数学史专题
天文学和数学一直有着密切的关系：通常一个影响了另一个的发展。然而，有时数学结果与天文直觉之间的差异会引发争议。以下就是这样一个场合。
1930年，印度物理学学生苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡从印度马德拉斯的管区学院毕业后，获得了前往剑桥大学继续深造的奖学金。在乘船前往英格兰的漫长旅途中，他思考了一些关于白矮星的问题，并得出了一个重要结果。此前，苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡已将恩里科·费米-保罗·狄拉克统计应用于拉尔夫·福勒关于白矮星的工作，并得出了关于其密度的重要结果。他还表明，白矮星具有多方指数为3的恒星构型（polytrope是在自身引力下处于平衡的恒星物质，遵循形式为的状态方程，其中是polytropic index）。在船上，苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡将狭义相对论原理应用于他先前的工作，推断出该恒星构型实际上指数为3，并且进一步推断，当恒星的质量超过某一极限时，它不可能成为白矮星。他最初得出的这一极限结果为太阳质量的0.91倍。这是因为当时估计恒星物质的平均分子量为2.5。后来这一数值被修正为2.0，因此苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡将他的结果改为太阳质量的1.44倍。
他并不知道，利兹大学的Edmund Stoner与爱沙尼亚塔尔图大学的Wilhelm Anderson合作，已经得出了类似的结果。受到詹姆斯·琼斯关于恒星核心物质可能不遵循罗伯特·波义耳定律的启发，Stoner考察了恩里科·费米-保罗·狄拉克简并（电子在相空间中的拥塞）对恒星物质密度的影响，并推导出了一个极限质量值，“超过该值，所考虑的引力动平衡将不会出现”。他将结果（他估计的极限为太阳质量的1.7倍）发表在：The limiting density in white dwarf stars,（Philosophical Magazine 7 (1929), 63-70）；以及The equilibrium of dense stars，（Philosophical Magazine 9 (1930), 944-963）。然而，苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡的结果更强，因为他使用了更精细的恒星模型，不像Stoner和奥斯卡·安德尔森那样将恒星理想化为均匀密度的球体。当时，苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡不想推测超过该临界质量的恒星的命运。安德尔森在他1929年发表于Zeitschrift für Astrophysik 56 (1929), 851-856的论文Über die Grenzdichte der Materie und der Energie中也避免提及此事。
此处一段未译出，以下为英文原文苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡 arrived at Cambridge and presented his results to 拉尔夫·福勒, who sent his paper to 爱德华·亚瑟·米尔恩, to ask for his opinion. Both of them were sceptical, because the existence of the limit brought to the forefront a question to which they did not have an answer: what happened to a star whose mass was over the limit? Nevertheless, 爱德华·亚瑟·米尔恩 eventually got 苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡's paper The highly collapsed configurations of a stellar mass published in the March 1931 issue of the Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. A shorter version of the paper The maximum mass of ideal white dwarfs, which 苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡 had submitted in 1930, was published in volume 74 of the American Astrophysical Journal later in 1931. 苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡 did not abandon the problem, however, and, in 1932, while at the University of Copenhagen, he published a new article Some remarks on the state of matter in the interior of stars in volume 5 of the German Zeitschrift für Astrophysik.
苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡完成博士学位——其答辩由拉尔夫·福勒和亚瑟·爱丁顿主持，几乎像一场喜剧，两位考官大部分时间都在争论——并于1933年当选为三一学院研究员后，于1934年访问了俄罗斯，那里天文学家如维克托·阿姆巴楚米扬和列夫·朗道的热情说服他重新开始该课题的研究。尽管有记载称苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡被维克托·阿姆巴楚米扬激怒，但他仍然非常欣赏后者对天体物理学的卓越感觉。在剑桥的岁月里，苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡赢得了一些重要天文学家的友谊，如爱德华·亚瑟·米尔恩和亚瑟·爱丁顿。亚瑟·爱丁顿对苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡关于白矮星的工作特别感兴趣，因为他认为这有助于解决他与爱德华·亚瑟·米尔恩之间关于亚瑟·爱丁顿恒星模型的长期争论。
爱德华·亚瑟·米尔恩曾提出，每颗恒星都必须有一个由退化物质组成的核心，而亚瑟·爱丁顿的模型则认为整颗恒星的行为像理想气体。亚瑟·爱丁顿在1929年皇家天文学会的一次会议上驳斥了爱德华·亚瑟·米尔恩的修改：-
我没有读过爱德华·亚瑟·米尔恩教授的论文，但我几乎认为没有必要，因为如果我假装爱德华·亚瑟·米尔恩教授有丝毫正确的可能，那就太荒谬了。
亚瑟·爱丁顿在1929年的一篇论文中，以类似的方式评论了爱德华·亚瑟·米尔恩的论文：-
讨论这篇论文很困难。爱德华·亚瑟·米尔恩教授没有详细说明他为何得出与我如此大相径庭的结果；而我对论文其余部分的兴趣也减弱了，因为如果我假装认为他有丝毫正确的可能，那就太荒谬了。
对此，爱德华·亚瑟·米尔恩在The analysis of stellar structure（1930年）中回复道：-
亚瑟·爱丁顿先生在最未知的领域挖了一条极有价值的战壕。但他遇到了一个无法绕过的岩石障碍。如果他肯费点心力爬上战壕的两侧，他就会发现周围的地貌与他想象的完全不同，而那个障碍完全是一个地下障碍。
在接下来的几个月里，亚瑟·爱丁顿、爱德华·亚瑟·米尔恩和詹姆斯·琼斯继续在私下和皇家天文学会的会议上就这些问题进行激烈的争论。
苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡的研究暗示，超过临界质量的恒星会表现为理想气体，这使亚瑟·爱丁顿在与爱德华·亚瑟·米尔恩的争论中占了上风。然而，苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡关于并非所有恒星最终都会变成白矮星的结论，直接与亚瑟·爱丁顿的模型相悖。
1934年，他完成了两篇关于白矮星理论的论文，其中他通过大量数值分析得到了状态方程的精确解，从而改进了他1931年论文的结果，该解考虑了非均匀多方球。在论文中，他提到根据维克托·阿姆巴楚米扬的建议，他计算了控制由快电子和慢电子组成的气体球结构的精确方程。他说他所做的工作如此直接，以至于：-
……令人惊讶的是，以前竟然没有人把它分离出来。
他将论文提交给皇家天文学会，并受邀在1935年1月的一次会议上展示他的结果。苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡对在伦敦每月第二个星期五举行的这些会议并不陌生。拉尔夫·福勒在1930年将他引入该学会，他于1933年成为会士。在之前的会议上，他曾与其他科学家谈论过他的想法，但这次他带来了一个精确解。然而，亚瑟·爱丁顿安排他在苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡之后紧接着展示自己的论文。在那篇题为Relativistic Degeneracy的论文中，他直接攻击了苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡的论点，不是针对其数学正确性，而是针对其物理意义。他主张苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡的工作基于一个概念错误：-
该公式基于相对论力学和非相对论量子理论的结合，我不认为这种结合的产物是合法婚姻所生。
他还诉诸于关于宇宙应该如何的先入之见：-
我认为应该有一条自然定律来阻止恒星以这种荒谬的方式行事！
苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡后来表示，这一说法让他意识到：-
……尽管这个人有着令人难以置信的物理洞察力，但他一直带着先入为主的观念行事。
亚瑟·爱丁顿并未就此止步，并于当年7月中旬在巴黎的国际天文学联合会大会上重申了他的论点。这是一次大型会议，有来自33个国家的约300名天文学家参加。1977年接受采访时，苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡生动地回忆起他是如何被亚瑟·爱丁顿[30]取笑的：-
亚瑟·爱丁顿做了一个小时的报告，广泛批评了我的工作，并把它变成了一个笑话。我给Russell（Henry Norris Russell正在主持）递了一张纸条，告诉他我希望答复。Russell回了一张纸条说：“我希望你不要。”因此我甚至没有机会答复；只能接受观众同情的目光。
