数学史专题
我[EFR]正坐在圣安德鲁斯的书桌前，在2004年6月8日星期二上午10点刚过开始写这篇文章。为什么这是一个如此特殊的时刻？因为就在我写作时，一个非常罕见的事件正在发生，即金星凌日。遗憾的是，由于天空布满厚厚的云层，我无法观看。以往这样的凌日对于确定地球与太阳之间的距离具有重要意义。爱德蒙·哈雷在1679年指出，从地球上相距已知距离的两个点观测这样的凌日，可以用来确定太阳系的大小。1761年6月和1769年的凌日，以及1874年和1882年12月的凌日，被用来获得天文单位的准确值，即地球到太阳的距离。我们将在文章后面回到这一事件，但我们应该从测量宇宙大小的最早尝试开始。
也许首先要提到的是，“宇宙”的概念随时间而变。在最早的时候，宇宙被认为由地球以及绕其旋转的月球、太阳和行星组成。这个宇宙的外边界是恒星天球。甚至在历史记录开始之前，人们就已经意识到月球比太阳、行星和恒星更靠近地球，因为可以看到月球在它们前面移动。尽管当时没有方法估计到这些天体的距离，但人们认为“显而易见”的是，离地球较近的物体相对于恒星回到相同位置的速度会比更远的物体更快。已知月球需要27天，水星88天，金星225天，火星2年，木星12年，土星29年，这被视为它们到地球距离的度量。
我们所知的第一个获得太阳和月球距离数值的人是公元前3世纪的阿里斯塔克斯。关于他方法的细节，请参见我们关于阿里斯塔克斯的传记。他确定距离的方法在理论上是正确的，尽管他在精确测量小角度以及确定月球恰好半被照亮的时刻方面存在问题。这些困难导致了相当大的误差。他通过观察月食期间地球在月球上的影子形状来估计月球的直径。
公元前2世纪的喜帕恰斯使用了与阿里斯塔克斯相同的方法，但精度有所提高。他估计地球到月球的距离是地球半径的59倍，到太阳的距离是地球半径的1,200倍，这是一个严重的低估。公元2世纪的克劳狄乌斯·托勒密使用视差法计算了到月球的距离。从地球上两个相距已知距离的点同时观察月球相对于恒星的位置，使他得到了与喜帕恰斯相同的结果，即地球到月球的距离是地球半径的59倍。使用与喜帕恰斯相同的方法来确定到太阳的距离，使克劳狄乌斯·托勒密得出了对其距离同样严重的低估。直到16世纪的尼古拉·哥白尼，才取得了进一步的进展。
事实上，尼古拉·哥白尼虽然提出了与克劳狄乌斯·托勒密非常不同的宇宙模型，但对到太阳和月球的距离采用了基本相同的数值。他确实将到太阳的距离值改进为地球半径的1,500倍，但这仍然是一个严重的低估，几乎算不上改进。1632年2月，伽利略出版了Dialogue Concerning the Two Chief Systems of the World - Ptolemaic and Copernican.。它采用萨尔维亚蒂和辛普利西奥之间对话的形式，前者为哥白尼体系辩护，后者是亚里士多德派哲学家。反对地球绕太阳旋转的一个论点是，在这种情况下，由于观察者每六个月穿过地球轨道的直径，较近的恒星应该相对于较远的恒星前后移动。如果观察不到这一点，就意味着恒星必须非常遥远。但大多数人声称恒星不是光点，而是实际上是小圆盘，因此必定极其巨大。萨尔维亚蒂通过声称（正确地）恒星只是光点，圆盘的外观是一种幻觉来反驳这些论点。然而，如果伽利略是正确的，这个论点确实表明宇宙是巨大的，到恒星的距离是极其遥远的。
