数学史专题
四色猜想似乎最早是由Francis Guthrie提出的。他是伦敦大学学院的学生，师从奥古斯塔斯·德摩根。从伦敦毕业后他学习法律，但此时他的兄弟Frederick Guthrie已成为奥古斯塔斯·德摩根的学生。Francis Guthrie向他的兄弟展示了一些他一直在试图证明的关于地图着色的结果，并请Frederick向奥古斯塔斯·德摩根请教这些问题。
奥古斯塔斯·德摩根无法给出答案，但在1852年10月23日，即他被问到这个问题的同一天，他写信给都柏林的威廉·哈密顿。奥古斯塔斯·德摩根写道：-
我的一个学生今天要求我为一个我并不知道是事实的事实给出理由——而且现在也还不知道。他说，如果任意划分一个图形，并将各区域以不同颜色着色，使得任何有共同边界线部分的图形颜色不同——可能需要四种颜色，但不会更多——以下是需要四种颜色的情况。试问能否发明出需要五种或更多颜色的必然性。……如果你用某个非常简单的例子反驳我，让我显得像头愚蠢的动物，我想我必须像斯芬克斯那样做了……。
你可以在THIS LINK看到这封信。
威廉·哈密顿于1852年10月26日回信（这既显示了他本人的效率，也显示了邮政服务的效率）：-
我不太可能很快尝试你那四元数的颜色。
在继续讲述四色猜想的历史之前，我们将补全Francis Guthrie的详细情况。在从事律师职业之后，他于1861年前往南非担任数学教授。他发表了几篇数学论文，并对植物学产生了兴趣。一种石南花（Erica Guthriei）以他的名字命名。
奥古斯塔斯·德摩根不断询问是否有人能找到格思里问题的解，几位数学家对此进行了研究。美国的查尔斯·桑德斯·皮尔士在19世纪60年代试图证明该猜想，他终生对这个间题保持兴趣。阿瑟·凯莱也从奥古斯塔斯·德摩根那里得知了这个问题，并于1878年6月13日向伦敦数学会提出问题，询问四色猜想是否已被解决。不久之后，阿瑟·凯莱将一篇论文On the colouring of maps寄给皇家地理学会，并于1879年发表。该论文解释了试图证明该猜想时困难所在。
1879年7月17日，阿尔弗雷德·布雷·肯普在Nature中宣布他证明了四色猜想。阿尔弗雷德·布雷·肯普是一位伦敦律师，曾在剑桥跟随阿瑟·凯莱学习数学，一生中投入部分时间研究数学。在阿瑟·凯莱的建议下，阿尔弗雷德·布雷·肯普将该定理提交给American Journal of Mathematics，并于1879年在那里发表。威廉·爱德华·史都瑞在出版前阅读了该论文并做了一些简化。史都瑞于1879年11月向约翰威廉·霍普金斯大学科学协会报告了该证明，而查尔斯·桑德斯·皮尔士——他参加了11月的会议——在12月的协会会议上讲述了自己关于四色猜想的工作。
阿尔弗雷德·布雷·肯普使用了一种称为the method of Kempe chains的论证。如果我们有一张地图，其中除一个区域外，每个区域都被染成红色、绿色、蓝色或黄色，比如说。如果这最后一个区域没有被所有四种颜色的区域包围，那么就还剩一种颜色给。因此，假设所有四种颜色的区域都包围着。如果被区域按顺序包围，分别染成红色、黄色、绿色和蓝色，那么有两种情况需要考虑。
(i) 不存在从到的相邻区域链，交替着红色和绿色。
(ii) 存在从到的相邻区域链，交替着红色和绿色。
如果(i)成立，就没有问题。把改为绿色，然后交换连接的链中红/绿区域的颜色。由于不在链中，它保持绿色，并且现在没有红色区域与相邻。把染成红色。
如果(ii)成立，那么不可能存在从到的黄色/蓝色相邻区域链。[它不可能穿过红/绿区域链。]因此，性质(i)对和成立，我们如上所述改变颜色。
阿尔弗雷德·布雷·肯普因其证明而获得极大赞誉。他当选为皇家学会会士，并担任其财务主管多年。他于1912年被封为爵士。他发表了两篇改进版的证明，第二篇于1880年发表，引起了爱丁堡自然哲学教授P G Tait的兴趣。彼得·格思里·泰特就这个主题向爱丁堡皇家学会发表演讲，并发表了两篇关于（我们现在应称之为）四色定理的论文。它们包含一些巧妙的想法和一些基本错误。
四色定理在1890年又变回了四色猜想。珀西·约翰·希伍德，英格兰达勒姆的一位讲师，发表了一篇题为Map colouring theorem.的论文。在文中他声明他的目标是