亚瑟·爱丁顿在向皇家天文学会做完报告后，又发表了一个稍作编辑的版本（On 'relativistic degeneracy'，1935），并在几年后发表了几篇新论文（The hydrogen content of white dwarf stars in relation to stellar evolution，1939，以及 The physics of white dwarf matter，1940）。
亚瑟·爱丁顿的论点在当时之所以成功，是因为除了亚瑟·爱丁顿的名望和魅力之外，他的结论对许多人来说在直觉上更令人满意，尽管他的理论论述难以理解，并且涉及相对论的讨论。他强化了关于恒星演化的简单模型的既定观念（在该模型中，它们最终都会变成白矮星）。当时也没有直接观测证明亚瑟·爱丁顿错了或证实苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡。出席会议的威廉·麦克雷后来（1979年）对K C Wali说，他懊悔当时没有反对亚瑟·爱丁顿的论点：-
……我的直觉似乎在告诉我亚瑟·爱丁顿可能是对的。……[他的论证]表面上令我满意，而且既然它们令亚瑟·爱丁顿满意，我承认我当时就满足于让它这样过去了。
由于在1935年亚瑟·爱丁顿攻击其工作的所有会议上，苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡都不被允许回应，他决定通过其他方式来为自己辩护。他意识到问题的核心在于一群天文学家对一个主要是物理问题的混淆。要解决这场争论，他需要该领域专家的帮助。在1月皇家天文学会会议后不久写给朋友Leon Rosenfeld的一封信中，他说：——
[这场争论]的结果是，将会有一段漫长的紧张和混乱时期，如果像尼尔斯·玻尔这样的人能够权威地就此事发表声明，那将对该学科的进一步进展具有最大价值。
Rosenfeld是一位比利时物理学家，当时在哥本哈根尼尔斯·玻尔手下工作。他把这件事提请尼尔斯·玻尔注意，并向苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡报告说，他们“完全无法看出亚瑟·爱丁顿的陈述有任何意义”，但这个问题似乎“相当简单”。为了让他们解决这场争论，苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡把亚瑟·爱丁顿的手稿寄给了Rosenfeld和尼尔斯·玻尔，后者又把它寄给了沃尔夫冈·泡利。然而，尽管他们同意苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡的论文，他们却不愿加入讨论，声称当时太忙。
苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡在1935年成功回应了亚瑟·爱丁顿的论证。在Relativistic Degeneracy中，一篇与丹麦物理学家Christian Møller合写的论文里，他批评亚瑟·爱丁顿的论文说：——
……我们[他和Møller]完全无法跟上[亚瑟·爱丁顿的]论证。
然后，他们着手反驳他后续论文中的论点，表明可以用亚瑟·爱丁顿自己的方法推导出他声称是误解产物的同一个方程。苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡向物理学家求助的呼吁在一年后结出果实，即鲁道夫·佩尔斯的Note on the derivation of the equation of state for a degenerate relativistic gas。在这里，佩尔斯证明了亚瑟·爱丁顿曾怀疑的一个物理事实，即封闭在一定体积内的简并相对论气体的压力-密度关系与体积的形状无关。佩尔斯在On Lorentz Invariance in the Quantum Theory（1942年出版，1941年提交）中再次处理了这个问题，与保罗·狄拉克和Maurice Pryce一起。该论文从理论物理的角度批评了亚瑟·爱丁顿对相对论使用的误解，以及因此他对苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡工作提出的反对意见。它开头写道：-
在最近的一篇论文中，亚瑟·爱丁顿对量子力学中惯常使用亨德里克·洛伦兹变换提出了反对意见，……当应用于……简并气体的行为时。在我们看来，这一反对意见主要基于一种误解，我们此处的目的是表明理论物理学家在这一点上的做法是完全一致的。
除了这些直接反驳之外，亚瑟·爱丁顿的反对意见在已发表的作品中没有引起太多关注，它们要么被省略，要么被降为脚注，例如在拉尔夫·福勒的 Statistical Mechanics（1936）或George Gamow的The Birth and Death of the Sun （1940）中。这一事件无疑是亚瑟·爱丁顿科学生涯的低谷之一，尝试理解他为何如此强烈地为自己的观点辩护是很有趣的。为了寻找这一错误背后的原因，Werner Israel假设这是由于亚瑟·爱丁顿在1923年的The Mathematical Theory of Relativity中提出的非正统的粒子定义。这会使他反对Stoner-安德尔森公式和苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡的极限，甚至在他考虑它们当时无法解释的后果之前。我们提供另一个强有力的可能性。
亚瑟·爱丁顿正在研究他所谓的“基本理论”，这是他试图统一广义相对论、狭义相对论和量子理论的尝试。他的想法涉及七个基本物理常数，亚瑟·爱丁顿试图以简单的数值方式将它们联系起来。尽管这些想法带有神秘色彩，他开始将这项工作视为他科学成就的顶峰。然而，如果他接受苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡的工作，他的“基本理论”就被摧毁了。这在1939年变得清晰，但首先让我们再举一个亚瑟·爱丁顿攻击苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡的例子。