约翰内斯·开普勒于1619年发表的第三定律使太阳系内的相对距离为人所知，但在一个距离被准确知道之前，其大小仍然未知。然而，他关于到太阳距离的重要观察是：如果，他论证道，到太阳的距离是地球半径的1,2000倍，那么火星在离地球最近时应该比这个距离更近。这意味着火星应该表现出视差，这完全在他观测的精度范围内。然而，他没有观察到任何视差，因此推断公认的到太阳的距离是低估的。由于没有数据作为更准确估计的基础，他求助于他的和谐思想。然而，正如约翰内斯·开普勒所指出的，现在所需要的只是对到火星距离的准确测量，尺度就确定了。
1671年，法国策划了一次远征，其目标之一是测定到火星的精确距离。这次远征将前往卡宴，从那里和巴黎对火星进行的观测将提供其距离的精确值。时间被选定在火星最接近地球的时候，以最大限度地提高观测的精度。让·里歇尔从卡宴进行了观测，并在返回巴黎后，乔凡尼·多美尼科·卡西尼整理了所获得的数据，得出地球到太阳的距离为8700万英里。人们可以争辩说，这仍然与9300万英里的真实值相差较远，但与克劳狄乌斯·托勒密约400万英里的值相比，这是一个巨大的改进。
爱德蒙·哈雷在1718年注意到，自喜帕恰斯测量它们的位置以来，三颗恒星——天狼星、南河三和大角星——相对于黄道（太阳在恒星背景中呈现的视路径）发生了移动。天狼星甚至从第谷·布拉赫给出的位置移动了。当然，这不是由于黄道的移动，因为爱德蒙·哈雷根据其他恒星的位置确定了这一点。当然，爱德蒙·哈雷无法知道这是否是由于喜帕恰斯的观测误差造成的，但他对古代数据有足够的信心，明确表示他相信这是由于这些恒星移动了它们的实际位置，称为恒星的自行。人们进行了许多测量恒星视差的尝试，但都没有成功。詹姆斯·布拉德利在1728年试图测定恒星视差时，确实发现了光行差。
正如我们在本文开头提到的，利用金星凌日来获得日地距离的精确值是由爱德蒙·哈雷提出的。利用1761年6月和1769年6月的金星凌日来实现这一目的引起了相当大的兴趣，许多天文学家出发前往圣赫勒拿、好望角I·J·古德和印度等地进行观测。尽管方法本身是可靠的，但要确定太阳圆面与金星圆面接触的精确时刻却极为困难。因此，对日地距离的估计值相差可达1000万英里。
威廉·赫歇尔认为恒星的亮度可以作为其距离的度量。他研究了星云，其中一些已被Charles Messier编入星表，这些星云无法分解为恒星。起初他认为这些是新的“宇宙岛”——像银河系但远为遥远的恒星系统。然而，当他研究了大量这类星云后，他发现它们的分布与银河系平面有关，因此这似乎证明了这些不是“宇宙岛”，而是银河系中无法分解为恒星的星团。当更强大的望远镜能够将其中一些分解为恒星时，后一种理论的进一步证据出现了。然而，威廉·赫歇尔似乎继续相信他所观测的一些星云确实是宇宙岛。他是对的！
第一个测量恒星视差的人是弗里德里希·威廉·贝塞尔。他测定了到天鹅座61的距离，并于1838年宣布了他的结果。显然，要成功，选择一颗靠近太阳的恒星很重要。他选择这样一颗恒星的方法是基于选择一颗在他研究过的所有恒星中自行最大的恒星。他正确地推断出这意味着该恒星很近。由于天鹅座61是一颗相对暗淡的恒星，这是一个大胆的选择，基于他对自行原因的正确理解。弗里德里希·威廉·贝塞尔使用Fraunhofer量日仪进行测量，宣布了他的值0.314"，考虑到地球轨道的直径，这给出的距离约为10光年。天鹅座61视差的正确值是0.292"。尽管多年来测量恒星视差的尝试一直失败，但一旦弗里德里希·威廉·贝塞尔宣布了他的结果，其他几颗恒星的距离也被测量出来了。Thomas Henderson在1839年测量了半人马座α的视差，表明它的视差大约是天鹅座61的三倍，因此要近得多。Henderson确实测量了到最近恒星的距离。在接下来的几年里，许多其他恒星的距离通过视差法被测定出来，但这是一种永远无法测定除最近恒星以外的任何恒星距离的方法。
