数学史专题
M S Raghunathan在2002年于昌迪加尔举行的印度科学院年会上作了公开演讲Artless innocents and ivory-tower sophisticates: Some personalities on the Indian mathematical scene。他的演讲的一个版本发表在Current Science 85 (4) (2003), 526-536上。我们在下面给出该演讲的一个版本。
印度数学舞台上的若干人物，作者M S Raghunathan
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20世纪初，科学仍然是隐居知识分子的一种深奥追求。在哥廷根、哥本哈根、剑桥和巴黎的学术世界里，最初几十年的静悄悄的革命随着广岛事件爆发为全球对科学的认识。随着人造卫星的发射，科学在公众心目中的声望更加高涨，许多科学家成为公众人物、名人、青年人的偶像。物理学家主导了这场名人游行，但化学家和生物学家也相当多。在这种对科学的炒作和对科学家的崇拜的背景下，我认为数学家最好用一句泰米尔谚语来描述：他是在参加对俱毗罗的阿拉卡普里的袭击后带回家一个铜器的不幸家伙！数学界的许多伟大名字对科学界以外的人来说完全陌生。本文介绍了一些在20世纪对数学做出重大贡献，更重要的是对印度数学产生了相当影响的数学家。其中一些人甚至在科学界内部也可能不太知名。
关于我所选择的人物，有一点说明：他们都是我在塔塔基础研究所成长过程中所接触的数学传说中经常出现的人物；而那个传说是有其偏见的。
我不可避免地要从拉马努金开始，他是最著名的印度数学家，被认为是20世纪最伟大的数学天才之一。这位马德拉斯港务信托处的贫穷职员进入剑桥象牙塔之门，以及随后天才在盛年被疾病中断的悲剧故事广为人知，因此我不再赘述。
对许多数学家来说，拉马努金的思维过程带有一种神秘色彩。Hardy（他使拉马努金在国际上闻名）不会同意这一点，但Hardy的密友和合作者Littlewood肯定这么认为。马克·卡茨，另一个著名的名字，称他为“魔术师而非天才”。Bruce Berndt，一位现在已经花了二十年时间解读拉马努金的笔记本的数学家，说——我引用一下——“我仍然不完全理解它。我也许能证明它，但我不知道它从何而来，也不知道它在数学中处于什么位置”。拉马努金的一些印度同时代人确信他笃信宗教，甚至愿意相信神的干预。
我们可能对拉马努金的思维过程的本质没有清晰的概念。然而，从关于他的当代著作中可以清楚地看出他的一个特点：他完全朴实无华，谦虚到了极点：他几乎完全没有自视甚高的感觉，这确实令人瞩目。他似乎并没有真正衡量过自己非凡的才能，尽管Hardy扮演了'Jambavan对Hanuman'的角色。
事实上，他在英格兰试图自杀的事件表明，他有过一段自尊心相当脆弱的时期。事情发生在他的疾病引起的抑郁，加上家庭问题以及Trinity学院因其种族原因拒绝他的会士提名（Trinity后来确实任命他为会士）之时。拉马努金扑向一列火车，但幸运的是，一名警卫及时让火车停了下来。为了防止他因企图自杀而被捕，Hardy试图说一些善意的谎言：他告诉警方拉马努金是皇家学会的会士（当时拉马努金只是候选人；一个月后他当选了），并且皇家学会的会士不能被逮捕（这当然是无稽之谈）！警方没有被骗，但也没有提出指控。
拉马努金的洞见至今仍在影响着数学的发展。他的文集一直是20世纪许多杰出数学家的灵感来源。
他关于如今被称为拉马努金 tau函数的工作，在当时只引起了不大的反响，后来却被证明是深刻而核心的，属于所谓的模形式理论。埃里希·赫克，一位伟大的德国数学家，是该理论的奠基人之一，与拉马努金同年出生——1887年；两人从未相遇，这实在令人遗憾。拉马努金关于tau函数的一个猜想于1974年被皮埃尔·德利涅解决，后者是我们这个时代的一位顶尖数学家。
在数论中成功应用于各种问题的最富有成效的技术之一被称为圆法。这起源于拉马努金与Hardy关于所谓的分拆函数的合作工作。
拉马努金的笔记本是美丽公式和恒等式的宝库，没有细节记录。为这些提供适当的证明一直是一个挑战，同时也是对数学界的一项公共服务。经验表明，这些结果中的许多可能远不止于形式美本身使它们具有吸引力。有人说，在形式操作方面，拉马努金在数学史上无人能及，除了莱昂哈德·欧拉和卡尔·古斯塔夫·雅各布·雅可比。
即便对我们印度人来说，Hardy也比拉马努金本人好理解得多。他当然是二十世纪主要的数学人物之一，而且正如拉马努金的故事所表明的，他是个了不起的人。他还异常善于表达，是一位有天赋的英语散文作家。他那本阐述自己对职业看法的小书A Mathematician's Apology读来令人愉快。Hardy在很大程度上是象牙塔里的知识分子，这本书与其说是“辩护”，不如说是他对自己信念的强调性肯定：在追求纯科学时，社会相关性是不相关的。他还写了一篇关于伯特兰·罗素事件的记述——1914-18年战争期间Russell的非正统观点和行为在剑桥引起的动荡。
Hardy是个狂热的板球迷；狂热到以至于他用板球伟人来衡量任何领域的卓越：最高的赞誉就是属于“Bradman级”！有趣的人是那些身上有“旋转”的人。
