伯恩赛德问题史A history of the Burnside problem

一些定义

1. 称一个群 $G$ 是周期的，如果对所有的 $g \in G$ 都存在 $n \in \mathbb{N}$ 使得 $g^{n} = 1$。
   （注意数 $n$ 可能依赖于元素 $g$。）
2. 如果存在$n \in \mathbb{N}$，使得对于所有$g \in G$都有$g^{n} = 1$，则称群$G$是具有有界指数的周期群。最小的这样的$n$称为$G$的指数。

显然，任何有限群都是周期的。在其1902年的论文中，威廉·伯恩赛德 [1] 引入了他在群论中称之为“一个尚未确定的问题”：

一般 威廉·伯恩赛德 问题：
Is a finitely generated periodic group necessarily finite？

威廉·伯恩赛德 立即提出了“更容易的”问题：

伯恩赛德问题：
Is a finitely generated periodic group of bounded exponent necessarily finite？

定义
设 $F_{m}$ 表示秩为 $m$ 的自由群。对于固定的 $n$，设 $F_{m}^{n}$ 表示由 $g^{n}$（其中 $g \in G$）生成的 $F_{m}$ 的子群。
那么 $F_{m}^{n}$ 是 $F_{m}$ 的正规子群（它甚至是特征子群），我们定义 伯恩赛德 群 $B(m, n)$ 为商群 $F_{m}/ F_{m}^{n}$。

威廉·伯恩赛德在其1902年的论文中展示了许多结果；

1. $B(1, n) \cong C_{n}$
2. $B(m, 2)$是阶为$2^{n}$的初等阿贝尔群（$C_{2}$的$n$个副本的直积）
3. $B(m, 3)$是有限的，阶≤$3^{2m-1}$
4. $B(2, 4)$是有限的，阶≤$2^{12}$。（事实上伯恩赛德声称相等）

威廉·伯恩赛德和伊赛·舒尔在两篇论文中对此问题取得了早期进展，这证实了该问题绝非简单：

定理（威廉·伯恩赛德，1905年[2]）
A finitely generated linear group which is finite dimensional and has finite exponent is finite i.e. any subgroup of $GL(n,\mathbb{C})$ with bounded exponent is finite。

定理（伊赛·舒尔，1911年[3]）
Every finitely generated periodic subgroup of $GL(n,\mathbb{C})$ is finite。

这些结果表明，任何对伯恩赛德问题的反例都必定是困难的，即不能用众所周知的线性群来表示。在最初的一批结果之后，直到20世纪30年代初，当这个主题因对原始问题的一个变体的建议而被重新提起时，这些问题才取得了进一步进展：

限制性伯恩赛德问题：
Are there only finitely many finite m-generator groups of exponent n？

如果限制性伯恩赛德问题对某个$m, n$有肯定解，那么我们可以用所有有限指数子群的交来分解$B(m, n)$，得到$B_{0}(m,n)$，即指数为$n$的通用有限$m$-生成群，它以所有其他指数为$n$的有限$m$-生成群作为同态像。

注意，如果$B(m,n)$有限，则$B_{0}(m,n) \cong B(m,n)$。

尽管这一表述在20世纪30年代的研讨会上已经出现，但直到1940年，Grün [6]才发表了第一篇专门讨论RBP的论文，而直到1950年，"Restricted 伯恩赛德 Problem"这一术语才由威廉·马格努斯 [7]创造出来。

1933年
Levi、巴特尔·伦德特·范德瓦尔登 [4]（独立地）证明了$B(m, 3)$的阶为$3^{c}, c = m + _{m}C_{2} + _{m}C_{3}$，并且是一个幂零类为3的亚交换群。

1940年
Sanov [5]证明了$B(m, 4)$有限。

1954年
Tobin [8]证明了$B(2, 4)$的阶为$2^{12}$，并给出了一个表现。

1955年
Kostrikin[9]确立了$B_{0}(2, 5)$的存在性。

1956
格雷厄姆·希格曼[10]证明了$B_{0}(m, 5)$存在。

P Hall和G Higman[11]证明了$B_{0}(m, 6)$存在且阶为$2^{a}3^{b}$，其中$a = 1 + (m - 1)3^{c} , b = 1 + (m - 1)2^{m} , c = m + _{m}C_{2} + _{m}C_{3}$，因此可解，导长为3。