计算距离的一项重大进展出现在1908年，当时亨丽爱塔·勒维特观测了大小麦哲伦云中的变星。这是银河系的两个小型伴星系，由于到这两个小星系的距离远大于它们的直径，因此其中的所有恒星距离我们大致相同。勒维特观测到她所研究的恒星，即所谓造父变星的变光周期与其绝对亮度之间存在关系。到1912年，这一关系已被改进为测量造父变星距离的可靠方法，因为只需确定周期，即两次最大亮度出现之间的时间，就能得到该恒星的绝对亮度值。一旦恒星的绝对亮度已知，那么通过测量其视亮度就很容易确定它的距离。
哈罗·沙普利在美国威尔逊山天文台工作，开始尝试利用造父变星作为距离量度来推算银河系的形状和大小。到1919年，他已推算出银河系是一个中心有巨大隆起的盘状结构。他估计，太阳位于从星系中心到外边缘距离的大约2/3处。在这一点上他完全正确，但在他对银河系大小的估计中，他高估了约3倍（其直径实际上约为100,000光年）。这是因为遥远恒星显得暗淡不仅由于距离远，还因为它们的光在旅途中必须穿过尘埃和气体。未能考虑到这一点，意味着沙普利认为遥远恒星比实际距离更远。然而，在这个阶段，沙普利和其他天文学家认为我们终于对宇宙的大小有了准确的估计，尽管威廉·赫歇尔相信银河系之外存在岛宇宙，但人们认为宇宙仅由银河系以及一些小型伴星系如大小麦哲伦云组成。
1920年，沙普利与希伯·柯蒂斯就宇宙的尺度以及旋涡星云展开了一场辩论。沙普利完全坚持这样的观点：银河系本质上就是整个宇宙，而旋涡星云是银河系内的天体。自1901年起就在洛厄尔天文台使用24英寸望远镜工作的维斯托·斯莱弗，受珀西瓦尔·洛厄尔之托研究旋涡星云。到1912年，斯莱弗取得了一项重大突破，他获得了仙女座星云的光谱图，发现其光线向蓝端移动。他意识到，这是克里斯蒂安·多普勒效应的结果，意味着仙女座星云正以每秒300公里的速度接近。这是当时测量到的天体最大速度。斯莱弗继续他的工作，到1914年已获得15个旋涡星云的光谱图。其中13个呈现红移，即正在退行，他还发现有两个正以超过每秒1000公里的速度退行。在1917年的一篇论文中，他写道：
长期以来，人们一直认为旋涡星云是在极远处看到的恒星系统。这就是所谓的“宇宙岛”理论，它把我们的恒星系统和银河系看作一个巨大的旋涡星云，我们从内部看到它。
另一位相信自己发现了另一个与银河系相当的星系的人是米尔顿·哈马森。他受雇于威尔逊山天文台做清洁工，但被教会了操作望远镜。1920至1921年冬天，沙普利请他使用威尔逊山天文台已运行约两年的100英寸望远镜拍摄仙女座星云的照片。哈马森认为这些照片刚刚把仙女座星云分解成一颗颗恒星，但当他向沙普利指出这一点时，却被告知别犯傻！沙普利把自己的声誉押在银河系构成整个宇宙这一信念上，他不会因为一个刚被提升为科研人员的前清洁工提供的证据而改变主意。
