数学史专题
[本文由引文组成，主要引自尼科洛·塔尔塔利亚，内容涉及“三次方程之争”。以下引文的完整上下文，见希皮奥内·德尔·费罗、吉罗拉莫·卡尔达诺、尼科洛·塔尔塔利亚和洛多维科·费拉里的传记。连接性评注置于方括号内。]
Zuanne de Tonini da Coi：我听说不久前您与Antonio Maria Fior师傅进行了一场争论，最终达成协议：他应向您提出三十个问题，每个问题各不相同，以书面形式写下并密封，交存于公证人Per Iacomo di Zambelli师傅处；同样，您也应向他提出三十个问题，每个问题也各不相同。你们双方都这样做了，并约定四十或五十天的期限，让各自解决这些问题，且商定在此期间内，谁被判定解决了更多所收到的问题，谁就获得荣誉，外加您为每个问题所提议的少量报酬。有人向我报告，并得到Fina a Bressa的证实，说您在两个小时之内解决了他全部三十个问题。我觉得这难以置信。
尼科洛·塔尔塔利亚：您所听到或被告知的一切都是真的。我之所以能在如此短的时间内解决他的三十个问题，是因为这三十个问题全都涉及未知量的代数以及立方等于数。他这样做，是相信我一个也解不出来，因为Luca修士在其论著中断言，用任何一般规则都不可能解决这类问题。然而，幸运的是，就在约定收集两组各三十个密封问题之前仅八天，我发现了这类表达式的一般规则。
我向他提出的所有问题确实每个都各不相同。我这样做是为了向他展示我的多才多艺，并表明我的根基不仅仅在于我自己的一两个、甚至三个私人发现，或在于秘密，尽管为了更安全我一直将它们秘而不宣。此外，我本可以给他再出一千个，而不只是三十个；但按照约定，我提出了全部三十个，每个都各不相同，以表明我轻视他，毫无理由惧怕他。
[Zuan Antonio de Bassano是一位书商，经常往返于米兰和威尼斯之间。他在吉罗拉莫·卡尔达诺和塔尔塔利亚之间传递消息。以下对话发生在1539年1月2日。]
Zuan Antonio：Niccolo塔尔塔利亚师傅，我受一位可敬人士的指引来找您，他是米兰的一位医生，名叫Girolamo Cardano师傅，是一位非常伟大的数学家。因为他了解到您曾与Fior师傅进行争论，向他提出了一些赌注性问题，这些问题只有知道解决三次方程情形的一般规则才能回答，而这一般规则是您自己发现的。因此，他恳请您将您所发现的规则告知他，如果您认为合适，将以您的名义在他目前的著作中公之于众；但如果您认为不宜发表，他将保守秘密。
塔尔塔利亚：请告诉阁下，他必须原谅我：当我打算公布我的发明时，我会在我自己的著作中公布，而不是在别人的著作中，所以请阁下务必原谅我。
Zuan Antonio：如果您反对向他透露您的发现，阁下已吩咐我恳请您，无论如何，把向您提出的那三十个问题连同您对它们的解答交给他，同时也把您自己提出的那三十个问题交给他。
塔尔塔利亚：我不能那样做，因为一旦他得到上述问题中的一个及其解答，阁下就会立刻明白我所发现的规则，借助这个规则，或许还可以基于同样的材料发现许多其他规则。
Zuan Antonio：阁下给了我八个问题要交给你，恳请你为他解答。问题如下：1. 把十分成四个成连比的部分，其中第一个为二。
2. 请把十分成四个成连比的部分，其中第二个为二。
[第3、4、5题省略。]
6. 请找出四个成连比的量，其中第二个为二，第一个与第四个相加得十。
7. 请将十分成三个成连比的部分，其中第一部分乘以第二部分得八。
