数学史专题
人们常认为，数学只有在文明发展出某种形式的文字之后才能发展。尽管今天对我们来说不易理解，但许多文明在从未发展出文字记录的情况下就达到了高度发达的阶段。当然，由于今天没有文字记录可供研究，我们很难对此类文明有太多了解。本文考察的就是这样一个文明的数学成就。
我们要讨论的这个文明，似乎并未觉得有必要发展文字，这就是印加文明。1532年，在西班牙征服之前存在的印加帝国幅员辽阔。它横跨的区域从今天的厄瓜多尔北部边界一直延伸到阿根廷中西部的门多萨，再到智利中部的马乌莱河。印加人口约1200万，但他们来自许多不同的族群，讲大约20种不同的语言。这个文明已经达到了高度复杂精密的水平，拥有非凡的道路系统、农业、纺织品设计和管理体系。当然，即使达到这种水平不需要文字，计数和记录数值信息也是必要的。印加人发展出一种记录数值信息的方法，不需要文字。它涉及绳子上的结，称为基普。
基普不是计算器，而是一种存储装置。记住，印加人没有文字记录，因此基普在印加帝国的管理中发挥了重要作用，因为它使数值信息得以保存。让我们首先描述基本的基普及其位值制记数系统，然后考察它在印加社会中的使用方式。
基普（quipu）由打结的绳子组成，用以表示数字。数字通过绳上的结来表示，采用以10为基数的位值制。如果要在绳上记录数字586，则在绳的自由端附近打六个相接触的结，留出一段空白，然后为十位打八个相接触的结，再留出一段空白，最后为百位打五个相接触的结。
插图：quipu586.gif ↗
基普上的586。
对于更大的数，使用了更多的结群，每10的幂对应一个结群，就像我们这里使用的数制中的数字出现在不同位置上，以表示该位置上10的相应幂的次数。
不过，并非像真正的位值制那样，无论位置如何都使用相同的结。似乎只有一个例外，即个位，那里使用的结的样式与其他位置不同。事实上，个位上使用了两种不同的样式，一种样式用于个位是1的情况，第二种样式用于个位大于1的情况。这两种样式都不同于所有其他位置使用的标准结。这个系统有一个零位，因为在那个位置没有结就表示零。这意味着间距必须高度规则，以便零位清晰可辨。
西班牙入侵者留下了许多关于基普的图画和描述。Garcilaso de la 尤里·维加，母亲是印加人，父亲是西班牙人，他写道（例如见[5]）：-
根据它们的位置，结表示个、十、百、千、万，特殊情况下表示十万，它们在不同绳子上排列整齐，就像会计在账簿中逐列记下的数字一样。
当然，仅仅在绳子上记录一个数字本身并没有太大用处。一个基普有许多绳子，必须有某种方法能够识别承载特定数字记录的绳子。做到这一点的主要方法是使用颜色。数字被记录在特定颜色的绳子上，以识别该数字记录的是什么。例如，牛的数量可能记录在绿色绳子上，而羊的数量可能记录在白色绳子上。每种颜色都有几种含义，有些是抽象概念，有些是具体的，如牛和羊的例子。白色绳子具有“和平”的抽象含义，而红色绳子具有“战争”的抽象含义。
除了颜色编码之外，区分绳子的另一种方法是使一些绳子成为辅助绳，它们系在主绳的中间，而不是系在主要的水平绳上。
插图：quipu_2.gif ↗
带有辅助绳的基普。
我们再次引用 Garcilaso de la 维加 的话 [5]：-
普通法官每月向上级汇报他们作出的判决，上级再向他们的直接上级汇报，如此层层上报，最终到达印加王或其最高议事会成员那里。进行这些汇报的方法是通过绳结，用不同颜色的绳子打结，某种颜色的结表示某种罪行已受到惩罚。系在较粗绳子上的较细线绳有不同的颜色，用以表示所施加惩罚的确切性质。
不仅是法官们将基普送往中央记录处保存。印加王在每个城镇都任命了基普卡马约克，即绳结保管员。较大的城镇可能有多达三十名基普卡马约克，他们本质上是政府统计人员，负责保存人口的官方普查记录、城镇物产记录、牲畜和武器记录。这些信息及其他信息每年被送往首都库斯科。甚至还有一种官方递送服务将基普送往库斯科，由接力跑者组成，他们在专门建造的中继站将基普传递给下一名跑者。地形极为险峻，然而印加人修建了道路，使得通过基普传递信息的速度快得惊人。
关于奇普的许多信息来自秘鲁人Felipe Guaman Poma de Ayala写给西班牙国王的一封信，写于西班牙征服印加人约八十年后。这封非凡的信包含1179页，其中有几幅画展示了奇普。其中一幅画的一个引人入胜的方面是在左下角有一个计数板的图片。这被称为yupana，据推测是印加人的计数板。
这就是 yupana 的样子。
关于这种计数板，或称秘鲁算盘，可能如何使用，已有若干作者给出了解释，例如参见 [9] 和 [11]。然而一些历史学家不太确定这真的是一种秘鲁算盘。例如 [2]，其中作者写道：-
从 Poma 的评注中不清楚这是他所描绘的与西班牙活动相关的、类似于所描绘之人所用器具的版本，还是他在暗示它与印加人的关联。无论哪种情况，他的评注都使得对该配置以及未填充孔和填充孔含义的解读极具推测性。
要深入了解印加人的数学理解是一项困难的任务。Urton 的书 [6] 很有意思，因为它考察了印加人对数的概念的理解。正如人们可能预料的那样，他们的数的概念是非常具体的，不像我们的数的概念是高度抽象的（尽管这并未被许多人真正理解）。这种具体地构想数的方式，体现在描述数的性质时所用的不同词语上。[6] 中给出的一个例子是偶数和奇数。如今，比如说偶数的概念，依赖于拥有一个独立于被计数对象的抽象的数概念。然而，秘鲁的语言有不同的词适用于不同类型的对象。例如，对于 [6] 这一概念就有单独的词：-
……两者合在一起构成一对……
……一个连同其配对……
……两个——指一个被分成两部分的事物……
……一对两个分开的事物紧密地绑在一起，例如两头牛被套在一起犁地……
等等。
这是一个引人入胜的话题，值得进一步深入研究。人们不禁要问，印加人是否运用他们的数系来解决数学问题。它仅仅用于记录吗？如果 yupana 真的是一种算盘，那么它必定曾被用来解决问题，这就引出了一个耐人寻味的问题：这些问题是些什么。西班牙神父 José de Acosta 的著作中可能包含一丝诱人的线索，他于 1571 年至 1586 年间生活在印加人中间。他在其著作 Historia Natural Moral de las Indias Ⓣ（《西印度群岛的自然与道德史》）中写道，该书于 1596 年在马德里出版：-
看他们使用另一种计算工具，用玉米粒，是一种十足的乐趣。为了进行一项非常困难的计算——一个能干的计算者需要笔和纸才能完成——这些印第安人使用他们的玉米粒。他们在这里放一颗，在别处放三颗，又在不知什么地方放八颗。他们在这里那里移动一颗玉米粒，事实是他们能够完成计算而不犯最小的错误。事实上，他们在实用算术方面比我们用笔和墨水还要强。这究竟算不算巧妙，这些人究竟是不是野蛮动物，让那些愿意评判的人去评判吧！我认为确定无疑的是，在他们所从事的事情上，他们胜过我们。
遗憾的是，de Acosta 不具备数学技能来给出精确的描述，从而让我们能够理解印加人的这种计算方法。