Hardy是杰出的分析学家，也是数论学家；他在分析方面的工作在某些方面比数论方面的工作更有影响。他是无穷级数方面的主要专家；他的书Divergent Series是那个时期的经典。他不赞成他那个时代英国数学的教学方式，并试图加以改革。他的书Pure Mathematics就是朝这个方向的一次尝试。这是第一本以欧洲精神用英语写成的分析书，并取得了巨大成功。
拉马努金一位不太知名的同代人是K Ananda Rau，他是班加罗尔印度科学院⟦L1⟧的创始成员。他的职业生涯轨迹与拉马努金完全不同。他1893年生于马德拉斯（比拉马努金晚六年），家境相对富裕，在马德拉斯按常规方式读完中学和大学、取得辉煌学业成绩后，于1914年前往剑桥，成为Hardy的学生。作为学生，他赢得了令人艳羡的Smith奖。1919年完成学业后他回到马德拉斯，随即被任命为马德拉斯管区学院的数学教授。Ananda Rau是杰出的分析学家，在可和性方面做了大量工作，而Hardy是该领域的领军人物。Hardy的书Divergent Series中有一个以Ananda Rau命名的定理。据各方面说法，他是一位鼓舞人心的教师，深受学生尊敬和爱戴，他的许多学生后来自己也成为优秀的数学家；其中一些人是印度数学界的领军人物，我将谈到他们。Ananda Rau于1948年按当时强制性的55岁年龄退休，但此后十多年仍在数学上保持活跃。他于1966年去世。
Ananda Rau在剑桥结识了拉马努金，他这样评价这位杰出的同事：“他天性纯朴，毫不做作，丝毫看不出他意识到自己的能力。”
当时印度数学界另一位重要人物是Vaidyanathaswamy，也来自马德拉斯。他也去了英国，不过不是剑桥，去与一些英国数学家合作，但那是在马德拉斯大学做了几年研究员之后。
我想强调，与Ananda Rau的情况一样，他的职业选择早在拉马努金事件爆发之前就已确定。此外，Vaidyanathaswamy的大部分数学兴趣与拉马努金的兴趣相去甚远，他是最早涉足符号逻辑、格论和拓扑学等领域的人之一，这些领域在他那个时代并非英国的热门。1925年从英国返回后，他在贝拿勒斯待了一年，然后加入马德拉斯的Ananda Rau。两人联手为马德拉斯的数学学生营造了活跃而融洽的氛围。马德拉斯大学管理层以其无穷的智慧，让他一直担任Reader直到1952年退休。退休后，他在加尔各答的印度统计研究所工作了几年，后来又在蒂鲁帕蒂的Sri Venkateswara大学工作。
Vaidyanathaswamy似乎具有传统印度学者的特质。他是Aurobindo哲学的潜心研究者，深入研究吠陀文本，并提出自己的解读。
数论，即拉马努金的兴趣领域，自然在国内有许多追随者；但真正产生巨大影响的工作直到三十年代中期才出现，而且来自S S Pillai。Pillai于1901年出生在泰米尔纳德邦的Tirunelveli地区。他的母亲在他出生后一年内去世，他由父亲在一位年长女性亲戚的帮助下抚养长大。他在学校进步良好，但悲剧再次降临；他的父亲在他上学的最后一年去世。他的才华赢得了一位老师Sastriar的持久关爱，这位老师介入帮助他继续学业。Pillai还获得了奖学金，在Trivandrum的Maharaja's College完成了学士学位，然后搬到马德拉斯，成为Ananda Rau的学生，他对Ananda Rau怀有终生的敬爱。他很快证明自己是一流的研究者，在马德拉斯获得博士学位后，他在Annamalai大学找到了第一份工作；后来他搬到Trivandrum，然后又到加尔各答，最后回到马德拉斯大学。
正是在三十年代的Annamalai大学，Pillai的才华全面绽放，他破解了一个吸引了一些最优秀头脑的问题。大卫·希尔伯特已经证明，对于每个整数，存在一个最小整数，使得每个正整数都可以表示为个次幂之和。Pillai的工作集中在精确确定。他实现了的完全确定，无论以何种标准衡量这都是卓越的成就。不久之后，他又着手处理更困难的情形。然而，涉及美国数学家L E 伦纳德·尤金·迪克森的优先权争议给Pillai和他的印度同事带来了一些困扰。Pillai将他的重要论文发表在当时发行量不大的印度期刊上；尽管如此，这些杰出贡献最终得到了认可，但在他能够品味成功之前，悲剧再次降临。1950年8月31日，Pillai在埃及上空的一次空难中去世；他正在前往美国的途中——这是他第一次出国旅行——准备在普林斯顿的高级爱德华·斯图迪研究所度过一年，他已被邀请前往那里。这一消息在聚集于哈佛的众多数学家中引起了极大震惊，Pillai本应在前往普林斯顿之前参加那里的国际数学家大会。Pillai关于“爱德华·华林”问题的工作——确定——使他在数学史上获得了永久的位置。
对所有确定的工作现在已经完成，情形是困扰数学家最久的一个，直到大约10年前，另一位印度人R Balasubramanian与两位法国人Deshouillers和Dress合作解决了这个问题。Pillai还有许多其他重要贡献。毫无疑问，如果他的生命没有如此突然地中断，Pillai会取得更大的成就。
用K Chandrasekharan教授（我也会谈到他）的话来说，“Pillai是一个真正谦逊、极其朴素的人。他拥有知识分子中罕见的品质——智识诚实——这使他受到朋友们的喜爱，但也让他失去了许多物质上的好处”。Chandrasekharan说，“从某种特殊意义上说，他是不世故的”。
