数学史专题
如果我们有两个候选人和，并且要通过投票选出其中一人，那么有一个相当明显的制度。选民要么投票给候选人，要么投票给候选人。然而，如果要对更多的候选人进行投票，那么就存在如何操作的问题。
例如，希腊最早的民主形式之一是由Cleisthenes在公元前508年引入的。这是一种相当消极的选举形式，因为每年选民都被要求投票给他们最希望流放十年的政治家。选票写在ostraka上，那是破碎的陶罐，我们现在的“ostracise”一词就来源于此。如果没有政治家获得超过6000票，那么所有人都留任，但如果有人获得超过6000票，那么得票最多的人被流放。要求某人在被流放前必须获得超过6000票是一个附加特征，试图确保只有当一个人不受大量选民欢迎时，流放才会成为结果。如果选票分布相当均匀，没有人会得到超过6000票，尽管有人会得到最多票，但在这种情况下这无关紧要。
威尼斯国家在13世纪建立起来，他们选举了一个由40名成员组成的大议会，到本世纪中叶增加到60名。使用了各种选举制度，特别是威尼斯人在这段时间引入了赞成投票。在这个制度中，如果有名候选人，那么选举人为每一位他们认为可接受的候选人投一票，对他们认为不可接受的候选人不投票。作为一种制度，这有许多吸引力，当然获胜者是对最多选民来说可接受的人。
克利斯提尼引入的投票制度公平吗？威尼斯的赞成投票制公平吗？当然，要回答任何选举制度是否公平的问题，必须定义这意味着什么。在有两个候选人的情况下，有一个数学论证表明，只有一个制度满足‘显然的’三条公平标准：
所有选民平等；
两位候选人受到同等对待；
如果获胜候选人获得更多选票，他们仍将获胜。
这种投票制度是每位选民为他们希望选出的候选人投一票，这由肯尼思·梅在1952年证明。
当候选人超过两名时，情况非常复杂，已经给出了几种不同的“公平”定义，以及许多不同的选举制度被提出。例如，一个建议是，如果要从人中选出一人，那么如果当选者在与所有其他名候选人的一对一竞争中都会获胜，那么选举就是公平的。尽管这确实看起来“公平”，但存在一个问题：在许多情况下，不会有人在一对一竞争中击败所有其他候选人。
拉蒙在13世纪提出了一种投票制度，正是基于我们上面描述的“公平”原则，当时有人就如何选举修道院院长向他征求意见。他的建议写在一份手稿中，这份手稿在15世纪为尼古拉所用，但拉蒙关于投票制度的提议的更完整描述是在他的另一份手稿中做出的，这份手稿直到2001年才被发现并出版。尽管拉蒙的制度确实满足每个人都会同意当选者是公平当选的这一性质，但存在一个问题：基于这些原则的选举可能根本不会产生获胜者。
在1433年，尼古拉研究了拉蒙的想法并意识到它有缺陷后，提出了一种不同的制度，这种制度总会产生获胜者。尼古拉制作了一份关于如何选举德国国王的文件，其中他提出了以下制度。如果有名国王候选人，那么选民应该给他们最不喜欢的候选人一分，下一个候选人两分，依此类推，直到他们最喜欢的国王候选人，他们会给票。这个制度今天用于某些选举，但它确实有一个缺陷：当选的候选人可能不是任何人的第一选择。
拉蒙关于公平选举的想法在500年后由尼古拉·德·孔多塞在其1785年出版的Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voixⓉ（《论分析应用于多数决策概率》）中再次提出。这是一部非凡的著作，使尼古拉·德·孔多塞在概率论史上占据了重要地位。该著作包含Condorcet Paradox，指出可能出现多数选民偏好候选人胜过候选人，多数可能偏好候选人胜过候选人，然而多数可能偏好候选人胜过候选人。因此，“多数偏好”不具有传递性，所以基于拉蒙对“公平”定义的选举可能无法产生获胜者。尼古拉·德·孔多塞著作的第二版，包含大量新材料，于1805年以不同的标题出版，即Eléments du calcul des probabilités et son application aux jeux de hasard, à la loterie et aux jugements des hommesⓉ（《概率计算要素及其在赌博、彩票和人类判断中的应用》）。
让-夏尔·德博尔达是尼古拉·德·孔多塞的同时代人，他认为尽管拉蒙所描述、以及很久以后由尼古拉·德·孔多塞提出的制度是公平的，但并不可行。让-夏尔·德博尔达提出了按候选人排名给予相应分数的制度，正如尼古拉在15世纪所做的那样。两位数学家之间就这两种投票制度哪种最好展开了激烈争论，但当然，由于两种制度各有优缺点，这样的争论注定没有定论。
我们已经指出让-夏尔·德博尔达和尼古拉·德·孔多塞原则在中世纪是如何被提出的。这类更早的提议在[6]中讨论：-
