数学史专题
那是1883年3月12日星期一晚上大约7点45分，我们正经过爱丁堡大学的数学教室。里面正在上课，我们从门缝里望进去，想看看为什么在这个不寻常的时间还有课。数学教授乔治·克里斯托正在对大约60名男子讲话。我们偶然撞上了新成立的⟦E1⟧爱丁堡数学学会的第一次例会。乔治·克里斯托四天前刚过完32岁生日，他是阿伯丁和剑桥的毕业生。在卡文迪什实验室担任詹姆斯·克拉克·麦克斯韦的助手之后，他于1877年至1879年任圣安德鲁斯大学钦定数学教授，随后任爱丁堡大学教授。
乔治·克里斯托正在对其讲话的人主要是来自爱丁堡各学校的数学教师。其中我们认出了Andrew Barclay和Alexander Fraser，两人都是爱丁堡乔治·沃森学院的数学教师，还有托马斯·穆尔，格拉斯哥高中的数学教师。我们还认出了几位大学人士：Robert Allardice，乔治·克里斯托的助手；彼得·格思里·泰特，爱丁堡大学自然哲学教授；以及Cargill Knott，彼得·格思里·泰特的助手，他正在仔细做笔记，显然就是秘书。
让我们听一会儿乔治·克里斯托在说什么：
在苏格兰创立一个数学学会，时机再好不过了。数学的潮流无疑正开始在英国涌动，这在很大程度上要归功于乔治·加布里埃尔·斯托克斯、阿瑟·凯莱、Sir William Thomson和Professor Tait等人的影响。目前在英国，大批有才能的人正投身于纯数学工作。你们一定也注意到，数学正在美国迅速崛起。那里新创办的伟大数学期刊极大地刺激了数学活动；而一所专门致力于最高深研究的新学院的创立，已经产生了显著的效果。
在苏格兰，我们无疑正处在中等教育体系变革的前夜。如果不是这样，我们也应当如此。与此同时，我关心的不是提高我们学校的平均水平。我更多考虑的是提高最高水平。至于最高标准的问题，毫无疑问它背负着一种责难——事实上，约翰逊博士就曾对它提出过这种责难，他说在苏格兰每个人都能得到一口学问，但没有人能得到一肚子学问。其原因不难寻找。它们主要源于缺乏那种对艺术和科学的巨大推动力——金钱。这场变革的结果必然是提高对训练有素的学校教师的需求。在我看来，这一点如此紧迫，以至于过去好几个冬天——尤其是这个冬天——我一直在考虑在爱丁堡尝试开办某种数学研讨班。但现在，我认为建立一个数学学会是实现我既定目标的更好手段。
当今数学科学的范围十分广泛，很难跟上该领域文献的进展。将工作细分并在会议上交流不同部门的最新观点，对成员们大有裨益。我现在想谈谈几何学的巨大发展，这要归功于加斯帕尔·蒙日，他是现代几何学中一切最优秀成果的真正开创者。
我们一直待到会议结束，听格拉斯哥安德森学院数学与自然哲学教授James Blyth提议向乔治·克里斯托致谢。Blyth谈到了该学会对校长们的益处。随后，格拉斯哥高中的数学教师托马斯·穆尔附议，并谈及学校中教授代数的困难。他说，迫切需要一本初等代数教科书，在处理方法上要彻底科学化。乔治·克里斯托或许会写出最好的此类教科书，并在三年后出版——Algebra: An Elementary Textbook for the Higher Classes of Secondary Schools and for Colleges于1886年出版。
会后我们与新学会的一些成员交谈。我们得知Cargill Knott、Andrew Barclay 和Alexander Fraser发出了一份通函，抬头为“to gentlemen in Edinburgh, in Cambridge and throughout Scotland generally whom deem likely to take an interest in such a Society'”。
提议成立一个学会，主要与大学相关联，以促进成员在纯数学与应用数学科学方面的相互提高。
在可能达到这一目标的方法中，可以提到：对英国和外国著作的评论、历史札记、对新问题或新解法的讨论，以及比较不同国家的各种教学体系，或任何其他有助于促进数学教育的手段。