20世纪初，英国数学界对我们影响很大。这确实产生了一些有益的结果。但在二三十年代，数学中最激动人心的发展发生在巴黎和哥廷根，而不是剑桥。这些发展似乎没有立即对印度产生重大影响。可和性，一个Hardy非常感兴趣的领域，被许多印度人研究，包括Ananda Rau和他的许多学生，他们做出了非常实质性的贡献。但在这个主题不再提供激动人心的挑战之后很久，许多印度人仍在继续研究它。因此，那句顽皮的话有一定道理：‘Hardy毁了许多印度数学家；但当然拉马努金太伟大了，不会被毁掉！’这让我想到了说这句话的人——安德烈·韦伊。
安德烈·韦伊是20世纪最伟大的数学家之一。他个性鲜明，幽默感强烈，并不反对用它来让人难堪。1930-32年间，他在印度待了两年，担任阿利加尔穆斯林大学的数学教授。他在自传中讲述了这是如何发生的趣事。当时海得拉巴尼扎姆的教育部长Syed Ross Masood正在欧洲度假，这时他被任命为阿利加尔穆斯林大学的副校长，该大学由他的祖父Syed Ahmed Khan创立。他决定缩短在巴黎的逗留回国，但在离开欧洲之前，他想为该大学的法国文化讲席招聘一个合适的人。为此，他会见了著名的法国印度学家Sylvain Levy，后者召见了安德烈·韦伊。安德烈·韦伊刚刚在巴黎著名的巴黎高等师范学院完成数学博士学位，由于对印度的兴趣而与Sylvain Levy保持联系；除其他事项外，安德烈·韦伊一直密切关注Levy在索邦大学开设的关于迦梨陀娑《云使》的讲座。面试很简短；Masood当场提供了讲席，安德烈·韦伊接受了。但六个月后，当正式聘书到来时，提供的是数学讲席，而不是法国文化！安德烈·韦伊说他从未弄清楚Masood究竟何时得知他的数学资历！
安德烈·韦伊收拾行囊前往阿利加尔，担任那里的数学系主任，拥有聘用和解雇教员的权力——他年仅23岁！巴黎高等师范学院学生（被称为Normalien）的极度自信与港口信托职员的胆怯形成鲜明对比，但这 hardly 会让社会学家感到惊讶。安德烈·韦伊立即解雇了他的三位同事中的一位，暂时免去另一位，让第三位继续，但很快就后悔了那个决定。安德烈·韦伊在阿利加尔待了两年，期间结交了许多朋友，并非所有朋友都是学术界的。他对该国普遍低劣的数学质量有很好的了解，但愉快地发现了一些有前途的年轻人才。他招募了其中一位，T Vijayaraghavan，Hardy的学生，填补系里的空缺职位；尽管Vijayaraghavan缺乏正式资格。两人建立了持久的友谊。除了对数学的共同兴趣外，Vijayaraghavan凭借他在泰米尔语和梵语方面的学识，可以满足安德烈·韦伊对印度文化的兴趣。安德烈·韦伊还结识了其他印度数学家，如Kosambi和萨尔瓦达曼·邱拉。他似乎旅行了很多。其中包括前往特里凡得琅参加印度数学学会的年会。在前往特里凡得琅的途中，他在金奈结识了Ananda Rau和Vaidyanathaswamy。他在特里凡得琅的经历提供了一些乐趣。会议上的年轻人必须想出巧妙的方法来调和一些年长同事对遵守种姓禁忌的坚持与在场mlecha可能的敏感性。
Vijayaraghavan在年龄上比安德烈·韦伊大四岁。他在学校里表现尚可，但在大学里，按照通常的标准，他的表现并不很好。这是因为他和拉马努金一样，对严肃数学产生了兴趣，觉得课程材料乏味。幸运的是，一位真正的数学家——Ananda Rau——能够识别考试制度无法察觉的才能，当时正掌权，他得以进入大学的B A（荣誉）课程。与拉马努金的相似之处继续：他把自己的研究寄给Hardy，并最终于1925年前往牛津（Hardy已迁至那里）与他合作。马德拉斯许多人将他视为拉马努金的精神继承者，这并不令人意外。自始至终，Ananda Rau都给予了极大的帮助，Vijayaraghavan显然会非常愉快地回忆起与老师的会面。Vijayaraghavan头脑聪颖，很快就在分析及相关领域发表了优秀论文。他研究所谓的Tauberian定理，并做出了真正高质量的工作。Vijayaraghavan是一个热衷于解决问题的人，对构建理论或获取广博学识没有太大兴趣。他总是寻找有趣的问题，并乐于从博学之士那里了解它们。另一方面，安德烈·韦伊发展理论，对他来说，解决问题虽然重要，但却是次要的：有了正确的理论，问题的解决方案必定会自然得出。在体格上，两人也形成鲜明对比。安德烈·韦伊身材苗条而健康。他非常喜欢散步，并曾称之为（在Macarthy时代）他的“非美国”活动。Vijayaraghavan则体态臃肿，这准确反映了他久坐的生活方式。安德烈·韦伊与Masood最初的友好关系并未持续多久。他独立的精神与副校长如同半神般的体制发生冲突；而Masood将大学视为家族遗产的看法也无助于事。在Aligarh的第二年快结束时，安德烈·韦伊去欧洲短期度假（实际上他努力为Aligarh图书馆购置书籍）。他回来后发现自己被立即解雇。他的朋友Vijayaraghavan已辞职并搬到Dacca以示抗议，当时Masood在安德烈·韦伊缺席的情况下，向他提供了教授职位，他计划借此驱逐Weil。安德烈·韦伊在Dacca与Vijayaraghavan短暂停留后返回巴黎。在那次停留期间，当时的副校长Sarvapalli Radhakrishnan邀请他担任Andhra大学的职位。安德烈·韦伊被这个提议吸引，但最终拒绝，因为Radhakrishnan无法满足他要求自由管理系里的条件。