对仙女座星云的最初观测导致其距离被计算出来，这些观测是由爱德文·哈勃于1923年进行的，同样使用了威尔逊山上的100英寸望远镜。他希望证明它是银河系之外的一个恒星系统，并拍摄照片，看看是否能幸运地发现一颗新星——一颗会戏剧性地变亮然后慢慢恢复到原来亮度的恒星。1923年10月，他确实辨认出三个他认为的新星天体，但他检查了Humason拍摄的更早的照片，意识到其中一个不是新星，而是一颗造父变星。现在他能够积极地在仙女座星云中寻找更多的造父变星，并找到了另外几颗，还在其他许多螺旋星云中辨认出了造父变星。他向美国天文学会1月的会议报告了他的发现。他估计仙女座星云距离为一百万光年（约公里）。实际上，它的距离大约是那个数字的两倍。
既然他知道螺旋星云是外部星系，爱德文·哈勃就能够从Slipher关于螺旋星云红移的结果中看出，大多数都在退行，而且看起来那些更远的退行得更快。爱德文·哈勃然后请Humason使用威尔逊山上的100英寸望远镜，寻找比Slipher用他的24英寸望远镜所能观测到的更多的螺旋星系光谱图。爱德文·哈勃自己尝试使用各种技术来估计这些星系的距离。1919年，爱德文·哈勃宣布，螺旋星系的距离与其退行速度之间存在线性关系。在1931年由爱德文·哈勃和Humason共同撰写的一篇论文中，他们给出了更多螺旋星系的数据，并估计线性关系中的常数为558。现在，要测量到遥远星系的距离，只需找到它的红移，并使用爱德文·哈勃定律来求出其距离。
亚瑟·爱丁顿很快指出了他认为爱德文·哈勃理论中的一个缺陷。我们现在知道了到星系的距离，可以测量它们的亮度，因此可以求出它们的大小。结果发现，整个宇宙中最大的两个星系似乎是银河系和仙女座星系。亚瑟·爱丁顿在1933年写道：
坦率地说，我不相信；这太巧合了。我认为……最终我们会发现，有许多星系的大小与我们的星系相当甚至超过它。
当然，人们也可以反过来玩这个游戏，问爱德文·哈勃的常数必须取什么值，才能使遥远星系的大小与银河系相当。答案在55到60之间，所以如果这个论证正确，那么爱德文·哈勃的测量给出的常数大了10倍。还有第二个问题。如果问过去发生了什么，那么在某个时候所有星系必定曾经非常靠近。这符合宇宙创生的大爆炸理论，但把爱德文·哈勃的常数取为558，得出的宇宙年龄却小于地球上最古老岩石的年龄。这怎么可能呢？
Walter Baade在1944年用100英寸望远镜进行了观测，导致发现了两种类型的恒星：星族I和星族II恒星。此外，还有两种不同类型的造父变星，每个星族各有一种。1948年，帕洛马山上的200英寸望远镜开始运行，可以获得更多数据。到1952年，Baade能够宣布距离尺度错了2倍，仙女座星系的距离是爱德文·哈勃估计的两倍，而爱德文·哈勃常数约为250。他已经相当准确地测量了到仙女座星系的距离，但他对爱德文·哈勃常数的值仍然无法回应亚瑟·爱丁顿的反对意见。
正是Allan Sandage，他在1952年刚完成博士学位，继续使用200英寸望远镜改进距离尺度。他在早期工作中发现了许多导致错误结果的错误。1956年，在与Humason和Nick Mayall共同撰写的一篇论文中，他给出了180作为他对爱德文·哈勃常数的估计。这意味着，根据Sandage的计算，宇宙比爱德文·哈勃所相信的要大3倍，即到遥远星系的距离是先前值的3倍。到20世纪60年代初，Sandage声称他对爱德文·哈勃常数的最佳估计是75。当时大多数人并不接受这个值，但20世纪90年代来自爱德文·哈勃空间望远镜的数据证实，爱德文·哈勃常数在65到77之间。距离几乎比爱德文·哈勃计算的大10倍。