建议该学会的初始成员由所有在1883年2月2日或之前报名，并且属于以下情况之一者组成：(1) 爱丁堡大学任一高等数学班的现任或前任学生，(2) 任何英国大学的荣誉毕业生，或 (3) 公认的数学教师；在上述日期之后，成员应按照通常方式提名并投票选举。
可以补充的是，彼得·格思里·泰特教授和乔治·克里斯托教授已表示高度支持该项目，认为它可能带来重要成果。
如果您的朋友中有谁可能对该学会感兴趣，请告知他们学会的宗旨，并邀请他们参加预备会议，会议将于1883年2月2日星期五晚上八点在此地的数学教室举行，届时敬请出席。
1883年2月2日星期五的会议非常成功。五十六名创始成员要么出席了会议，要么在那天申请加入新学会。其中约25人是数学教师，几位是校长，如多勒学院的George Thom，还有James Bolam，一位来自利斯政府航海学校的自学成才的数学家，以及本尼维斯山天文台的负责人Robert Omond，若干爱丁堡大学本科生，几位宗教牧师，以及几位大学教授数学和自然哲学的教师。
John Mackay已当选为主席，而Cargill Knott同意兼任秘书和司库。后来在1883年，托马斯·穆尔当选为第二任主席，并于1884年2月8日就The Promotion of Research with Special Reference to the Present State of the Scottish Universities and Secondary Schools发表了主席演讲。鉴于演讲的标题，得知托马斯·穆尔是格拉斯哥高中的数学与科学教师可能会让人有些意外。他担任这一职位已有十年，并且还将继续任职八年。他已经出版了Treatise on the theory of determinants（1880年），并正在撰写History of determinants（1900年）的第一卷（最终共出版了五卷）。我们稍后将聆听托马斯·穆尔的发言，但为了理解他所说的内容，我们需要了解当时的数学教育状况。
直到1860年，苏格兰大学（圣安德鲁斯大学（建于1411年）、格拉斯哥大学（1450年）、阿伯丁大学（1494年）和爱丁堡大学（1582年））的本科生攻读的是文学硕士学位，本质上是一套固定的课程，包括英语、拉丁语、希腊语、心理哲学、数学和自然哲学。1860年后，在固定的文学硕士课程之上引入了荣誉学位。整个大学的时间表可以写在一张纸上。
女性不被允许攻读文学硕士学位课程。数学由一位教授和一位助教讲授。自然哲学是数学系的一部分，情况类似。
1883年爱丁堡教职员
| 数学 教授 乔治·克里斯托 1879年任命 助理 Robert Allardice | 自然哲学 教授 彼得·格思里·泰特 1860年任命 助理 Cargill Knott |
让我们注意这一情况的若干后果：
让我们偷听一下托马斯·穆尔谈论苏格兰各大学的数学教育：
我们承认大学的两项职能——教学与研究；就数学而言，我们忽视了第三项同等重要的职能——研究中的教学。一个对数学有特殊兴趣、来到大学发展这种兴趣的苏格兰大学生，通常会有如下经历：在大学开设的两三个数学班中，他很可能会进入最高班。在那里，他获得综合与分析圆锥曲线、微分学初步的知识，或许还有积分学。他知道如果不取得文学硕士学位就没有希望，于是为此目的专注于古典学与心灵哲学，同时尽可能继续自学数学。
……
但接下来可能会问——这类人完成研究生课程后有哪些职业出路？他们是否拥有与剑桥数学荣誉学位考试优胜者相近的机会？对第一个问题的回答是，有本国和殖民地的教授职位，以及中学的教师职位。
那么学生们并没有为做研究做好充分准备。教授们的研究又如何呢：
首先，最为突出的是，为一个广阔的数学领域只设一个教授职位，这极不合时宜。只要稍加思考数学知识所取得的巨大增长，甚至就在本世纪内，谁不会看到这种安排的严重不足呢？……最优秀的教授们将会首先承认，六个人也无法充分代表它……难道还需要一再提醒人们注意，一所德国大学所能展示的该学科的教授人数，竟能抵得上苏格兰所有大学的总和吗？