Vijayaraghavan后来搬到马德拉斯，领导当时新成立的拉马努金研究所。他于1955年去世，年仅53岁。Chandrasekharan对Vijayaraghavan有如下评价：
任何与他有密切交往的人——无论是作为共事的数学家、作为和蔼可亲的主人，还是作为慈爱的父亲——都不能不说，这里有一位他的国家可以为之骄傲的知识分子。
Vijayaraghavan热爱讲课，是一位清晰、有效，有时甚至出色的讲师，尤其是在他当时感兴趣的数学主题上。
他有一句口头禅：一个人不能声称自己懂了一个定理，除非他能给出不少于三种不同的证明，其中至少有一种是他自己的。
他偶尔也会搬起石头砸自己的脚，这几乎不足为奇！
安德烈·韦伊在Aligarh逗留期间对印度数学的影响不能被认为非常显著，尽管像Vijayaraghavan这样的一些人可能从他的存在中受益。大约三十年后，他的数学在这个国家产生了巨大影响：毕竟，Aligarh发生在安德烈·韦伊作为数学家的职业生涯初期，而产生影响的研究是后来才出现的。六十年代从TIFR涌现的两股杰出质量的数学潮流源于安德烈·韦伊的工作：向量丛的模和离散群中的刚性现象。当然，这些主题在许多中心都有研究，但印度数学家在这些领域的发展中一直处于前沿。1994年，安德烈·韦伊获得了Inamouri奖，这是一个由日本慈善基金会颁发的著名国际奖项，授予跨领域的杰出成就。一位印度人，我在Tata研究所的同事S. Ramanan，在京都举行的颁奖仪式上被赋予就安德烈·韦伊关于向量丛的工作发言的殊荣。
正如我之前提到的，安德烈·韦伊是20世纪数学的伟大人物之一。他彻底改变了数论与代数几何交界领域的面貌，并为该领域此后数十年的研究设定了议程。我提到过，德利涅证明了拉马努金关于tau函数的猜想。这是通过首先建立安德烈·韦伊的一些猜想，并表明拉马努金的猜想是安德烈·韦伊猜想的推论而实现的。除了自己的研究之外，安德烈·韦伊还深入参与其他形式的数学推广活动。他是组成“尼古拉·布尔巴基”小组的少数数学家之一。布尔巴基学派着手撰写一系列对数学界极具价值的书籍。布尔巴基小组还开始在巴黎组织关于各种主题的讨论班，以帮助传播当前的研究，这项活动一直持续到今天。
印度思想无疑对安德烈·韦伊产生了巨大影响。在他的自传中，他说唯一吸引他的宗教观念是那些在印度教哲学思想中可以找到的观念。第二次世界大战期间，安德烈·韦伊拒绝服兵役，讽刺的是，他引用《薄伽梵歌》（其表面目的是让阿周那去战斗）来为自己的立场辩护：他真正的达摩是追求数学，这才是他应该做的，而不是协助战争努力，无论事业多么正义！
尽管安德烈·韦伊对印度如此着迷，他直到1968年才回到印度。那一年，他在印度参加由TIFR主办的一次国际会议并讲学。在孟买，TIFR安排他住在泰姬酒店，但后来我们发现，我们的招待根本无法与他在印度其他地方所受到的款待相比。在德里，他作为当时总统扎基尔·侯赛因的客人住在总统府，侯赛因是他在阿利加尔时期的朋友！而在加尔各答，他又住在总督府——安德烈·韦伊在阿利加尔时就认识总督达拉姆·维拉，当时后者是一名公务员！在金奈，他见到了拉贾吉，当他试图提醒对方他们1931年曾见过面时，拉贾吉打断他说：“哦，是的，我非常清楚地记得你。你就是那位在阿利加尔的法国教授，我发现你的英语还是和以前一样糟糕！”安德烈·韦伊的英语水平极好，但说起这门语言时——不可避免地——带着法国口音。象牙塔无疑是安德烈·韦伊的自然栖息地，但看来如果他愿意，他也可以走出来给戴尔·卡耐基上一两课！
我忍不住要补充几句关于我与这位伟人亲身接触的经历。1966-67学年，我在普林斯顿高等斯图迪研究院度过，安德烈·韦伊于1960年成为那里的永久成员。当然，那时他已是一位备受敬仰的传奇人物，但以尖刻机智闻名，使人不敢与他接触。不过，我每天都会与他例行相遇。我会下楼到供应茶水的休息室去读《纽约时报》。安德烈·韦伊不久就会出现，来回踱步。显然他想要那份报纸，在勇敢地坚持了几分钟后，我会在真正读完之前放弃报纸，而他就会立刻拿起来！
有一次在聚会上，我发现自己和安德烈·韦伊在一个角落里。我不知道为什么，但我觉得有必要开始一段对话，就说了一些关于D D Kosambi——从数学家转变为历史学家——的话。安德烈·韦伊回应道：“年轻人，我发现那些对科萨姆比一无所知的人却想谈论他！让我告诉你：他是你们国家产生的最优秀的才智之士之一。”我当然吓呆了，但他接着长篇大论地谈论科萨姆比和许多其他事情。我慢慢恢复过来，与他共度的那个晚上剩下的时间结果相当愉快。
邱拉，我预计在这个国家这一地区会比我所提到的其他一些人更为人所知。萨瓦达曼出生于英格兰剑桥，1907年他的父亲戈帕尔·辛格——本人也是一位数学教授——正在那里访问。他在拉合尔完成学业，并从拉合尔政府学院获得学位，该学院的校友中有许多显赫的名字；其中当然包括邱拉本人。1929年，戈帕尔·辛格陪同儿子前往剑桥，萨瓦达曼将在那里跟随李特尔伍德从事数学研究。对于年轻的邱拉来说，进入神圣殿堂的喜悦被父亲在返回印度途中于巴黎突然去世所冲淡。尽管博士研究有这样一个悲伤的开端，邱拉在剑桥表现非常出色，并于1931年获得博士学位。同年他回到印度，在德里圣斯蒂芬学院担任教授。在那里，他遇到并娶了一名学生希马尼·马宗达，她直到1970年去世前一直妥善照料所有实际事务，而邱拉在很大程度上远不擅长处理这些事务。他们唯一的女儿也是一位数学家。