亚瑟·爱丁顿在1936年受邀在庆祝哈佛大学三百周年的会议上演讲。他利用这个机会攻击苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡，他在演讲[14]中说：-
……把恒星放回了拉尔夫·福勒曾将它们解救出来的完全相同困境中。小恒星可以正常冷却下来，并以合理的方式作为暗星结束其生命。但在某个质量以上……恒星永远无法冷却下来，而必须继续辐射和收缩，直到天知道它会变成什么。那并没有让苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡担心；他似乎喜欢恒星以那种方式行为，并相信那才是真正发生的事情。但我对这类恒星滑稽行为感到与之前相同的反对；至少，所使用的物理公式一定有问题，这就足够了。
1937年，苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡在美国获得了一个职位。1939年7月，他在前往巴黎举行的国际天体物理学术讨论会的途中，在英国剑桥再次与亚瑟·爱丁顿相遇。在高桌晚餐时，苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡、亚瑟·爱丁顿、保罗·狄拉克和年轻物理学家Maurice Pryce（他最近娶了马克斯·玻恩的女儿）坐在一起。在[3]中记录了苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡对事件的描述：-
Pryce见到我时显得很惊讶，问我是否愿意在Hall之后与他们一起同亚瑟·爱丁顿讨论相对论性简并的问题。Hall之后，我们移步到Neville's Court的Pryce房间。讨论开始时，Pryce试图向亚瑟·爱丁顿讲述他对亚瑟·爱丁顿反对相对论性简并论点的理解，以便亚瑟·爱丁顿能确信他，Pryce，理解了亚瑟·爱丁顿的论点。Pryce讲完后，亚瑟·爱丁顿评论说Pryce的叙述完全公正准确，并问：“争论的是什么？”Pryce转向保罗·狄拉克，问他：“你同意我说的任何一点吗？”保罗·狄拉克说：“不。”Pryce补充道：“我也不。”亚瑟·爱丁顿变得非常生气——事实上，那是我唯一一次见到他真的发怒。他从椅子上站起来，来回走动，说：“这件事不是开玩笑的！”他继续挑剔Pryce的论点，尽管片刻之前他还同意它，接下来的大约一个小时，都是亚瑟·爱丁顿的独白。第二天，Hall之后，亚瑟·爱丁顿走到我面前，说他非常失望，保罗·狄拉克似乎不理解他自己电子相对论理论的含意。我没有对亚瑟·爱丁顿的话表示赞同或反对，而是问：“你的基础理论有多少依赖于你对相对论性简并的想法？”他回答说：“怎么，全部！”由于我没有对此作出反应，他问我为什么问这个问题。我的回答是：“我只是感到遗憾”——这不是一句礼貌的话，但那时我真的对亚瑟·爱丁顿对自己和自己想法的极度自信感到愤怒。
1939年，苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡在An Introduction to the Study of Stellar Structure上发表了他最终定型的白矮星理论。它受到了好评：例如Strömgren称它为[27]：-
……一本对天体物理学家非常有价值的手册。
Ledoux在[20]中说，它值得与亚瑟·爱丁顿、詹姆斯·琼斯和Rosseland的著作相提并论。之后，他决定转向其他研究领域。
在1935年的论文中，苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡提出，如果一颗恒星超过其临界质量，它将失去质量直到低于极限，因此每颗恒星最终都会变成白矮星：-
一种可能性是，在收缩过程的某个阶段……会开始发生大量物质喷发。这……将持续到恒星的质量变得足够小，使中心简并成为可能。……因此，无论恒星质量是大是小，其演化的最终阶段总是白矮星阶段。
这个想法纯粹是推测，但在接下来的二十年里扎下了根。例如Gamow和Schoenberg在Neutrino Theory of Star Collapse（1941）[16]中写道：-
另一方面，质量超过临界值的恒星将经历更为广泛的坍缩，……[驱离]越来越多的表面物质。这一过程可能不会停止，直到被抛出的物质使剩余恒星的质量降到临界值以下。
质量抛射的想法直到20世纪60年代才受到批判性挑战，当时对质量超过极限的恒星的研究导致了黑洞理论的发展。
关于这个主题的更多信息，请参阅我们在“黑洞”概念的发展上的关于黑洞的文章。
弗雷德·霍伊尔、W A Fowler、G R Burbridge和E M Burbridge在On relativistic astrophysics（1963）[17]中写道：-
传统观点认为，在所有[质量超过苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡极限的]情况下，都会发生质量抛射过程，从而方便地将最终质量降到我们提到的某个质量极限以下。我们要强调，这种观点不过是迷信。
让我们以[3]中的一段引文来结束本文：-
……尽管科学处理的是抽象概念和宏大的宇宙问题，这些问题令我们渺小的人类生命相形见绌，但那些从事科学研究、毕生沉浸于计算和理论的人也是人。他们可能被非理性的冲动所驱使，正如亚瑟·爱丁顿那样，当他拒绝相信一个与他对宇宙的看法不符的结果时；而且，在他们进行极度孤独的工作时，他们可能被激情、嫉妒、恐惧、野心和失望所困扰。苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡对个人平静的永恒追求永远无法实现。