数学史专题
数学和物理学中有一个共同主题，与将理论结构可视化有关。这里所说的“可视化”不一定指几何模型，尽管几何直觉常常会提供正确的模型。例如，我们通过描点来理解序列收敛的概念。我们尝试理解一个群，不是通过带有四条公理的基本定义，而是通过思考一个群作用于某个结构。当然，对一个人来说最好的模型可能与对另一个人来说最好的模型大不相同。此外，能够在不同情境中改变模型以获得最佳的直觉感受，往往也很有用。我们想在这里考察波动力学和量子力学为原子提供的不同模型。这两种理论是等价的，但它们为建立直觉提供了如此不同的模型，因此关于哪种模型提供了将原子可视化的最佳方式，出现一场相当激烈的争论也就不足为奇了。
尼尔斯·玻尔在1913年提供的模型具有很大的吸引力，就此而言，它至今仍然如此。也许这正是我们希望看到的模型，因为在某种意义上，它在宇宙中为极大和极小之间提供了一种令人愉悦的统一。一切都应该由原子组成，而原子本身是太阳系的微小模型，这正是我们可能觉得世界应该有的样子。极小的事物将如同极大的一样，因此世界将具有一种令人愉悦的简单性。马克斯·玻恩在1923年表达了这一观点：-
尼尔斯·玻尔的原子理论的一个引人注目且迷人的结果是证明了原子是一个小的行星系……宏观宇宙的规律在微小尺度上反映世俗世界的想法显然对人类心灵施加强大的魔力，其形式实际上植根于一种迷信（它与思想史一样古老），即可以从星辰中解读人的命运。占星术的神秘主义已从科学中消失，但留下的是对认识世界规律之统一性的努力。
这是一个模型，它把我们理解得很好的概念，如粒子绕中心天体运行的概念，转移到原子上，从而使我们能够“理解”原子的样子。困难在于，尽管这个模型可能令人满意，但它有一个问题：我们把理解得很好的概念转移到了一个情境中，这些概念在该情境中捕捉到了某些方面，但在其他方面却导致了错误的结论。
让我们暂时思考一下光。它是波，还是由微小的微粒组成？波和微粒都是我们理解得很好的概念，但尽管这两种模型都捕捉到了光的本性的某些方面，却似乎都不正确。例如，1850年莱昂·傅科表明光在水中比在空气中传播得慢。这与光的波动理论所预言的一致，却与微粒理论所预言的相矛盾。因此显而易见的推论是，光必定是一种波。然而这一推论假定这两种模型中的某一种是正确的。莱昂·傅科所表明的只是，简单的微粒模型并不是一个能预测光的所有属性的准确模型。在1923年撰写的学位论文中，路易·德布罗意提出了他的波粒二象性理论，其中粒子，甚至电子，也可以像波一样行为。路易·德布罗意的学位论文导师Paul Langevin无法断定这是天才之举还是一个完全疯狂的想法。他把论文寄给了阿尔伯特·爱因斯坦，后者写道：
我相信这涉及的不仅仅是一种类比。
在阿尔伯特·爱因斯坦的支持下，路易·德布罗意的模型很快被接受了。这个光的模型为埃尔温·薛定谔提供了直觉，以设计出原子的波动力学模型。埃尔温·薛定谔在1926年写道：
我的理论受到路易·德布罗意……以及阿尔伯特·爱因斯坦简短但不完整论述的启发。……据我所知，与维尔纳·海森堡没有任何发生学上的关系。我当然知道他的理论，但超验代数的方法让我感到气馁，甚至可以说反感，它在我看来非常困难，而且缺乏可视性。
埃尔温·薛定谔所提到的由维尔纳·海森堡提出的理论是量子力学，他于1925年提出该理论。维尔纳·海森堡通过将注意力集中在一组量子化概率幅上而发明了这些概念。这些概率幅构成了一个非交换代数，直到后来马克斯·玻恩和帕斯库尔·约尔丹才认识到这个非交换代数是一个矩阵代数。然而，即使在他发表自己的工作时，维尔纳·海森堡也曾担心它缺乏一个直观模型。他写道，他的理论苦于：-