从德里出发，邱拉先后前往贝拿勒斯印度教大学、沃尔泰尔的安得拉大学，最后回到拉合尔的政府学院任教。1947年，他携家人逃离拉合尔，在德里短暂停留后，前往普林斯顿的高等斯图迪研究所。他再也没有回到印度。1949年，他接受了劳伦斯的堪萨斯大学教授职位；1952年，他搬到科罗拉多州的博尔德，最后到宾夕法尼亚州立大学，并于1976年从那里退休。他继续在数学上保持活跃，在普林斯顿和后来的劳伦斯度过了几年，在那里他与以前的学生Mary Cowles合作。他于1995年去世。邱拉的第一篇论文发表于1925年，最后一篇发表于1986年。六十年的活跃数学研究确实非常罕见。
邱拉对数学的热情是无限的，他几乎没有其他兴趣。认识他的人都觉得他友好、幽默，谦虚到极点。他有许多学生，并相信只提供广泛的指导，让他们 largely 自己工作。尽管如此，他非常成功地将自己对数学的兴奋传递给了他们。他的一位学生称他为“数论的永久大使”。他的合作者包括许多杰出的名字；让我提几个：来自印度的Bambah、Pillai、Ramachandra和C R Rao；来自外部的Erdos、阿特勒·塞尔伯格、志村五郎。邱拉的名字与许多深刻的数学结果联系在一起，证明了他在该领域的高地位。
我想谈论的印度数学的另一位主要人物是Minakshisundaram，我将称他为Minakshi，因为他的朋友这样称呼他。他于1913年出生在喀拉拉邦的特里苏尔。他在马德拉斯接受早期教育，并从马德拉斯的洛约拉学院获得文学学士（荣誉）学位。他成为马德拉斯大学的研究学者，师从Ananda Rau。这自然导致他研究Tauberian定理，并在该领域产生了非常高质量的工作。然而，在1937-38年，他再次受到他在洛约拉学院以前的老师Rev Father Racine的影响。
我稍后会更多地谈论Minakshi，但我想抽出时间谈谈Father Racine，一位非凡的法国人，他对印度数学的贡献是非凡的。
Father Racine于1897年出生在法国的Tomay-Charente。他于1916年入伍参加第一次世界大战，三年后因脚踝受伤而退伍，这使他余生都跛行。然后他进入耶稣会，并于1929年被任命为牧师。他在巴黎学习了四年数学，并于1934年获得博士学位。他被派往印度，在蒂鲁吉拉帕利的圣约瑟夫学院工作。他于1939年搬到马德拉斯的洛约拉学院，并在那里待到1976年去世，那是他1967年退休九年后。
Father Racine曾与埃利·嘉当和雅克·阿达马合作，他们都是数学界的传奇人物。他把安德烈·韦伊和亨利·嘉当（另一位著名数学家，埃利·嘉当的儿子）视为朋友。有了这样的背景，Racine自然对数学有极好的视角，他将其带到了印度。他开始让一些印度数学家脱离传统的剑桥启发领域，Minakshi是他的第一个巨大成功；随后有一大批才华横溢的学生；这个名单在任何印度数学的“名人录”中都会占据大量空间。仅举几个名字：K G Ramanathan、C S Seshadri、M S Narasimhan、Raghavan Narasimhan、C P 奇丹巴拉姆·帕德马纳班·拉马努詹。
拉辛神父显然不是一位令人兴奋的演讲者。学生们觉得他的课堂讲座很难跟上。他的法国口音，加上对着黑板咕哝，使情况更糟。然而，正是在课堂之外，他的影响才是决定性的。他非常善于发现人才并加以鼓励。他喜欢与学生们非正式地交谈，尤其是那些有才华的学生，并在他们的职业决策中给予宝贵的建议。数学活动绝不是拉辛神父唯一的关注点。显然，他是学院耶稣会团体的精神顾问，并致力于为周围的天主教平信徒解决个人问题。1962年，法国政府授予他令人羡慕的“荣誉军团勋章”。在他在印度度过的42年里，他只回过法国两次；然而他仍然非常法国化。但毫无疑问，他爱印度胜过法国。我没有幸成为他的学生，但我愉快地记得在我的老师M S Narasimhan的陪伴下与他进行的一次长时间非正式会面。他是一个极好的例子——绝非唯一——说明法衣与活泼性情可以共存。
让我回到米纳克希孙达拉姆。正如我所说，米纳克希在拉辛神父的影响下，从可和性——尽管他终生热爱这个主题——转向更现代的领域；具体来说，他将注意力转向了微分方程。1940年，他在马德拉斯大学获得理学博士学位，学位论文是关于非线性抛物型微分方程的。然后他发现自己毫无希望地搁浅，没有工作。拉辛神父通过安排他辅导几个学生来帮助他赚些钱，直到他被任命为沃尔泰尔安得拉大学数学物理系的讲师。
他可以说是他那一代最有天赋的印度数学家。他在紧黎曼流形上拉普拉斯算子的特征值方面的工作质量最高，并产生了持久的影响。他最好的工作，其中一些是与加拿大人普莱耶尔合作完成的，是1946-48年间在普林斯顿高等斯图迪访问时进行的。普林斯顿之行得以实现，要归功于Marshall Harvey Stone的努力，他是一位一流美国数学家，1946年访问印度，后来又多次访问。斯通还促成了许多其他印度人访问普林斯顿的该研究所。该研究所无疑在塑造印度数学方面发挥了重要作用——就像早期的剑桥一样。
米纳克希孙达拉姆在普林斯顿待了两年后回到印度。回国后不久，米纳克希孙达拉姆被提升为安得拉大学教授。1950年，他在塔塔研究所待了几个月，成果是与钱德拉塞卡兰合著的一本优秀著作《典型平均》。那一年，他再次访问普林斯顿，第二年，他又在美国短暂访问。1958年，他再次前往美国，在回印度的途中，他在爱丁堡举行的国际数学家大会上做了享有盛誉的受邀半小时报告。
