数学史专题
1. 引言
2006年3月22日，我[EFR]在物理学会就彼得·格思里·泰特作了演讲。我在爱丁堡印度街14号作了这场演讲，这里是詹姆斯·克拉克·麦克斯韦于1831年的出生地，现在归麦克斯韦基金会所有。弗瑞兹·约翰 O'Connor和我一起去了，因为我们知道演讲结束后将展出P G Tait的剪贴簿。
2. 爱丁堡印度街14号
麦克斯韦出生的房子位于爱丁堡印度街14号，距离爱丁堡市中心的火车站大约十五分钟步行路程。房子的门厅很气派，两根大理石柱子立刻给人一种宏伟的印象。从右边的一扇门进入的房间是原来的餐厅。进门后正对墙上有两幅大肖像，最右边的一幅是麦克斯韦，最左边的一幅是他的校友P G Tait的肖像。墙上挂着麦克斯韦家人的肖像，窗户附近的一个展示柜里陈列着一批与Maxwell有关的精美藏品。与这栋建于1820年的房子购买相关的文件在展示柜中，特别是为了这次活动，Tait的学校奖章也在展出。麦克斯韦出生在俯瞰马厩的二楼房间。一个惊人的巧合是，现在住在原马厩上方房子里的家庭是Maxwell的朋友P G Tait的后裔。James出生后不久，全家搬到了他们在Glenlair的房子。
3. P G Tait的剪贴簿
Tait的剪贴簿曾被放在上述原餐厅的桌子上。P G Tait的曾孙詹姆斯·D·默里 Tait先生于2003年将其赠予麦克斯韦基金会。它一定是在他去世后由他的家人利用Tait保存的文件和报纸剪报制作的。
剪贴簿中包含Tait的讣告（这些是最前面的条目）、包含任何关于他的内容的报纸剪报、他寄给报纸的信件、他设置的考试副本、他讲授课程的课程大纲、Maxwell、Thomson及许多其他人寄给他的信件、提到他在该领域工作的高尔夫文章、Tait、Maxwell等人的诗歌等。
有一份警方传票，要求他的儿子Alexander Tait出庭。日期是1862年，当时Alexander六岁！还有一封Tait的信，他对这份传票非常不安，传票与他孩子在圣安德鲁斯Abbotsford Crescent扔石头有关。
许多页面与P G Tait和Balfour Stewart的The Unseen Universe: or Physical Speculations on a Future State有关，该书最初是匿名撰写的，于1875年首次出版。有大量剪报是书评、关于作者是谁的猜测等。类似的剪报涉及后来的版本，当时作者放弃了匿名。
4. 从达尔基斯到爱丁堡教授
P G Tait于1831年4月28日出生在达尔基斯，是约翰 Tait（沃尔特·弗朗西斯·斯科特，第五代巴克卢公爵的秘书）和他的妻子玛丽·罗纳森的儿子。家中有三个孩子，彼得有两个姐妹。彼得在达尔基斯文法学校开始学习。1840年，他的父亲去世，家庭遭遇了悲剧。此后，他的母亲从达尔基斯搬到爱丁堡，彼得在1841年进入爱丁堡学院之前，先在赛克斯广场学校学习了一年。搬到爱丁堡有两个重要方面。一是全家搬到了萨默塞特小屋，这是玛丽的兄弟约翰 Ronaldson的家。他是一位银行家，对科学有浓厚的兴趣，并培养了彼得在天文学、地质学和摄影方面的科学兴趣。另一个方面是，他在学院学习的中期与麦克斯韦成为了朋友。麦克斯韦虽然与泰特同龄，但比他高一年级。他注册学院较晚，泰特所在的班级已经没有名额了。很久以后，泰特写道：-
从这时起，我与他变得非常亲密，我们怀着学童的热情一起讨论了许多学童问题，其中我特别记得环面或环的各种平面截面，以及能使一个人看到自己未被扭曲的图像的柱面镜形状。