1958
Marshall Hall Jr.[12]证明了$B(m, 6)$是有限的，这一贡献被一位评论者描述为“英勇的计算”。

Kostrikin[13]证明了对于所有素数$p$，$B_{0}(m, p)$存在。

1956年的菲利浦·霍尔-格雷厄姆·希格曼论文包含一个关于限制伯恩赛德问题的卓越归约定理：

定理（菲利浦·霍尔-格雷厄姆·希格曼，1956 [11]）
Suppose that $n = p_{1}^{k_{1}}. ... , p_{r}^{k_{r}}$ with $p_{1}, ... , p_{r}$ distinct primes.
Assume

1. The RBP holds for groups of exponent $p_{i}^k_{i}$，
2. There are finitely many finite simple groups of exponent n，
3. The outer automorphism group $Out(G) = Aut(G)/Inn(G)$ is soluble for any finite simple group of exponent n.

Then the RBP holds for groups of exponent n.

（注意上面的iii.就是所谓的Schreier猜想）

现在（继续往下看），20世纪80年代有限单群的分类表明ii.和iii.成立。更早的时候，对于$n$为奇数的情况，已由瓦尔特·法伊特-约翰·格里格斯·汤普森（1962年的“奇数阶论文”）所知，并且在发表时必定是一个合理的猜想。

因此，要证明对于所有$m, n$，$B_{0}(m,n)$存在，我们只需（！）证明对于所有$m$和素数幂$p^{k}$，$B_{0}(m, p^{k})$存在。Kostrikin曾“证明”$B_{0}(m, p)$存在。

1989年，叶菲姆·泽尔曼诺夫宣布他证明了限制性伯恩赛德问题的肯定解决，并因此于1994年被授予菲尔兹奖。

1959年
回到最初的伯恩赛德问题，彼得·诺维科夫宣布对于奇数$n$，$B(m, n)$是无限的，$n > 71$。彼得·诺维科夫发表了一组想法和定理[14]，但没有给出确定的证明。John Britton怀疑彼得·诺维科夫的证明有误，他开始研究这个问题。

1964年
Golod和伊戈尔·沙法列维奇[15]给出了对一般伯恩赛德问题的反例——一个无限生成、有限生成的周期群。

1968
谢尔盖·阿迪安, P S Novikov [16] 证明了当 $n$ 为奇数时 $B(m, n)$ 是无限的，$n ≥ 4381$，其证明基于 彼得·诺维科夫 早先的工作，是一个宏大的组合证明。

这让 Britton 感到难过，因为他自己也接近发表，但他继续工作并在1970年完成。他的论文于1973年发表，但 谢尔盖·阿迪安 发现它是错误的。任何引理都没有单个错误。然而，为了同时应用它们，使它们假设成立所需的不等式是不一致的。Britton 从未真正恢复过来，而这成了他发表的最后一篇主要研究论文。

1975
谢尔盖·阿迪安 [17] 证明了如果 $n$ 为奇数，$n ≥ 665$，则 $B(m, n)$ 是无限的，改进了1968年的 谢尔盖·阿迪安-彼得·诺维科夫 结果。

1982
Ol'shanskii 证明了给定 $p$ 一个素数，$p > 10^{75}$，则存在一个无限群，其每个真子群都是阶为 $p$ 的循环群。（这被称为 阿尔弗雷德·塔斯基 Monster）

1994
S V Ivanov 发表了他的证明，即对于 $m ≥ 2$ 和 $n ≥ 2^{48}$，$B(m, n)$ 是无限的。

1996
I G Lysenok 证明了对于 $m ≥ 2$ 和 $n ≥ 8000$，$B(m, n)$ 是无限的。
$B(2, 5)$ 是否有限仍然是一个未解决的问题。