随着岁月流逝，他发现大学环境对创造性工作令人窒息。他与一些同事相处有问题，这些同事的数学资历远不及他。与真正一流头脑的最低限度接触是他产生高质量工作所需要的全部，但大学无法提供给他。他最终被任命为当时新成立的西姆拉高等斯图迪研究所教授，并非常高兴搬到那里——仍然有孤立，但至少在其他方面前景更愉快。他开始写一本关于谱理论的著作，但不幸于1968年去世，未能完成。米纳克希孙达拉姆四十年代的工作在他去世时再次凸显，并成为迈克尔·阿蒂亚-辛格指数定理新方法的重要组成部分——20世纪最伟大的定理之一。另一位印度人V K帕托迪注定在这一发展中发挥重要作用。
现在我转向哈里什-钱德拉，自拉马努金以来最伟大的印度数学家。
哈里什-钱德拉（朋友们称他为哈里什）于1923年10月出生在坎普尔。他的父亲钱德拉基肖尔·梅赫罗特拉是铁路部门的一名工程师。在坎普尔完成学业后，他前往阿拉哈巴德深造物理学。在那里，他受到了K S 克里希南的影响。哈里什一生都对克里希南怀有深厚的感情和敬意。他是一名才华出众的学生，在期末考试中有一门试卷获得了100%的分数——阅卷人是C V 拉曼。取得硕士学位后，他前往班加罗尔，跟随霍米·巴巴从事物理学研究；哈里什与巴巴在那个时期合作发表过一些论文。在班加罗尔，他结识了拉曼，后者显然很享受与这位来自阿拉哈巴德的年轻人一起长时间散步。他寄宿在卡莱家——G T 卡莱是科学研究所的图书馆员，他的妻子是波兰人，曾在阿拉哈巴德担任哈里什的法语老师。卡莱的女儿拉利塔显然会试图用她活泼的恶作剧来分散这位严肃学生的注意力。几年后她成为了他的妻子，一生宠爱着他，不让日常琐事分散他对工作的专注。
霍米·巴巴安排他前往剑桥，与传奇人物保罗·狄拉克共事。在剑桥期间，他前往欧洲旅行，到访了苏黎世等地。在苏黎世，他参加了令人敬畏的沃尔夫冈·泡利的一场讲座，并有胆识地指出这位伟人在讲座中某个论点上错了。诸如此类的事例进一步提升了他作为科学家的声望，而这一声望早已由他的科学工作所确立。
狄拉克前往普林斯顿高等斯图迪进行为期一年的访问，并带上了哈里什-钱德拉。哈里什的物理学高度数学化，这促使他研究某些特殊李群的无穷维表示。
在普林斯顿，他遇到了谢瓦莱，一位伟大的法国数学家——布尔巴基群体中的一员——与谢瓦莱的交流使他完全放弃了物理学，转而投身数学。他显然对物理学并不完全自在，尽管他钦佩物理学家们的“第六感”。然而，他的数学工作确实在很大程度上得益于他的物理学背景。他所开创的李群无穷维表示论，在五十年代初绝非数学的核心领域。另一方面，量子力学已引导物理学家研究洛伦兹群的无穷维表示。在十多年间，哈里什-钱德拉以强烈的专注和献身精神投入这一课题，凭借其强有力的思想，几乎单枪匹马地将表示论这一学科从数学的边缘推向了中心舞台。
哈里什-钱德拉在高等斯图迪担任访问成员之后，转至哥伦比亚大学。他多产，并在我刚才提到的哥伦比亚岁月里，实现了李群表示论的变革。1955-56年，他从哥伦比亚大学休假一年，再次访问高等斯图迪。1957-58年，他凭借古根海姆奖学金在巴黎度过。哈里什-钱德拉发现巴黎有许多令人兴奋的事情正在发生，想在那里再待一年。然而，哥伦比亚大学教务长对延长在巴黎停留的请求表示不满，因为这一请求是在两次休假如此接近之后不久提出的。哈里什向安德烈·韦伊寻求建议，后者是一位好朋友，当时恰好在巴黎。安德烈·韦伊——对他来说，与教务长作对是一种受欢迎的消遣——告诉哈里什-钱德拉，不仅要坚持要求哥伦比亚大学准假，还要要求加薪。安德烈·韦伊告诉哈里什，他是一位太优秀的数学家，哥伦比亚大学承受不起失去他。哈里什-钱德拉采纳了安德烈·韦伊的建议，发现哥伦比亚大学有足够的明智按他的条件留住他！
哈里什-钱德拉是1958年约翰·查尔斯·菲尔兹奖章的有力候选人。读者中可能有些人不了解菲尔兹奖章是什么。让我对此说几句。该奖章以一位加拿大数学家命名，他为此留下了一笔小额遗赠，被数学界视为对数学成就的最高认可。在国际数学家大会上最多颁发四枚奖章，该大会每四年举行一次。它被认为在声望上等同于诺贝尔奖（诺贝尔奖不设数学奖）。然而，随奖章颁发的现金奖励为10,000瑞士法郎，与诺贝尔奖相比只是微薄之数。菲尔兹奖章与诺贝尔奖还有另一个重要区别：该奖只授予在国际数学家大会召开时年龄在40岁以下的数学家。
正如我所说，哈里什-钱德拉曾是奖章的有力候选人，据小道消息，他之所以落选，仅仅是因为委员会主席的学术偏见。那一年，两枚奖章分别授予了英国数学家Roth和法国人Thom。卡尔·西格尔，委员会主席，无疑是20世纪最伟大的数学家之一，但他不能容忍与自己不同的数学风格和哲学；在他看来，哈里什-钱德拉的数学属于他并不赞同的退化布尔巴基类型。颇具讽刺意味的是，在Bourbakis自己看来，哈里什-钱德拉作为数学家是西格尔的真正继承者。哈里什-钱德拉未获得菲尔兹奖章并不反映他的数学水平；另一方面，这表明设计出良好的奖项和奖金评定机制是多么困难。
1963年，哈里什-钱德拉受邀成为普林斯顿高等斯图迪研究所的永久成员，1968年，他被任命为IBM冯·诺依曼数学讲席教授。他是印度科学院和印度国家科学院的会士。1973年，他当选为皇家学会会士，后来又当选为其他科学院会士。1954年在阿姆斯特丹和1966年在莫斯科举行的国际数学家大会上，他应邀作了全会报告。然而，对于他这样成就的人来说，他获得的奖项和荣誉相对较少。