有一本笔记本，泰特和麦克斯韦在其中记录了他在上述引文中提到的“学童问题”。手稿的大部分以优美的书法写成。这些部分经过了极大的精心处理，用铅笔画出线条后再擦除，以确保所有线条笔直且完全左对齐。大部分手稿出自泰特之手，并签有“fecit P G Tait”和日期。在争夺学校奖项时，这对朋友变得竞争激烈。泰特在爱丁堡学院的六年中每年都是班级第一名，但当然，麦克斯韦不在同一个班级。学校设有面向所有学生的奖项，1846年泰特总排名第三，但数学第一，而次年麦克斯韦数学第一，泰特第二。以下是1846年奖项公告的摘录（取自剪贴簿）：——
今年的Academical Club Prize授予了在学院所设所有学习科目中表现优异的参赛者。该竞赛面向所有校长班的学生开放，按以下方式进行。学习科目分为五个部门，即希腊语——拉丁语——数学——英语和法语——地理、历史和圣经；包含这些科目问题和练习的印刷试卷依次交到参赛者手中，参赛者在不离开教室、没有任何形式帮助的情况下交回书面答案。共有三十七名参赛者，考试持续了三天。
刘易斯·坎贝尔（六年级）名列第一，泰特（五年级）第三，麦克斯韦（六年级）并列第六。在数学方面，泰特（五年级）第一，刘易斯·坎贝尔（六年级）第二，麦克斯韦（六年级）第三。这表明这三人明显优于另外六位同样在数学上获得优异成绩的学生。泰特还在拉丁语上获得优异成绩（麦克斯韦没有），刘易斯·坎贝尔在希腊语上名列第二，尽管他后来作为希腊语教授成就卓著，泰特和麦克斯韦都在英语和法语以及地理、历史和圣经方面取得了优异成绩。
1847年11月，Tait进入爱丁堡大学。Maxwell与Tait同时进入爱丁堡大学，他们一起参加了由菲利普·凯兰教授的第二数学班和由James David Forbes教授的自然哲学（物理）班。Tait在爱丁堡大学只呆了一年，然后于1848年进入剑桥的Peterhouse。在非凡的本科生涯中，他的导师是威廉·霍普金斯。1852年1月，二十岁的他以数学荣誉学位考试高级牧马人的身份毕业。这意味着他在当年剑桥大学授予的数学一等学位中排名第一。当年数学荣誉学位考试结果的完整列表在剪贴簿中：
List of Honors
at the
Bachelor of Arts' Commencement
January 31, 1852
考官：阿瑟·凯莱，M.A. 三一学院
数学荣誉学位考试一等及格者
TAIT 彼得豪斯学院 凯瑟琳·斯蒂尔 彼得豪斯学院
...
他也是第一位Smith奖得主。他又在剑桥待了两年，并试图挑战霍普金斯作为数学荣誉学位考试辅导教师的地位。在这方面他取得的成功有限：只有一名学生聘请他做辅导教师，但那名学生比霍普金斯的任何学生都更成功。Tait评论道：-
哦，那没什么——我可以辅导一个煤桶成为优等生第一名。
关于数学荣誉学位考试，他还评论道：-
……辅导教师一生都在发现一个人应该读教科书的哪些页面。
同样在这些年里，他与William John Steele 合作撰写了A Treatise on Dynamics of a Particle，打算作为剑桥学生的教材。斯蒂尔 是一位朋友，他曾在格拉斯哥大学师从William Thomson 教授，后来进入彼得豪斯学院，在荣誉学位考试中仅次于Tait获得第二名。他在该书完成前去世。
1854年9月，Tait就任贝尔法斯特女王学院的数学教授。毫无疑问，在此之前Tait一直是一位数学家，但他开始对与女王学院的化学家Thomas Andrews一起进行实验产生了兴趣。他后来这样谈到Andrews：-
我一直认为，我二十三岁时被任命到女王学院，使我在六年里几乎每天都与这样一位朋友交往，这是我一生中（无论是私人生活还是科学生涯）最重要的决定性因素之一，对此我感激不尽。
从这一时期发展出的另一段重要友谊，是与他的工程学同事詹姆斯·汤姆森（William的兄弟，即后来的开尔文 勋爵）。Tait于1858年8月开始就四元数与威廉·哈密顿 通信，在回复Hamilton关于他如何开始研究四元数的问题时，Tait于1858年12月7日写道：-