……处于这样的劣势：不可能有直接直观的几何解释，因为电子的运动无法用熟悉的空间和时间概念来描述。
问题的核心就在这里——电子的行为方式与我们的时空直觉不符。然而，这并不意味着某些模型不会比其他模型更直观。如果埃尔温·薛定谔觉得自己的理论比维尔纳·海森堡的理论更直观，那么对维尔纳·海森堡来说情况正好相反，他于1926年6月6日写信给沃尔夫冈·泡利说：-
我越是思考埃尔温·薛定谔理论的物理部分，就越觉得它令人厌恶。埃尔温·薛定谔关于其理论可直观化所写的内容，我认为是垃圾。他的理论最大的成果是矩阵元的计算。
沃尔夫冈·泡利倾向于同意维尔纳·海森堡，并将埃尔温·薛定谔的理论称为“苏黎世地方迷信”。在给埃尔温·薛定谔的回复中，沃尔夫冈·泡利写道：-
不要把它当作对你的不友好，而要把这个说法看作我的客观信念：量子现象自然展现出无法用连续统物理学的概念来表达的方面。但不要以为这个信念让我的生活变得轻松。我已经因为它折磨自己，而且还将不得不更加如此。
埃尔温·薛定谔不希望科学争论变成人身攻击，因此他回复沃尔夫冈·泡利说：-
……我们都是好人，只关心事实，而不关心最终结果是否符合自己或对方的设想。如果外人仍然觉得我们反复无常，我们知道这种反复无常对科学比千篇一律更有益。
我相信马克斯·玻恩忽略了……他现在想把粒子还是导引场视为实在，这取决于观察者的品味。如果一个人不想说：实在只是感觉印象的复合体，其余一切都只是图像，那么肯定没有实在的标准。
在1926年9月发表的一篇论文中，维尔纳·海森堡再次重复了他的主张，即人们不能转移物理直觉，因为：-
……电子和原子作为日常经验的对象，不具有任何程度的物理实在性。……研究电子和原子所固有的那种物理实在性，正是原子物理学的主题，因而也是量子力学的主题。
维尔纳·海森堡在Der Teil und das GanzeⓉ（《部分与整体》）（慕尼黑，1969年）中写到埃尔温·薛定谔于1926年10月4日访问哥本哈根，并在这本书中详细报告了尼尔斯·玻尔与埃尔温·薛定谔之间的一次讨论。维尔纳·海森堡写道：
几乎不可能再现双方进行这场讨论时是何等激烈。
你一定得明白，尼尔斯·玻尔，量子跃迁的整个想法必然导致荒谬。……电子从这个轨道跳到另一个轨道，并由此发出辐射。这种跃迁是逐渐发生的还是突然发生的？如果它是逐渐发生的，那么电子必定逐渐改变其转动频率和能量。无法理解这如何能给出谱线的锐利频率。如果跃迁是突然发生的，可以说是在一个跳跃中发生的，……人们就必须问，电子在跳跃中如何运动。为什么它不发出连续谱？又是什么定律决定它在这个跳跃中的运动？
尼尔斯·玻尔的回答很有意思。他指出，正是把那些指涉日常经验中已被充分理解的概念的词拿来用于原子，而原子处于我们的日常经验之外，才造成了这些问题：
是的，你所说的完全正确。但这并不证明不存在量子跃迁。它只证明我们无法把它们形象化，也就是说，我们用来描述日常生活事件和旧物理学实验的那些图像式概念，不足以表示量子跃迁的过程。考虑到我们这里所涉及的过程不可能成为直接经验的对象……而我们的概念并不适用于它们，这就不足为奇了。
尼尔斯·玻尔于1927年再次在出版物中重复了这些论证：-
我们确实发现自己正走在阿尔伯特·爱因斯坦所走的道路上，即把我们借自感官的感知方式，调整为对自然规律逐渐深入的认识。在这条道路上遇到的困难，首先在于语言中的每一个词可以说都指向日常感知。
尼尔斯·玻尔通过展示不确定性原理本身如何与波粒二象性相关联，得以在我们想象原子的方式上提供了一些改进。
作者：J J O'Connor 和 E F Robertson
最后更新：2006年3月