我有幸与哈里什-钱德拉有过一点私交。在普林斯顿度过的那一年里，我见过他几次并与他交谈。遗憾的是，我从未在数学上与他有过交流，但有过许多关于数学的有趣对话。他给我留下了深刻的印象，是一个热情而严肃的人。他对数学和印度的数学界有强烈的看法，并且直言不讳。在普林斯顿那一年之后，我与他的会面寥寥无几。1983年10月，我再次来到普林斯顿，参加一个为纪念阿曼德·博雷尔（唯一与哈里什-钱德拉合作过的数学家，也是他在高等斯图迪研究所的同事）而举行的会议。会议的最后一天，我参加了由哈里什-钱德拉和他优雅的妻子（Lalitha在普林斯顿变成了Lily）举办的午餐会——他前一周刚满六十岁。那天深夜，我得知哈里什-钱德拉在下午还精神焕发，却在傍晚早些时候去世了。这一周以庆祝一位杰出数学才智开始，却以哀悼另一位离去而悲伤结束。
到目前为止，我谈论的都是年龄比我大得多的人。现在我要谈两位与我同时代的杰出人物：C P 拉马努詹和Vijay Kumar Patodi。1960年我作为学生加入TIFR时，拉马努詹已经在那里了，他还是学生，尚未取得学位。然而，他作为一位多才多艺、学识渊博且具有独创性头脑的学者，已经享有盛名。人们对他的期望如此之高，以至于对他（22岁时）尚未拿出创造性工作而略有失望。他自己似乎也对自己的能力有所怀疑。但是，1962年彻底消除了这方面的所有焦虑。他在代数数域上的三次型方面得出了一个非常好的结果。此后不久，他给出了一个与华林问题相关的备受瞩目的结果的精彩而极其简单的证明，我在提到Pillai时曾提及这个问题。这是一个西格尔非常感兴趣的问题。在数论领域的这些初步探索之后，拉马努詹转向了代数几何，在那里他的贡献再次极具独创性，并受到高度评价。
我们许多同学从拉马努詹那里学到了大量数学知识，其中一些领域与他自己的研究兴趣大相径庭。他的学识令人惊叹，他对数学的热情具有感染力。向他学习是一种令人兴奋的经历。他的作息时间不规律，我们许多与他一起学习的时段会持续到深夜。拉马努詹在数学之外的阅读也很广泛。
拉马努詹无疑是印度涌现出的最优秀的数学才智之一，但他对自己的成就远不满意。不幸的是，早在1964年，他就被一种被诊断为精神分裂症的疾病所折磨，伴有严重的抑郁症，严重干扰了他的工作。这种疾病会周期性地发作，但在间歇期，在神志清醒的时候，他会得出漂亮的结果。最终，他在1974年10月的一次抑郁发作中结束了自己的生命。他当时36岁。
拉马努詹在其短暂的职业生涯中主要是在TIFR度过的，但也访问过其他几个数学中心。事实上，他于1965年在昌迪加尔担任了教授职位，打算永久留在那里。他深受同事们的喜爱，并回报了他们的热情，但疾病袭来，他在昌迪加尔仅八个月后就离开了。应著名的高等科学研究所邀请对法国进行的为期六个月的访问，也因类似原因不得不缩短。他后来在英国华威大学和意大利热那亚大学度过了一些时间。他在热那亚的同事们对他有着美好的回忆，他去世后，那里数学系的一个演讲厅以他的名字命名。应他的要求，TIFR将他迁至班加罗尔，他在那里度过了生命的最后一年。
就在失去拉马努詹仅仅两年后，1976年12月，印度数学界又遭受了一次重大打击。Vijay Kumar Patodi，一颗仍在上升的明星，在三十一岁时被残酷地中断了生命。Patodi于1966年毕业于贝拿勒斯印度教大学，在孟买大学做了一年研究员后加入了TIFR，继续攻读博士学位。他在大学读书期间就已经在TIFR听课，他的老师们显然看出他出类拔萃。Patodi迅速吸收了大量的深奥难懂的数学。1969年底，他偶然看到McKean和Singer的一篇论文，并悄然开始研究论文中提出的一个猜想。该论文利用了Minakshisundaram关于紧流形上拉普拉斯算子的深刻工作。该猜想的主旨是为经典的卡尔·弗里德里希·高斯-Bonnet定理提供一种替代方法。几个月后，Patodi解决了这个猜想，这一消息让TIFR的所有人都大为惊讶。该论文于1971年发表在Journal of Differential Geometry上，立即成为重大新闻。Patodi收到了许多邀请，访问了MIT的Singer，后来又在高等斯图迪研究院访问了阿蒂亚。他进一步发展了第一篇论文的思想和技术，获得了许多有趣的结果；所有这些最终促成了与阿蒂亚和拉乌尔·博特的合作，他们能够利用McKean-Singer论文中提出的热方程技术，给出著名的阿蒂亚-Singer指标定理的一个证明。
在他取得巨大职业成功的同时，不幸的是传来了可怕的消息。他的医生告知他，他患有严重的疾病，预后远不乐观。即使在努力控制疾病的同时，Patodi仍坚持数学研究，并产出卓越的工作。1976年12月，在计划进行肾移植前不久，他去世了。在短短六年时间里，尽管因疾病频繁中断，Patodi还是完成了十一篇质量极高的论文。其中一些论文是在他去世后发表的。