……
除了这位苏格兰[原文如此]教授负担过重，将一门过于庞大的学科的全部重担压在他的肩上之外，还有另一种 aggravating 情况，那就是把他的精力浪费在教授这门学科最基础的部分上。与我们的大学有关的任何事情中，最令外国人感到震惊的莫过于这样的事实：每年有大量学生注册学习欧几里得的第一个命题，而在所有这些数学学生中，迄今为止绝大部分人的学习仅限于初等代数、几何和三角学。幸运的是，这种情况除了让外国人感到震惊之外，也开始让其他人感到震惊了。
托马斯·穆尔的论点的力量在于，研究可以在中学里进行：
现在让我们来看看中学，考察一下在中学里有哪些推进研究的可能性。在这些机构中，我们以较小的规模看到了与大学文学院完全相同的运作机制。……先生们，我们必须记住，有大量工作要做，而这些工作完全不需要巨人来做，而且没有什么工作比未来的巨人铺路更有用了。每个人都有施展才能的空间和需要，直至砍柴打水之人。我自信地断言——因为我相信那些比我更有经验的人会赞同我所说的——爱丁堡数学学会的每一位会员都能在数学研究的事业中做出有益的工作。
我们应当记载，托马斯·穆尔在格拉斯哥担任中学教师期间当选为皇家学会会士（1890年）。两年后，他前往南非开普敦，担任教育总监。他关于History of Determinants的五卷学术著作是一座信息宝库，至今仍值得翻阅。
学会的第四任主席是Robert McNair Ferguson，爱丁堡学院的校长。他在1885-86学年任职。1886年11月12日星期五，爱丁堡数学会开始了它的第五届会期。Ferguson博士发表了一篇演讲，他在演讲中祝贺学会的蓬勃发展并对其前景表示鼓舞。他表示希望增加校外和校内讲师的人数，以进一步改善大学。关于中学数学教师的地位，他认为应更经常地赋予他们最高权力。在就数学教学方法发表了几点意见之后，他指出，为了工程师和精算师等职业的利益，继续扩大学会的工作是可取的。
让我们看看这一时期学会的会议。从1883年到1886年，学会举行了31次有演讲的会议（第一次会议只涉及学会的成立）。在这31次会议中，27人（除2人外均为学会成员）宣读了83篇论文。
| 在这27人中，有： 12名学校教师 8名大学教职员 2名神职人员 1名精算师 1名邱园科学家 1名医生 2名不确定 | 这83篇论文的宣读者是： 44名学校教师 31名大学教职员 8名其他人员 |
| 提交论文最多的人是： 托马斯·穆尔 - 学校教师 - 12篇论文 詹姆斯·麦凯，克莱什芬男爵 - 学校教师 - 10篇论文 克里斯托 - 教授 - 8篇论文 Fraser - 学校教师 - 6篇论文 Allardice - 助理 - 6篇论文 |
我们已经谈到过托马斯·穆尔。现在让我们简要地看一下第二多产的成员，另一位学校教师John S Mackay。他在珀斯长大，就读于珀斯学院。他于1859年进入圣安德鲁斯大学，并于1863年完成课程，获得文学硕士学位。他修读了固定课程（入学时仅有的课程），但现在他想继续修读刚刚引入的新荣誉数学课程。他不知何故不符合规定，不得不在两年后获得他1863年应得的文学硕士学位。
Mackay于1863年被任命为珀斯学院的数学教师，在这个职位上工作了三年，同时他在神学院学习，打算进入联合长老会。然而，他决定以教学为职业，并于1866年被任命为爱丁堡学院的数学教师；他一直担任此职，直到1904年退休。圣安德鲁斯大学于1884年授予他荣誉法学博士学位。Mackay未婚，住在爱丁堡诺森伯兰街69号，在那里去世，享年70岁。一篇讣告中包含了关于Mackay研究生涯的以下令人悲伤的故事：