与其说是建设性的，不如说是破坏性的，因为将证明现在显然被认可的证明中存在一个缺陷。
尽管珀西·约翰·希伍德表明阿尔弗雷德·布雷·肯普的证明是错误的，但他在这篇论文中确实证明了每张地图都可以5着色。阿尔弗雷德·布雷·肯普亲自向伦敦数学会报告了这个错误，并说他无法纠正他证明中的错误。1896年，夏尔-让·德拉瓦莱·普桑也指出了阿尔弗雷德·布雷·肯普论文中的错误，显然不知道珀西·约翰·希伍德的工作。
珀西·约翰·希伍德一生都在研究地图着色，这项工作持续了近60年。他成功地研究了其他曲面上地图所需的颜色数，并给出了以曲面的Euler characteristic表示所需颜色数的所谓Heawood estimate。
珀西·约翰·希伍德另一项使他成名的成就是作为达勒姆城堡修复基金的秘书筹集资金修复达勒姆城堡。由于他坚持不懈地筹集资金，使城堡免于从它所在的山上滑落，珀西·约翰·希伍德获得了O.B.E.。
珀西·约翰·希伍德对四色猜想做出了进一步贡献。1898年，他证明了如果每个区域周围的边数能被3整除，那么这些区域就是4可着色的。随后他写了许多论文推广这一结果。
为了理解后来的工作，我们需要定义一些概念。
显然，可以从任何地图构造一个图，区域由顶点表示，如果顶点对应的区域相邻，则两个顶点由一条边连接。所得的图是平面的，即可以画在平面上而没有任何边相交。四色猜想现在问的是，图的顶点是否可以用4种颜色着色，使得没有两个相邻顶点颜色相同。
从图中可以通过添加边将任何非三角形面划分为三角形，从而得到一个三角剖分。一个构型是包含在一个回路内的三角剖分的一部分。不可避免集是具有以下性质的构型集合：任何三角剖分必定包含该集合中的某个构型。如果一个构型不能包含在不可4着色的最小图的三角剖分中，则称该构型是可约的。
对可避免集的探索始于1904年Weinicke的工作。在美国重新引起兴趣是由于奥斯瓦尔德·维布伦，他于1912年发表了一篇关于四色猜想的论文，推广了珀西·约翰·希伍德的工作。G D Birkhoff的进一步工作引入了可约性（如上定义）的概念，此后大多数工作都以此为基础。
菲利普·富兰克林于1922年发表了更多不可避免集的例子，并利用乔治·戴维·伯克霍夫的可约性思想证明了，除其他结果外，任何区域数≤25的地图都可以4着色。能导致4可着色地图的区域数被缓慢增加。奥斯鲍恩·雷诺在1926年将其增加到27，Winn在1940年增加到35，Ore和Stemple在1970年增加到39，Mayer在1976年增加到95。
然而，解决四色猜想所需的最终思想在这最后两个结果之前就已经引入。Heesch在1969年引入了method of discharging。它包括给一个度为的顶点赋予电荷。现在，从莱昂哈德·欧拉的公式我们可以推出，所有顶点上的电荷之和必须为12。一个给定的构型集合可以被证明是不可避免的，如果对于一个不包含中构型的三角剖分，我们可以重新分配电荷（不改变总电荷），使得没有顶点最终带有正电荷。
Heesch认为四色猜想可以通过考虑大约8900个构型的集合来解决。他的方法存在困难，因为他的一些构型边界多达18条边，无法进行可约性测试。可约性测试使用了阿尔弗雷德·布雷·肯普链论证，但一些构型存在障碍以阻止约化。
1976年，四色猜想第二次也是最后一次得到了完整解决，从而成为四色定理。证明由凯尼斯·阿佩尔和Haken完成，他们的方法基于使用阿尔弗雷德·布雷·肯普链的可约性。他们贯彻了Heesch的思想，最终构造了一个约含1500个构型的不可避免集。他们设法将边界环的大小保持在≤14，使得计算比Heesch的情况更容易。有很长一段时间，他们基本上使用试错法以及令人难以置信的直觉来修改他们的不可避免集和放电过程。凯尼斯·阿佩尔和Haken使用了1200小时的计算机时间来完成最终证明的细节。海里格·冯·科赫协助凯尼斯·阿佩尔和Haken进行了计算机计算。
四色定理是第一个使用计算机证明的主要定理，其证明无法由其他数学家直接验证。尽管最初对此有些担忧，但独立的验证很快使所有人确信四色定理最终得到了证明。证明的细节出现在1977年的两篇文章中。最近的工作导致了算法的改进。