……直到去年八月，我才突然想起多年前在您⟦L1⟧第610页上欣赏过的某些公式——我认为（现在仍然认为）它们很可能恰好符合我的目的。（更直接让我想到这一点的是赫尔曼·冯·亥姆霍兹 发表在奥古斯都·利奥波德·克雷勒 的⟦L2⟧（第LX卷）上的一篇论文，去年七月我们一收到它我就在读……标题（德文）我忘了——但我现在手边有一份我自己的手稿译文，标题是“涡旋运动”……）。
如果说Tait与Hamilton的友谊对他未来的研究很重要，那么Tait建立的其他友谊在他的家庭生活中也很重要。他在彼得豪斯学院的两位朋友是James Porter牧师的儿子，通过他们，Tait结识了他们的妹妹Margaret Archer Porter，他于1857年10月13日在贝尔法斯特与她结婚。
1859年，爱丁堡大学的自然哲学讲席出现空缺，因为J D Forbes已转任圣安德鲁斯大学校长。Tait是该讲席的候选人，但Maxwell也是，后者因阿伯丁的Marischal学院与King's学院合并而被迫另寻职位。爱德华·约翰·劳思，他在剑桥与Maxwell同年获得First Wrangler，也是候选人，但真正的竞争始终在Tait与Maxwell之间。尽管Maxwell有杰出的科学成就，Tait还是胜出。当爱丁堡报纸Courant报道结果时，它指出Tait之所以优先于Maxwell被选中，是因为：-
……在我们这样的大学里，教授还应具备另一种品质，那就是在假定学生知识不完善甚至完全无知的前提下进行口头讲解的能力。
5. 爱丁堡教授
选择Tait是因为他的讲课技巧，委员会绝对正确。他是一位杰出的讲师，以下摘自⟦L1⟧的两段文字说明了这一点。第一段摘自爱丁堡大学学生报纸上关于Tait的一篇文章：-
The Student
1888年3月20日 两便士
Professor Tait
若有人想给陌生人留下爱丁堡学生所听讲座的风格与质量的良好印象，无疑他会带他某个上午去听Tait教授的课。
几天前，我们两人重访自然哲学教室，唤起了旧日回忆。……我们坐下不久，通往物理实验室的门开了，教授高大的身影绕过门来。比以往更明显的嘈杂声，在他那独特而记忆犹新的鞠躬之后随之而来的坚定目光下很快平息。这鞠躬似乎是在向听众移动的同时结合了与之平行的方向；但将其完全分解为分量，仍留给某位聪明的年轻学生。
旧长袍依然存在，深色夹克在颈部仅由一颗纽扣扣住，似乎离成年托加袍还远得很。
讲演者丝毫未失其生动图解和迷人风格的旧日功力。结论从各种推理链条中得出，对日常俗事的恰当引用使论证更加确凿，而此人微妙的幽默不时显露，使听众保持良好状态。细节被巧妙地置于次要地位，原则则突出显现。精彩的实验都是必要的，没有一个是仅为效果而展示。在恰当的时刻进行，它们从不失败，使一切如正午般清晰。
第二段摘录出自一篇关于Tait的文章，该文在他1901年去世后发表于The Evening Dispatch：-
Professor Tait and his class
⟦N1⟧教授是爱丁堡教授群体中旧学派的最后一位，他总是坚持维持其传统的风尚，无论这些风尚如今可能多么古怪。因此，他习惯于将每日进入讲堂的过程变成一种颇具仪式的程序。门会由引教授入场的助手猛地打开。教授本人则总是身着学术长袍出现；首先，背景中可见一个挺拔威严的身影，接着是跨过门槛的一绊，他走进教室，向全班行一个华丽而优雅的鞠躬。这自然总是赢得全班热烈的掌声，也必然使这位老人在大步走向讲台时脸上露出微笑，随即开始讲课。
当泰特开始讲课时，课堂上所有的喧闹和干扰都停止了。这不是纪律的力量，因为泰特似乎并不在意纪律，而是教授在解释他所热爱的物理力时，迫使听众产生的纯粹兴趣的力量。作为讲师，他的声誉如此之大，以至于吸引了来自文明世界各地的学生只学习他这一门学科。