在所有伟大的亚历山大里亚几何学家中，只剩下一人的著作有待编辑，那就是帕普斯。十八世纪的牛津学者忽视了他，而现存的只有一部十六世纪的拉丁文译本，以及一位法国编辑对其文本一小部分的简单重印。多年来，Mackay将假期用于校勘手稿，将夜晚用于耐心解读这位古代数学家；最终他的工作完成了，整本书完整地躺在他的书桌里，以他优美的笔迹写成，配有大量插图。有一天，他走进弗雷德里克街的Williams and Norgate外文书店，当时由一位优秀学者Wheatley先生管理；Wheatley先生说：“Mackay先生，我今天有样东西会让您感兴趣，”他拿出了Hultsch版帕普斯的第一卷，这部著作至今仍占据该领域的主导地位，是其杰出作者的巨著。Mackay把书带回家。他发现Hultsch和他校勘了同样的手稿，得出了同样的解读，注意到了同样的困难，直到最小的细节——一个错误的字母，一个遗漏——这位德国人都注意到了。有些人处在Mackay的位置，会急忙将自己的书送去印刷，希望通过几乎同时出版来获得学者报酬的一部分。但Mackay有着更严格的职责和荣誉准则。工作已经完成，而且完成得很好；他的希腊数学同行们的需求已得到充分满足；而失去的东西只是他个人的事。几年后，以一种不那么直接和尖锐的方式，Mackay发现自己被Allman的《希腊几何学》的出版抢先了。这是一本Mackay本可以完美写出的书，也许学识甚至比这位爱尔兰学者所展现的更为渊博。
对学会的主要影响之一来自埃德蒙·泰勒·惠特克。1912年，在前一年11月乔治·克里斯托去世后，他被任命为爱丁堡大学数学教授。埃德蒙·泰勒·惠特克曾在剑桥学习（1892-95），在那里于1896年被选为三一学院会士，并继续担任讲师，基于他的著名著作A Course of Modern Analysis（1902）对剑桥课程进行了革命性改革。在担任爱尔兰皇家天文学家六年后（1906-12），他被任命为爱丁堡大学讲席。埃德蒙·泰勒·惠特克是一位视野广阔的数学家，一位熟悉最新研究进展的优秀分析学家，同时也对数学的物理应用深感兴趣。抵达爱丁堡后不久，埃德蒙·泰勒·惠特克建立了爱丁堡数学实验室，以实践他对方数值分析的兴趣。他对爱丁堡数学学会的影响迅速显现，因为1913年他们举办了英国首次数学讨论会。起初，埃德蒙·泰勒·惠特克能够使中学教师们理解最新的数学进展。Knott写道：
由爱丁堡数学学会今年首次组织的数学讨论会，昨天在爱丁堡大学数学系的房间开始举行会议。这一运动的成功显著地体现在成员人数达到76人，其中不少于20人是大学或大学学院的教授或讲师，近50人在英格兰和苏格兰各地的中学从事数学教学，其余的人则从事数学的实际应用，如在政府的人口普查、地形测量和气象部门。这一课程特别引人注目，因为它是英国首次举办此类课程，也因为这所大学新装备的数学实验室将由Professor Whittaker用于他对数学一些更重要应用的演示。
Knott解释了埃德蒙·泰勒·惠特克在讨论会中的角色：
举办这样一次讨论会的想法，是Professor Whittaker宣布他打算在爱丁堡大学的数学荣誉学位课程中组织一个数学实验室，用于对函数和计算方法进行系统数值讨论的结果。几位通信者曾表示希望建立这一方向的假期课程；于是决定进行首次实验。然而，决议不将讨论会局限于数学某一个分支的讨论，而是通过纳入另外两个数学思想领域来扩大其范围。课程的主要特点归功于Professor Whittaker；其多样性足以吸引各种类型的数学头脑。
安排了以下课程：
次年再次组织了学术讨论会。同样有大量希望了解数学前沿发展的中小学教师参加。安排了以下短期讲座课程：
成员名单显示，近一百人注册，比前一年增加了二十人。成员来自不列颠群岛各地，以及几个欧洲国家、美洲、南非和印度。三十多人是大学教授或讲师，但大多数是中学和学院的教师。天文学、工程学、精算和统计科学也有代表。
苏格兰的大学发生了变化，对该学会产生了重大影响。例如，从1892年起聘用了讲师，大学各系的规模大幅增加。其他变化是由于第一次世界大战——大量年轻人被杀，对教师职业产生了重大影响。大学在扩张，聘用那些有研究潜力的人，他们不再需要在中学找工作。从1919年起，苏格兰的大学开始为原创研究学位论文授予博士学位。
