格达迪所指的是阿拉伯文原著，而这部原著与最初所认为的相反，似乎并非一部关于印度数字的著作，而是一部关于手指计数方法的著作。这一点从伊本·塔希尔·巴格达迪对那部佚失著作的引用中可以清楚地看出。然而，大量对花拉子米关于印度九个符号的书的引用必定意味着他确实写过这样一部著作。某种程度的神秘感依然存在。
起初，阿拉伯人使用印度方法时借助一块沙盘。事实上，在阿拉伯世界的西部，印度数字逐渐被称为Guba（或Gubar、Ghubar）数字，该词来自阿拉伯语中意为“沙尘”的词。使用沙盘是因为这些算术方法要求在计算过程中移动数字，并随着计算的进行擦去其中一些数字。沙盘允许这样做，其方式就像人们可以使用黑板、粉笔和黑板擦一样。任何参加过讲座的学生——在讲座中，讲演者随着演示的进行不断更改和替换部分数学内容——都会理解沙盘的缺点！
大约在十世纪中叶，al-Uqlidisi撰写了Kitab al-fusul fi al-hisab al-HindiⓉ（《论印度计算的书》），这是现存最早介绍印度系统的著作。在其中，al-Uqlidisi论证该系统具有实用价值：-
大多数算术家在工作中不得不使用它：因为它简便直接，需要很少的记忆，能迅速给出答案，几乎不需要思考……因此，我们说它是一门科学和实践，需要一种工具，就像作家、工匠、骑士需要处理他们的事务一样；因为如果工匠难以找到他行业所需的东西，他就永远不会成功；要掌握它没有困难、不可能或需要准备。
在这本书的第四部分，al-Uqlidisi展示了如何将需要用沙盘进行的印度符号计算方法，修改为可以用笔和纸进行的方法。当然，印度系统需要沙盘这一事实一直是其被接受的主要障碍之一。例如，As-Suli在称赞印度系统极其简单之后，在十世纪上半叶写道：-
官方抄写员仍然避免使用[印度系统]，因为它需要设备[如沙盘]，他们认为一种只需要身体器官的系统更可靠，也更符合领导者的尊严。
因此，Al-Uqlidisi的著作在试图消除接受印度九个符号的障碍方面是重要的。它在历史上也很重要，因为它是已知最早直接处理十进制分数的文本。
尽管许多学者发现用印度符号计算对他们的工作有帮助，但整个十世纪商业界仍继续使用手指算术。Abu'l-Wafa本人是使用印度数字的专家，但他还是写了一部关于如何使用手指算术的文本，因为这是商业界使用的系统，而针对这些人的教材必须用相应的系统来写。让我们提供一点关于Abu'l-Wafa著作中所包含的阿拉伯字母数字的信息。
这些数字由字母表示，但并非按字典顺序。该系统被称为huruf al jumal，意为“用于计算的字母”，有时也被称为abjad，即只是前四个数字（1 = a，2 = b，j = 3，d = 4）。从1到9的数字由字母表示，然后数字10、20、30、…、90由接下来的九个字母表示（10 = y，20 = k，30 = l，40 = m，…），接着100、200、300、…、900由再接下来的字母表示（100 = q，200 = r，300 = sh，400 = ta，…）。阿拉伯语有28个字母，因此还剩下一个，用来表示1000。
阿拉伯天文学家使用了阿拉伯字母系统的六十进制版本。尽管阿拉伯语是从右向左书写的，我们将用我们在书写英语时使用的从左到右的方式给出一个例子。一个数，比如43° 21' 14"，在这种“abjad”计算字母的六十进制版本中会写成“mj ka yd”。
十一世纪初，与伊本·塔希尔·巴格达迪同时代的伊本·西那（在西方更广为人知的名字是伊本·西那）正在写作。我们对他生平的许多细节都很了解，因为他写了一部自传。ibn Sina无疑是个非凡的孩子，其记忆力和学习能力令聚集在他父亲家中的学者们惊叹不已。大约在997年，ibn Sina十岁时，一群来自埃及的学者来到他父亲家中，教他印度算术。他还提到一位菜贩教过他印度计算和代数。所有这些都表明，到十一世纪初，用印度符号进行计算已相当普遍，而且相当重要的是，一位菜贩也懂得这种计算。
数字本身又如何呢？我们在印度数字关于印度数字的文章中已经看到，数字本身的形态在不同地区有所差异，并随时间而变化。阿拉伯世界的情况也完全相同。
这里有一个在阿拉伯帝国东部使用早期印度数字形式的例子。它出自阿布·赛义德·西杰兹的一部著作，不是他的原创著作，而是另一位数学家的著作，阿布·赛义德·西杰兹在设拉子抄录了它，并将抄本定年为969年。
插图：sizji.gif ↗
来自al-Sizji 969年论文中的数字
100年后，当比鲁尼的一部天文著作的这个抄本被制作出来时，数字的形态已有所改变。以下是1082年抄本中出现的数字。
插图：biruni.gif ↗
来自al-Biruni 1082年抄本论文中的数字
事实上，仔细观察会发现，在969年至1082年间，数字的最大变化是2和3旋转了90°。这一变化的原因与抄写员的书写方式有关，因为他们盘腿而坐，在卷轴上书写，卷轴从右到左绕过身体。因此，抄写员不是从右到左书写（阿拉伯语的标准书写方式），而是从上到下逐行书写。当阅读卷轴时，文字被旋转，字符便处于正确的方向。
插图：arabnum_1.gif ↗
下面是文本写作方式的一个例子
也许因为抄写员书写印度数字的经验不多，他们按正确的方式书写2和3，而不是将它们旋转90°书写，以便卷轴旋转阅读时它们能正确显示。
插图：arabnum_2.gif ↗
下面是抄写员应该写的内容的一个例子
而下面是抄写员实际写出的内容
阿拉伯帝国西部的数字形式对今天使用欧洲数字的人来说看起来更熟悉，这并不奇怪，因为印度数字系统正是通过这些数字传到欧洲的。
插图：marrakushi.gif ↗
al-Banna al-Marrakushi的数字形态
他在约14世纪初所写的实用算术书中给出了这种形式的数字。他一生大部分时间生活在摩洛哥，那里与al-Andalus，即安达卢西亚，即西班牙南部由阿拉伯人控制的地区，有着密切的联系。
然而，欧洲文献中现存最早的印度数字例子远早于al-Banna的时代。这些数字出现在976年由西班牙一位修士抄写的Codex Vigilanus中。然而，当时欧洲的主要部分尚未准备好接受任何种类的新思想。接受过程缓慢，甚至直到15世纪，欧洲数学才开始其延续至今的快速发展。本文不会考察将印度数字系统引入欧洲的诸多贡献，但我们将以一个例子作结，然而这是一个非常重要的例子。斐波那契在其1202年于比萨出版的著名著作Liber abaciⓉ（《算盘书》）中写道：-
当我父亲被其国家任命为布吉亚海关的公证人，为前往那里的比萨商人办事时，他在任期间，在我还是个孩子时就把我叫到身边，考虑到实用性和未来的便利，希望我留在那里并在会计学校接受教育。在那里，当我通过出色的教学接触到印度人的九个符号的技艺时，对这门技艺的知识很快便令我最为欣喜，我逐渐理解了它，因为无论是埃及、叙利亚、希腊、西西里还是普罗旺斯，这门技艺所研究的一切，及其各种形式。