泰特为爱丁堡大学感到自豪，这一点在他1888年对毕业生的演讲中显而易见（摘自剪贴簿）：-
爱丁堡大学从未像短短四年前其三百年校庆时那样，至少在那些判断力尚有价值的人的评价中，享有如此崇高的地位。仅就我自己的系而言：——无论国内还是国外，有哪所大学曾有幸在其庆典上看到如此众多世界最杰出的数学家和物理学家汇聚一堂，为这个大厅增光？仅举极少数几位，我们有来自欧洲大陆的亥姆霍兹、詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特、夏尔·埃尔米特和凯莱；以及来自我们本岛的乔治·萨蒙、⟦N6⟧、⟦N7⟧、⟦N8⟧和⟦N9⟧。
我一直认为，我想这与所有最高权威一致，大学的伟大目标是教授那些同样确凿已知且知而有价值的东西，并尽我们最大力量为真正有用的人类知识宝库增添内容。与这些伟大目标相比，授予学位是次要且相对不重要的事情。
6. ⟦N1⟧论大学教育
Tait对学生应如何被教导持有强烈的看法。我们从《剪贴簿》中呈现两段摘录，第一段是Tait本人对他所承担的一项新教学举措的报告：-
Professor Tait's Report of the Class in Experimental Physics
我带着相当大的犹豫，承担了一门实验物理学的讲座课程，它应是（尽管基础）严格科学的，而非（在该词常见且贬义的意义上）通俗的。换言之，我决定，如果我尝试这个实验，我应 solely 以传授准确信息为目的；所有纯粹的轰动性展示都被刻意避免。
我在开篇讲座中表明，我完全不知道对我的班级可以合理期望什么——至少就他们通过准备而非天生能力来攻克该学科的适合性而言。我非常高兴地发现，缺乏初步训练并未严重妨碍他们的进步。相当多的人以优异成绩通过，还有少数人的答案几乎无可改进。我认为这个实验确实非常成功，不再担心先前训练不足的影响。我从未有过，也（考虑到如此多内容必须压缩进少量讲座中）没有一次进展更为显著。
一份政府报告曾提议，只允许具备必要资格的学生进入大学。泰特在1888年对毕业生的演讲中（摘自剪贴簿）以有力的方式回应说，这：-
……似乎直接威胁到苏格兰人最宝贵的与生俱来的权利之一。迄今为止，苏格兰大学最自豪的夸耀是它们属于苏格兰人民，不分等级、年龄或教派。任何能支付注册费的人目前都有权要求注册我的班级。他现在是否要被剥夺这一权利，或者是否要无缘无故地设置障碍来享受这一权利？我说“无缘无故”，我更应该说“肆意”。经验使我得出深思熟虑的结论：一个人进入我的普通班时对自然哲学了解得越少，他在这个引人入胜的学科中的进步就越大。……再者，许多在实验科学研究方面具有异常高资格的人，如果得到适当指导，可能为科学和国家做出宝贵贡献，却无可救药地无法掌握初等数学，甚至语法的琐碎迂腐。这些人是否要在自然特别赋予他们资格的职业生涯的门槛上被拦住？对他们来说，学位不是目标；他们来到大学是为了从中获得他们想要的信息，而大学的首要职责就是向所有来者提供这些信息。
7. 泰特给报纸写信
《剪贴簿》中包含Tait就广泛主题寄给报纸的信件的剪报。在以下往来中，他抱怨1878年圣安德鲁斯的污水问题。也许值得注意的是，在那之后100年，圣安德鲁斯仍然有污水问题！
The St Andrews Gazette 28 September 1878
先生，——在今天的《Fifeshire Journal》中，我看到Tait教授的一封长信，抱怨Pilmour Links某处排水沟或下水道散发出令人作呕的气味，我出于好奇前往该地，亲自判断事情究竟如何；但令我惊讶的是，我根本找不到他所抱怨的那种令人作呕气味的任何痕迹。然而我得知，几天前该地一条煤气管意外破裂，从中散发出非常难闻的气味；但当它被修好后，一切似乎都正常了。如果教授有任何真正的冤情，我相信排水委员会在接到申请后会把事情处理好。CIVIS