爱丁堡教职员 1928
| 数学 教授 Edmund Whittaker * 讲师 David Gibb * Edward Copson * 约翰·麦克纳滕·惠特克 * Harold Ruse * Ellice Horsburgh * 亚历山大·艾特肯 * A R Reid A T 尤菲米娅·海恩斯 | 自然哲学 教授 查尔斯·格洛弗·巴克拉 * 查尔斯·高尔顿·达尔文 * 讲师 George Carse * James Milne * Bernard Childs * James Paton * R J Clark M Ross Marion Gray * R V Cranfield | 应用数学 罗伯特·施拉普 * |
| * 表示 EMS 成员 |
随着埃德蒙·泰勒·惠特克继续推动学会走向研究——不是托马斯·穆尔所倡导的那种低层次研究，而是他希望学会在研究上处于世界领先地位——紧张关系开始凸显。中小学教师继续加入学会，甚至荣誉学位成绩不佳的毕业生也会在毕业后立即加入。然而，会议上数学演讲的水平达到了越来越少的中小学教师参加的程度。没有人尝试开设课程，使会员达到大多数演讲所代表的当前研究水平。曾经承担这一角色的讨论班因第一次世界大战而停止。由于Turnbull的热情，它们于1926年重新开始，并在圣安德鲁斯举行。
继续加入爱丁堡数学学会的中小学教师，在学会内部有一位有力的支持者。Thomas MacRobert与埃德蒙·泰勒·惠特克一样，在剑桥接受教育（1907—10年）。他的整个职业生涯都在格拉斯哥度过，1910年被任命为教授George Gibson的助手，此前未从事任何研究。六年后他的第一部出版物（重要著作Functions of a complex variable）才问世，而此时他已在格拉斯哥担任讲师三年。1927年Gibson退休时，他成为教授。
MacRobert和埃德蒙·泰勒·惠特克在许多方面截然相反。MacRobert是左翼工党支持者，虔诚的新教徒，虽然是一位杰出的数学家，但方法相当守旧。埃德蒙·泰勒·惠特克是右翼，圣公会教徒，1927年皈依罗马天主教，具有非凡的能力跟上最新数学发展，并对此做出了实质性贡献。MacRobert和埃德蒙·泰勒·惠特克大约同时加入学会（分别为1911年、1912年）。MacRobert坚信学会应继续为中小学教师提供继续其数学发展的途径。
事情在学会出版物问题上达到顶点。《Proceedings》从一开始就包含中小学教师的文章，有些质量很高，但符合托马斯·穆尔的研究精神。Mathematical Notes的增设是为了提供发表现有结果的新证明、简短研究笔记等的途径。1927年，MacRobert提议将其扩展为Journal of the Edinburgh Mathematical Society，发表有教学意义的文章、历史文章等。经过委员会四年的争论，MacRobert基本上获胜，但他一定清楚自己无法赢得期刊名称之争。厌倦了委员会中的紧张关系，他辞职了。
1931年3月6日，EMS委员会会议在格拉斯哥举行。会议首先决定了新期刊的名称——The Scottish Mathematical Journal ——然后记录了MacRobert的辞职。随后就学会的未来进行了长时间讨论。委员会会议记录如下：
埃德蒙·泰勒·惠特克教授表示，我们今后应成为一个研究学会，让格拉斯哥协会去满足中小学教师的需要[会议记录后来被修改，“中小学教师”被替换为“主要兴趣在于教学法的人”]。他说，这样一来，我们或许能从皇家学会的研究基金获得资助。经验表明，同一个学会不可能既服务于研究人员又服务于中小学教师[后来再次如上修改]。他特别提议，暂缓出版新的《苏格兰数学杂志》，同时与格拉斯哥协会接洽，看他们是否愿意负责该杂志。Professor Whittaker还建议学会应向该协会提供一些启动资金援助[补充：如果他们承担该杂志的出版工作]。