8. 给我找一个数，当它乘以它的根再加三时等于二十一。塔尔塔利亚：这些是Zuanne da Coi大师提出的问题，没有别人。我从最后两个问题认出了它们，因为两年前他寄给我一个与第七个类似的问题，我让他承认他并不理解同一个问题，而最后一个类似的问题（它引出一个平方与立方等于一个数的运算），不到一年前我出于礼貌给了他解答，为了那个解答我发现了一条专门针对这类问题的规则。
Zuan Antonio：我很清楚，这些问题是他的阁下，Girolamo Cardano大师，交给我的，而不是其他人。
塔尔塔利亚：这位Zuanne da Coi大师一定是去过米兰并向他的阁下提出了这些问题，而他无法解决，就把它们寄给我来解答，我确信这一点，因为这位Zuanne da Coi大师一年前向我承诺他会来威尼斯，但尽管如此他从未到来，我想他已经后悔他的打算并转向米兰了。
Zuan Antonio：不要以为如果他的阁下不理解这些问题并知道如何解决它们，或者这些问题来自其他人，他会把它们寄给你，因为他的阁下是米兰最有学问的人之一，而dal Vasto侯爵为他的才能给了他丰厚的资助。
在后面的对话中，祖安·安东尼奥再次请求那三十个问题。
塔尔塔利亚：关于那些问题——尽管我很难抽出时间——我会抄写一份。但无论他的能力如何，阁下都无法解决它们，因为要做到这一点，就意味着阁下有着像我一样的才智，而他没有。
祖安·安东尼奥：那么，请把他的给我吧。
塔尔塔利亚：这些正是他写下的原样：-
荣耀归于上帝，1534年，2月22日，于威尼斯。这些是我Antonio Maria Fior向你Niccolo塔尔塔利亚大师提出的三十个问题。1. 给我找一个数，当它的立方根加到它上面时，结果是六，即6。
2. 找出两个成双倍比例的数，使得较大数的平方乘以较小数，再将此乘积加到这两个原数上，结果为四十，即40。
3. 找出一个数，使得当它被立方，并且这个数被加到该立方上时，结果为五。
[我们只给出一个选段。]
15. 一个人以500杜卡特卖出一颗蓝宝石，获利为其资本的立方根。利润是多少？
17. 有一棵树，高12臂长，在某一点被折断，使得仍然站立部分的高度是折断部分长度的立方根。仍然站立部分的高度是多少？
30. 有两个二十面体，它们的面积相加为700 braccia，较小者的面积是较大者的立方根。较小者的面积是多少？卡尔达诺致塔尔塔利亚（1539年2月12日）：亲爱的Niccolo大师，我对你给一个叫Zuan Antonio de Bassano的书商所作的不体面答复感到非常惊讶……我要把你从这种自负中拔出来，就像我最近把Zuanne da Coi大师拔出来一样，也就是说，那种自认为是世界上第一人的自负，因此他绝望地离开了米兰；我会亲切地写信给你，把你从自认为如此伟大的自负中拖出来——会通过善意的告诫，从你自己的话中让你明白，你离山谷比离山顶更近。在其他事情上，你可能比你在这封回信中所表现的更熟练、更聪明；因此我首先必须声明，我一直对你怀有很高的敬意，而且你的《论炮术》一书一出版，我就买了两本，那是Zuan Antonio带来的仅有的两本，其中一本我送给了侯爵先生……
第三点是，您告诉那位书商，如果我的问题中有一个被解决了，所有问题就都解决了，这是极其错误的，而且这是一种隐蔽的侮辱，说我在想给您寄六个问题时，却只寄了一个，这会在我的理解力上表明极大的混乱；当然，如果我狡猾的话，我会就此事打赌一百斯库多；也就是说，它们既不能被归约为一个问题，也不能归约为两个或三个问题。而且，确实，如果您愿意就它们打赌，我不会拒绝您，并将在约定时间前往威尼斯，如果您来这里，我将在这里提供银行担保，或者如果我去威尼斯，将在那里向您提供。这不是空口说白话，因为您面对的是会信守诺言的人……