The St Andrews Gazette 5 October 1878
先生，——一个可能将煤气气味误认为污水恶臭的人，几乎没有资格以排水委员会的名义发言。
圣安德鲁斯的排水状况糟糕至极；当这一点被指出后，试图如你的通讯员“Civis”所做的那样，用转移注意力的手法来混淆视听是徒劳的。
如果要维持该镇的繁荣，立即而彻底的行动是必要的。
8. Tait与15谜题
剪贴簿中包含有关Tait解决15拼图的信息。Tait解决了这个拼图，并提交了一篇关于该解决方案的论文，当时他在1879年的American Journal of Mathematics上看到了两篇文章，一篇由W W Johnson撰写，另一篇由W E 威廉·爱德华·史都瑞撰写。Johnson证明了拼图块的奇排列是不可能得到的，史都瑞证明了方块的每个偶排列都是可能的。看到这两篇论文后，Tait随后“将他的论文削减到与可理解性相一致的最小尺寸”。尽管有人声称直到A F Archer在1999年的American Mathematical Monthly中给出一个初等证明之前，没有已知的初等证明，但在我看来，Tait的证明完全是初等的。他将一个排列写成不相交循环的乘积，然后指出奇数长度的循环可以写成偶数个对换的乘积。
他在文章结尾的评论在今天肯定会被认为政治不正确：——
Crum Brown博士建议用Aryan这一术语表示正常排列，用相应的术语Semitic表示其颠倒。类似地，Chinese将表示雅利安式向右旋转一个象限，而Mongol表示闪米特式向左旋转一个象限。现在容易看出，通过奇数次互换，雅利安式变为闪米特式，中式变为蒙古式，反之亦然。类似地，雅利安式与蒙古式，以及闪米特式与中式，相差偶数次互换。因此，任何给定的排列必定要么是雅利安式，要么是闪米特式。前者可以变为蒙古式，后者可以变为中式。
9. Thomson、Tait与Maxwell
Maxwell、Tait和Thomson是共同合作的朋友，然而必须将他们列为三位最重要的苏格兰数学物理学家。人们很容易认为Tait与另外两位苏格兰科学巨匠相比是个次要人物，但这远非事实。Maxwell，我们现在评价为三人中最重要的，却是最谦逊、最不强势的。我们注意到Maxwell在1871年写给Thomson的一封信中表达了对Tait工作的钦佩：——
你应当让世人知道，适用于物理学的数学方法的真正源头可以在Proceedings of the Royal Society of Edinburgh中找到。向量与四元数的体积分、面积分和线积分及其性质，正如T'（Tait）正在推导的那样，其价值胜过其他学术殿堂中正在进行的一切。
有人说，William Thomson 在职业生涯前半段所做的一切都很出色，而后半段所做的一切都是错的。这话说得苛刻，但很大程度上是因为汤姆孙坚持涡旋原子。然而现代物理学表明，汤姆孙的直觉相当惊人，因为弦理论将基本粒子的理解建立在纽结理论之上。天才有时也会犯错，但他们的失败总是值得审视，因为其中往往包含着不应丢失的智慧瑰宝。
这本剪贴簿里收录了许多三位朋友之间通信的例子。下面是麦克斯韦写给泰特的一封信的示例：-
Glenlair
Dalbeattie
30 Sept 1875
O T'
几天前我寄给你一篇Butcher的学位论文，从凯莱处得知你已同意审阅其中的四元数内容。审阅完毕后，请转寄至凯莱，Garden House，Cambridge。
Butcher是如何发现点积的威力的？……
我正在为我的那本电学小书写出热电学的内容。你有什么新材料吗？或者用于图示的数据。
我一直在定义这个图示及其用法。如果在电流中令电荷密度为零而速度无穷大，同时保持乘积为应有的值，那么你可以把“热电能”称为“电的熵”。此外，与电流的能量相比，其动量可以忽略不计。