我们报告三部中世纪著作，此前社会选择领域未知，它们讨论了当候选人超过两名时的选举程序。三部中有两部提出了让-夏尔·德博尔达方法，第三部提出了逐对比较的尼古拉·德·孔多塞方法。三部都讨论了操纵问题。其中一部展示了用于逐对比较的矩阵；这是一部写于1299年的著作，比人们认为矩阵符号由C L Dodgson发明早了近600年。
事实上，Kenneth Arrow在1951年证明，没有任何投票制度能够做到公平，即产生一个比其他所有候选人都更受偏好的获胜者，同时仍保证选举会产生决定性结果。如果这让人相信让-夏尔·德博尔达的排序制度必定优于尼古拉·德·孔多塞的制度，那么必须认识到这一制度的一个主要缺陷是，选民可以策略性地投票，而不是表达他们的真实意见。一个选民可能将候选人列为首选，将候选人列为第二选择。然而，将列为首选并给予票，将列为最后并给予1票，会增加获胜的机会。这种策略性投票可能导致无人偏好的候选人当选。
每个选民只给自己最喜欢的候选人投一票的简单制度也可能导致策略性投票。如果选民希望看到候选人当选，但觉得是唯一有机会阻止当选的候选人，那么该选民可能投票给而不是其首选。这种策略性投票在1990年代苏格兰的一次选举中很明显。在那次选举中有四个“主要”政党（因此在大多数地区有4名主要候选人），选民只有一票。尽管保守党获得了合理比例的选票，却没有一名保守党候选人当选，因为在保守党被认为可能获胜的地区，其他三个政党的许多支持者投票给他们认为最有可能击败保守党的候选人。
策略性投票使人想到用博弈论对此类问题进行严格表述。1944年冯·诺伊曼和Morgenstern出版了Theory of Games and Economic Behaviour，使策略性投票等概念能够以精确的数学形式表述。然而，这样的表述导致了诸如囚徒困境之类的问题，说明个人的最优策略与群体中个人的最优策略难以调和。这对选举有影响吗？
早在博弈论发明之前，人们就提出了克服投票制度缺陷的尝试。19世纪中叶Thomas Hare、弗瑞兹·约翰 Stuart Mill和C C G Andrae提出的一项此类建议是主要用于选举多名候选人的单记可让渡投票制。在该制度中，假设有名候选人，其中m名将当选，并假设有人投票。计算配额。每位选民按偏好顺序对名候选人排名。首先计算第一偏好票，任何获得超过张第一偏好票的候选人当选。对于每位获得超过配额票数的候选人，计算超出配额的票数，并将其第二偏好票分配给剩余候选人。该过程继续进行，但可能不会使名候选人达到配额。在这种情况下，淘汰得票最少的候选人，并重新分配该候选人支持者的第二偏好票。该过程持续进行，直到得出结果。如果，即只选举一人，该制度仍可使用。
当选举的对象是政党而非个人时，有时会采用该制度的变体。在名单制中，选民投票给政党，候选人则从各政党提出的名单中选出。每个政党当选的人数大致与所获选票数成比例。人们提出了不同的规则来计算各名单应选出的名额。最高平均数规则由维克托·东特设计。根据该规则，得票最多的政党让其首位候选人当选，然后该党所获选票数除以其已当选的候选人数加一。此过程持续进行，直至选出所需数量的候选人。这类采用各种近似比例方法的名单制，在整个20世纪一直被使用。在这种比例代表制下，一个政党获得总体多数是罕见的。这在一些人看来是该制度的缺点，在另一些人看来则是优点。
事实上，我们应当提到刘易斯·卡罗尔在19世纪80年代关于比例代表制的工作，当时他考虑了向各地区分配代表的问题。[4]的作者认为：-
刘易斯·卡罗尔的工作对当时正在讨论的选举改革问题提出了完整而统一的方法，但在此过程中，他对博弈论和分配问题提出并贡献了远超19世纪80年代的思想。
所有投票制度的困难在于，人们可以用数学证明不存在令人满意的制度。这由Kenneth Arrow证明，他证明了所谓的Arrow悖论。Arrow证明的这一悖论反直觉，因为人们觉得必定存在一种令人满意的方式，将个人的意愿聚合为整个社会的政策。毕竟，这正是我们整个民主理念的基础。然而Arrow表明，在四条看似显然“明显”的假设下，个人的选择无法被聚合以产生他们的集体选择。这些公理是：
1. 个体的每一种可能选择都必须导致一个总体选择；
2. 如果所有个体都做出相同的排序，那么这也必定是总体排序；
3. 总体排序不能仅取决于单个个体的选择；
4. 总体排序对个体的依赖只能在于他们的排序，而不能以任何其他方式依赖个体。
根据这四条公理，⟦N1⟧证明了无法将个体的选择聚合为社会的总体选择。然而，尽管有这一结果，民主国家仍将继续举行选举，并要求个人投票以决定对所有人适用的政策。