下一次EMS委员会会议于1931年5月1日在爱丁堡举行。会议首先记录了William Arthur的辞职[他是Mathematical Notes 的编辑，该刊将更名为《苏格兰数学杂志》以提高知名度。他是MacRobert在格拉斯哥的同事]。学会的未来再次被讨论：
Professor Whittaker重复了他在上次会议上所说的要点。他概述了学会的发展；并敦促说，需要两个学会的时候已经到了。他敦促我们学会的出版物应完全致力于研究，而第二个学会应负责出版具有教学法意义的论文以及从事[补充：主要]数学教学的人所感兴趣的那类研究。他认为这样的分工对两种工作都有财务上的好处。他坚持两个学会之间应保持最友好的关系，并且本学会应在其起步阶段帮助资助另一个学会。
MacRobert从1931年起直到1957年退休，阻止学会在格拉斯哥举行会议，这一事实表明了情绪的强烈程度。他退休后，格拉斯哥会议重新开始。
从1931年起，学会中中小学教师的人数逐渐减少，学会也朝着今天作为大学教职员的研究学会这一地位发展。然而，这一转变并非迅速发生。学会的直接反应并不是遵从埃德蒙·泰勒·惠特克的意愿，而是为中小学教师安排了一整套活动方案，其中大多涉及数学教育的演讲。然而，中小学教师并未大量回归会议，研究性演讲很快成为常态。
在1937-8年度第一次会议上，Alex Inglis（法夫郡库珀的贝尔巴克斯特学校）对当年度计划的活动方案表示反对，质问为何没有中小学教师感兴趣的内容。Inglis没有出席12月的会议，因此艾弗·马尔科姆·哈顿埃瑟林顿（学会秘书兼爱丁堡讲师）写信给他，告知他主席Mr Lawson已安排Dr Mackie（利思学院）在2月主持一场关于数学教学的讨论。艾弗·马尔科姆·哈顿埃瑟林顿还就数学讨论会中照顾中小学教师的可能性发表了意见——这是Inglis的另一项请求——并提到埃德蒙·泰勒·惠特克已与Inglis接触，解释了自己对此事的看法。艾弗·马尔科姆·哈顿埃瑟林顿解释说，他“非常同情”Inglis的观点，并认为“对教师利益的遗忘”的责任在于委员会中的教师，他们没有反对拟定的议程。
Inglis回信赞同计划中的教学讨论：
但恐怕问题就出在这里！毫无疑问，Prof. Whittaker向我指出学会会议上中小学教师出席者寥寥无几，这是正确的。至于这是因为所提供活动方案的类型，还是因为教师们的懒惰（或漠不关心），我无法断言。很可能是两者兼而有之。
关于讨论会，我想同样的情况也适用，但尽管如此，如果至少我已“播下种子”，将来或许有时能结出果实，那么也许我算是做了一些事情。正如你所说，讨论或许可以当场安排，可以说是这样。
概括地说，我个人的观点是，苏格兰早该有像英格兰数学协会这样的组织了。苏格兰的数学教师若想了解同行在自己专业领域取得的进展，完全没有任何渠道。对此，我首先归咎于教师自身，他们过于漠不关心，不愿组织这样的协会；其次我归咎于师范学院。后者似乎大部分教职员对现代学校中我们面临的教学问题没有第一手了解。泰勒先生去年一月提交的论文充分说明了这一点。
师范学院为幼儿学校和初级学校的教师提供暑期课程，开设农村园艺、乡村舞蹈以及——可能还有——演讲术等课程，但至于比如说如何向不懂代数的人教授对数的最佳方法，或如何向仅达到毕业证书水平的人教授级数收敛与发散的最佳方法，这些问题从未被尝试过；也许是因为师范学院中没有人有能力处理这些问题，也许是因为如果有人尝试处理，就不会有听众。通过教育学院的中央数学委员会，我已提出了这一观点，但我怀疑它是否会有什么结果。
就我目前所见，此类事务得到系统性处理的唯一希望在于EMS，因此我在11月5日会议上的发言。
我非常感谢你为此事费心，正如我试图解释的那样，这番操心可能徒劳无功，我很抱歉让你额外做了这些工作。不过，也许大约一百年后，艾弗·马尔科姆·哈顿埃瑟林顿的名字将被视为苏格兰数学协会奠基的主要推动者！
由J J O'Connor和E F Robertson撰写
最后更新于2008年8月