但更可能的情况是，电的密度非常大而速度非常慢，所以关于熵还是少说为妙。
如果马奇伯爵被册封为五月公爵，请判断他成为冬季国王的概率；如果他当选皇帝，称他为Semper Augustus是否恰当。
把这件事告诉九月党人。
你的 dp/dt
William Thomson 和 P G Tait 的 Treatise on Natural Philosophy（1873）被称为 T & T。然而，三位朋友给汤姆孙取名为 T，给泰特取名为 T'。麦克斯韦成了 dp/dt，因为 Treatise on Natural Philosophy 中有一个方程写道
当然麦克斯韦是jcm（因此变成了dp/dt）。
10. Tait与高尔夫
剪贴簿中有许多页与Tait对高尔夫的兴趣有关。他的儿子Freddie Tait后来两次获得业余高尔夫锦标赛冠军。圣安德鲁斯老球场的第16洞以他的名字命名。每年都有Freddie Tait奖章的比赛。Tait把高尔夫当作一种享受的游戏，但他也以物理学研究者的身份研究它。以下是剪贴簿中描述他实验的一段摘录：-
《晚间快讯》：Tait和他的高尔夫球
泰特教授最具独创性和趣味性的研究之一，是在随时待命的詹姆斯·鲍曼·林赛协助下，关于被击打的高尔夫球的轨迹和速度的研究。实验历时数月，期间教授常常故意将自己置于“沙坑”困境，把球击向沙墙，以测量所用的力。在这些充满活力的实验进行的地下实验室里，发生过几次小事故，林赛多次表示希望教授能打得更准一些。然而，这项活动最终结束了，结果体现在提交给爱丁堡皇家学会的一篇论文中。在其他有趣的结果中，泰特教授明确指出了高尔夫球可能被击出的最远距离。从科学角度，这一说法被接受了，但不幸的是，为了其持久的准确性，永远快乐的“弗雷迪”在“最大可能击球距离！”公布后不到两周内，就将球多击出了大约五码，证明他父亲完全错了。
[注：泰特没有考虑旋转，而任何高尔夫球手都知道旋转有显著影响！]
11. 剪贴簿中的杂项材料
以下是剪贴簿中少量进一步的摘录。
Letter from Stokes to Crum Brown 31 July 1880
……伊莎贝尔现在一定觉得自己半个苏格兰姑娘了——请原谅；我应该说苏格兰的；至少泰特教导我，可以说“scotching”一条蛇，但我绝不能把这个词用于该岛特威德河以北部分的居民。
泰特极其爱国，花了很多时间在英国科学家与欧洲大陆科学家的争论中为英国科学家辩护。在许多方面，这是他性格中不幸的一面，因为这在一定程度上扭曲了他对某些科学理论的看法。以下是《剪贴簿》摘录中泰特这一方面的一个小小体现：-
鲁道夫·克劳修斯巧妙地试图把我排除在外，称我为“der englische Mathematiker, Tait”。当然，如果我只是一个数学家，从未做过物理研究，我就根本没有资格写这类事情。
不过，我还是宁愿保留对这些所谓主张的讨论，因为这样我就可以不必进一步讨论一个我的对手们至少不会承认他们现在和过去都无可救药地错了的话题。然而更可能的是，由于他们未能看到Mayer的真正主张并不取决于他最初的论文，而是取决于他后来的论文，他们现在会改变立场；并且发现Mohr比Mayer是更好的一张牌，就坚持认为他拥有我已表明应归于Colding和Joule的全部功劳。
把苏格兰人称作“英格兰人”，当然是可能的最大侮辱之一！
最后让我们记载下来，《剪贴簿》中有一份邀请⟦N1⟧出席学位典礼的请柬，他将在那里被爱丁堡大学授予荣誉学位。爱丁堡大学于1901年7月27日星期六授予“P. G. ⟦N1⟧教授，文学硕士、理学博士，荣誉法学博士学位”。
由J J O'Connor和E F Robertson撰写
最后更新于2006年4月