我寄给你两个问题及其解答，但解答须与问题分开，信使会随身携带它们；如果你无法解决这些问题，他会把解答交到你手中。你将逐一得到它们，以免你以为我寄来是为了获取而非给予；但请先寄回你自己的解答，以免你在未解决这些问题时让我误以为你已经解决了。
除此之外，请将你向Antonio Maria Fior大师提出的命题寄给我，如果你不愿寄来解答，就自己留着吧，它们也没那么珍贵。如果你愿意，在收到我上述问题的解答时——倘若你自己无法解决它们，在你确信我的前六个问题性质不同之后——将其中任何一个的解答寄给我，与其说是为了考验你的高超技艺，不如说是出于友谊，你将给我带来极大的愉快。1. 用十个数构造四个成连比的量，使其平方之和为六十。
2. 两个人在一起，拥有不知多少杜卡特。他们获得了其资本十分之一的立方，如果他们获得的数量比实际少三，那么他们获得的量将等于他们的资本。他们有多少杜卡特？[他们之间进行了更友好的通信。卡尔达诺试图引诱塔尔塔利亚前往米兰会见他的赞助人Alphonso d'Avalos，Guasto侯爵。这可能导致Trataglia获得一份更好的工作。]
塔尔塔利亚（写在卡尔达诺来信上的评注）：我被这家伙弄到了奇怪的境地，因为如果我不去米兰，侯爵大人可能会生气，这样的冒犯可能对我不利，我不情愿去那里：然而，我还是会去。
[1539年3月25日，塔尔塔利亚在米兰拜访了卡尔达诺。瓜斯托侯爵阿方索·达瓦洛斯当时不在米兰。以下对话由塔尔塔利亚记述，发生在卡尔达诺家中。]
卡尔达诺：我也写信告诉你，如果你不满足于我发表它们，我会保守秘密。
塔尔塔利亚：够了，在这一点上我不愿相信你。
卡尔达诺：我以神圣的福音向你发誓，并以绅士的信用担保，如果你把你的发现告诉我，我不仅绝不发表，而且我以一个真正基督徒的信仰承诺并保证将它们用密码记下，以便在我死后无人能够理解。如果你相信我，就这样做；如果不信，那我们就此了结。
塔尔塔利亚：如果我不能相信这么多誓言，那我确实应该被视为一个毫无信义的人；但既然我现在已决定骑马去维杰瓦诺见侯爵大人，因为我已经在这里待了三天，厌倦了等他这么久，等我回来时，我保证把全部展示给你看。
卡尔达诺：既然你无论如何都已决定立刻骑马去维杰瓦诺见侯爵大人，我会给你一封信带给他的阁下，以便他知道你是谁；但在你走之前，我希望你把你那些情形的法则展示给我看，正如你承诺的那样。
塔尔塔利亚：我愿意……
[塔尔塔利亚随后在他写的一首诗中向卡尔达诺给出了他的法则。]当立方与未知量相加
等于某个离散的数，
找出另外两个数，在此数上相异。
然后你将保持这样一个习惯：
它们的乘积应始终等于
未知量三分之一的立方。
然后作为一般法则，
将它们的立方根相减，
将等于你的主要未知量。
在这些运算的第二种中，
当立方单独留下时，
你将观察到这些其他约定：
你将立即将数分成两部分，
使得一部分乘以另一部分恰好产生
未知量三分之一的立方。
然后作为习惯法则，对这两部分，
你将取立方根相加，
这个和将是你的答案。
我们这些计算的第三种，
如果你小心处理，可用第二种解决，
因为它们的本质几乎相同。
我发现这些事情，并非步履迟缓，
在第一千五百三十四年。
以坚固而牢靠的基础，
在被海洋环绕的城市中。这首诗说得如此清楚，我相信无需任何其他例子，阁下就能理解一切。
卡尔达诺：我多么理解它，而且我现在几乎已经理解了。如果你愿意就去吧，等你回来时，我会向你展示我是否理解了它。
[然而，卡尔达诺在试图理解这一法则时遇到了不可约情形的问题。他写信向塔尔塔利亚求助。以下摘录自塔尔塔利亚的回信。]