到目前为止我谈到的所有人都已不在人世。我接下来要谈的人，K Chandrasekharan，还活着——在瑞士苏黎世退休。他出生于1920年，在 Madras 由——还能有谁——Ananda Rau 引入数学之门。他去了普林斯顿的高等研究院斯图迪做博士后工作。Chandrasekharan 研究数论和可和性——像他那一代的许多人一样。他的数学成就是第一流的，但我认为他对印度数学更大的贡献在别处。他是一位极具天赋的科学组织者和行政管理者——用 Hardy 的术语来说，属于 Bradman 级别。1949年，Homi Bhabha 访问普林斯顿，当时 Chandrasekharan 在那里，并邀请他到塔塔基础研究所任职。有一个关于此事的故事，我未曾试图证实，但听起来很真实。Chandrasekharan 与伟大的 von Neumann 散步时，他们看到 Bhabha 与阿尔伯特·爱因斯坦在远处散步。von Neumann 问 Chandrasekharan 是否真的打算搬到孟买在 Bhabha 的研究所工作。当 Chandrasekharan 肯定回答时，von Neumann 说：‘那个人作为物理学家不亚于任何人，但不要让他吓倒你——要敢于面对他’，或类似的话。看来 KC（Chandrasekharan 的称呼）遵循了这一建议——与 Bhabha 的意见分歧似乎是导致他1965年离开 TIFR 并搬到苏黎世的原因之一。
我想再告诉你们一个关于 KC 的轶事，这是我亲身了解的。这又要回到我1966-67年访问普林斯顿时。有一次，我陪一位品味昂贵的朋友去普林斯顿的一家服装店。我的朋友为自己订了一套西装，而我买了一条围巾（花了我16美元——请注意，是1966年！）。一直与我们交谈的店主问我们是否认识 von Neumann，我们说我们知道他。然后他问我们是否认识 Chandrasekaran，我们告诉他我们确实认识他；这时他说：‘他们是那个研究所里唯一两位懂得穿衣的绅士！’
在TIFR度过的十五年间，Chandrasekharan将那里初建的数学学院转变为一个世界公认的卓越中心。Chandrasekharan在TIFR启动了一个非常成功的研究学者招募和培训计划；该计划按照他制定的方针延续至今。他在坚持高标准方面毫不妥协。在普林斯顿的日子里，他结识了许多世界顶尖数学家，并充分利用了这些人脉。多亏了Chandrasekharan，Herman Weyl将其收藏的Mathematische Annalen卷册赠予了TIFR。凭借其非凡的能力，他能够说服许多数学界的领军人物访问塔塔研究所，并在两个月或更长时间内为他精心挑选的研究学者授课。在五十年代访问塔塔研究所的众多杰出人士中，有两个名字尤为突出：L Schwartz（一位菲尔兹奖章获得者）和C L 西格尔。他们都对TIFR数学的发展方式产生了巨大影响。Schwartz说服了他的许多同事和学生访问塔塔研究所。研究学者被要求为所授课程撰写笔记，这些讲义至今在数学界享有盛誉。
Chandrasekharan即使在自身专业领域之外，也是一位出色的数学鉴赏家，并能迅速对其学生的成就做出反应。同样，在他设定的高水平上表现不佳的人在TIFR没有立足之地。Chandrasekharan成功地向TIFR的学生灌输了努力工作的坚定承诺，同时又不让他们失去对数学的浪漫情怀。他成功的一个重要原因是他给予学生自由，让他们研究自己感兴趣的内容。访问学者让他们接触到不同的数学领域，其中许多与KC自身的兴趣相去甚远，学生们被鼓励去追求任何吸引他们的事物。来自马德拉斯的Racine神父，Chandrasekharan在马德拉斯时期就认识并非常尊敬他，为他提供了源源不断的人才。
Chandrasekharan的努力得到了K G Ramanathan的得力协助。Ramanathan是Racine的学生，也在普林斯顿进行博士后工作。在那里，他受到了E Artin（20世纪另一位重要人物）的影响，甚至更多是西格尔的影响。通过他，TIFR的许多人接触到了西格尔的一些深刻著作，这在六七十年代TIFR涌现的工作中得到了充分体现。Ramanathan还负责（在七八十年代）建立了一个小而精的偏微分方程小组——这是一个在应用中极为重要的领域。该小组设在班加罗尔的印度科学学院校园内，旨在促进与该机构的交流。Ramanathan于1992年去世。
Chandrasekharan的影响远远超出了印度数学界。从五十年代中期起的约24年间，他一直是国际数学联盟（IMU）执行委员会的成员。他还担任过两届秘书长和一任主席。他在该委员会中的倡议众多且备受重视。他促成了IMU赞助自1956年起每四年在塔塔研究所举行一次的国际数学讨论会。这些会议涉及数学的多个主题；这些主题是国际上当前感兴趣的，并且印度数学家对此做出了重大贡献。多年来，这些会议取得了巨大成功，受邀参加会议被视为一种荣誉。
我想就此提及一次个人经历。1964年，塔塔研究所举办了一次关于“微分分析”的讨论会，由Chandrasekharan领导的组织委员会向我发出了演讲邀请。讨论会前几周，我被告知需要在他的办公室向KC预讲我的报告。我的老师Narasimhan也出席了预讲。Chandrasekharan自己的数学兴趣与我的报告主题几乎无关；尽管如此，他还是耐心地听了我一个多小时，不时插话告诉我应该如何呈现某些内容，并总体上给我提供了演讲技巧。那时我以不善演讲而闻名（我希望现在不再如此），但结果证明，多亏了Chandrasekharan，我的演讲非常受欢迎。
五十年代，Chandrasekharan担任《印度数学会杂志》的编辑。在此期间，由于Chandrasekharan说服该领域一些伟大人物在此发表文章的能力，该杂志上出现了几篇伟大的论文。
我们塔塔研究所确实非常感激Chandrasekharan，并感谢他给予我们的伟大开端。
最后更新于2026年7月