塔尔塔利亚致卡尔达诺（1539年8月）：吉罗拉莫先生，我收到了你的来信，你在信中说你理解了这一法则；但是当未知量系数三分之一的立方在数值上大于常数一半的平方时，你无法按照该法则解出方程，因此你请求我给出方程“一个立方等于九个未知量加十”的解法。对此我答复并声明，你没有采用正确的方法来解这种情形；我还说，你这样的做法完全是错误的。至于为你解出你寄来的方程，我必须说，我非常后悔已经给了你那么多东西，因为我已从可靠人士处得知，你即将出版另一部代数著作，而且你一直在米兰到处吹嘘在代数中发现了若干新法则。但请注意，如果你对我背信弃义，我肯定不会对你食言（因为这是我的习惯）；不仅如此，我甚至要对你做的比我所承诺的更多。……
塔尔塔利亚（写给自己的笔记）：我打算看看能否改变他所掌握的数据，也就是说，把他从正确的道路上引开，使他走上别的……
[后来洛多维科·费拉里卷入了这场争论，并开始写信给塔尔塔利亚而不是卡尔达诺。]
费拉里致塔尔塔利亚：你竟无耻地说卡尔达诺在数学上无知，还称他缺乏教养、头脑简单，是个地位低下、言语粗俗的人，以及其他类似的冒犯之词，冗长得不胜枚举。由于他阁下受其身份所限，又因为此事关乎我个人，因为我是他的人，所以我自告奋勇公开揭露你的欺诈与恶意。
费拉里致塔尔塔利亚：至于辩论中的第二十二个问题。你起初说这不是数学家该问的问题。对此我答复，如果你所说的数学家是指像你这样的人，即整天摆弄根号、五次幂、立方以及其他琐碎玩意的人，那你说得完全对。我向你保证，如果由我来奖赏你，效仿亚历山大的做法，我会让你装满根号和萝卜，让你这辈子再也吃不下别的东西。
[最终塔尔塔利亚同意与费拉里进行公开辩论。辩论于1548年8月10日在米兰的Santa Maria del Giardino教堂举行。米兰总督Don Ferrante di Gonzaga担任裁判。双方各提出了六十二个涉及广泛科学和数学主题的问题。我们给出费拉里向塔尔塔利亚提出的五个问题。]15. 找出两个数，使得当它们相加时，其和等于较小数的立方加上较小数的三倍乘以较大数的平方；而较大数的立方加上较大数的三倍乘以较小数的平方，比这两个数之和大64。
17. 将8分成两部分，使得它们的乘积乘以它们的差尽可能大，并证明一切。
21. 找出从1开始的六个成连比的量，使得第二个的两倍与第三个的三倍等于第六个的根。
23. 有一个立方体，使得它的棱和它的面相加之和等于所述立方体与其一个面之间的比例量。这个立方体的大小是多少？
27. 有一个直角三角形，使得当作出高线时，一条边与底边的对应部分之和为30，另一条边与底边的另一部分之和为28。其中一条边的长度是多少？[费拉里赢得了比赛。费拉里无法解决上述问题27。]
塔尔塔利亚致费拉里（竞赛之后）：……你问其中一条边的长度。我回答你，你向我提出这个问题，是为了让我向你阐明你所不理解的东西，而事实确实如此，在你的《大术》第14问第71页中，你提出了一个类似的问题，即你想让一条边与相对的部分构成29，另一条边与另一部分构成31。在那个三角形中，你所确定的边都是有理的，即一条为20，另一条为15，底为25，高为12，底的大部分为16，小部分为9。而最终你并不知道如何用一般法则解出这样一个问题。在公开场合提出这样一个问题，却不知道如何用一般法则解出它，是一件非常可耻的事。我对你的第26和第19个问题也持同样看法，但我保留在裁判面前对你这些问题的答复……
由J J O'Connor和E F Robertson撰写
最后更新于2005年9月