Braid《算术自愿练习》Braid's Voluntary Exercises in Arithmetic

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除了上面提到的那本手写算术练习册外，我们对William Braid一无所知。它出现在某人购买的一箱二手书底部，他们将这本书捐赠给了马德拉斯学院。

当时马德拉斯学院的算术与簿记主任是Daniel Fraser牧师，他住在圣安德鲁斯北贝尔街8号。在书的中间部分，用铅笔写着：“1868年3月24日。D Fraser。”再往后五十页，同样用铅笔写着：“D Fraser。1868年5月12日。”

除了William Braid所写的带有解答的算术题集之外，他在大多数题目末尾都写了一句苏格兰谚语。我们首先按照它们在书中出现的顺序列出这些苏格兰谚语。其中有一两句重复出现，我们按照Braid书中的情况列出两次。

苏格兰谚语

《算术自愿练习》大多是初级的，开头附近的解答不值得记录。不过，我们偶尔给出一个解答的例子，以说明William Braid的方法。后面的例子变得更有意思，真正的原因是它们展示了二十一世纪的学生不太熟悉的技巧。涉及循环小数的例子属于这一类，我们在给出这些例子时会提供Braid解答的更多细节（包括他的错误）。为了方便，我们给这些问题编了号；Braid的书里没有编号。

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1. 求一吨黄金的价值，已知21805枚索维林金币重384磅常衡。
   
   插图：b03.jpeg ↗解。Braid 写道

   lbs   lbs        £
   384 : 2240 :: 21805
    48    280
     6     35
   

   然后他乘以

    21805
       35
   ------
   109025
   65415
   ------
   763175
   

   然后他把763175除以6，得到£ 127195 / 16 / 8。注意他能在脑子里把答案的小数部分换算成£sd。黄金价格现在（2010年9月）大约是每盎司（常衡）750英镑，所以自1868年以来，价格似乎上涨了约210倍。
2. 当黄油以每22盎司1/$7\large\frac{1}{4}\normalsize$（即1先令7又四分之一便士）的价格出售时，16盎司的价格是多少？解。通过类似于第一个例子的运算，Braid得到了正确答案1/2（即1先令2便士）。
3. 如果四分之一夸特小麦产出6蒲式耳面粉，当小麦的市场价格为每夸特63/-，磨粉费用为每夸特2/-时，一袋5蒲式耳的面粉应该卖多少钱？
4. 如果用33码宽25英寸的印花布为一张床做窗帘，那么需要多少码宽30英寸的印花布？
5. 多少资金按3.5%的利率产生的利息与£490按4%的利率产生的利息一样多？
6. 一座尖塔投射的影子达到33码远，而一根4英尺长的杆子垂直立在平地上投下5英尺6英寸的影子。尖塔的高度是多少？
7. 一个破产者的债务总计为 £ 5130，他的财产为 £ 3729 / 18 / 9。他每英镑能向债权人偿付多少？
8. 假设一个不准确的夭平的两臂长度之比为 12 比 11½。在较短臂末端需要多少重量才能与挂在较长臂末端的 46 磅重量平衡？
9. 求一 hhd. 糖的价值，净重 12 cwt 3 qrs 21 lbs.，每 14 lbs. 售价 9 / 9。hhd代表大桶：一种大型桶。大桶的容量是啤酒、葡萄酒、干货等多种度量之一。
10. 假设一个不准确的秤的两臂之比为10½比10，并假设35磅的重物挂在较短臂的末端。挂在较长臂末端的什么重物会产生平衡？
11. 求一块面积为 $68\large\frac{1}{4}\normalsize$ 平方英尺的铅板的价值，每平方英尺重 8 lbs.，每 cwt 售价 42 / 6。
12. 买了 2 cwt 3qrs 14 lb. 糖，花了 £ 13 / 2 / 7。为了总共赚 46 /-，每 lb. 必须以多少零售？
13. 一块25英寸宽的印花布每码价值2/1。同样质量的另一块30英寸宽的布每码应值多少？
14. 如果小麦每夸特售价50/-时一便士面包重9盎司2打兰，那么小麦每夸特售价70/-时它应重多少？
15. 求1725英石干草的价值，每100英石售价64/-。
16. 求1386加仑的金额，252加仑售价£44/11/-。
17. 一个屠夫以每码2/7½的价格买了一块26码长的亚麻布。他必须用多少每英石6/6的牛肉来交换？
18. 求£340/15/6的保险费，费率为3/-每百。
19. 如果3英担13磅肥皂花费£14/2/9，那么7英担2夸特25磅肥皂将花费多少？

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20. 如果面粉每袋售价70先令时，我买66盎司面包付11便士，那么当面粉每袋售价63先令时，买20盎司面包应付多少钱？解。Braid 写道

      oz     oz     d
      66 :   20 :: 11
      70 :   63
    ----   ----
    4620 : 1260
    

    然后他将1260乘以11得到13860，再除以4620得到3便士。
21. 如果24人36天砍伐128英亩，那么按此速度，12人砍伐32英亩需要多少天？
22. 如果2匹马在365天内需要30夸特燕麦，那么按同样比例，11匹马在73天内需要多少夸特燕麦？
23. 如果运送2英担3夸特192英里支付12先令，那么按此费率，运送8英担1夸特128英里应支付多少？
24. 求£ 456 / 12 /- 在$4\large\frac{3}{4}\normalsize$年、年利率4.5%下的利息。
25. 求£ 512 / 10 /- 在133天、年利率5%下的利息。
26. 如果四磅面包在小麦售价为每夸特50先令时卖7½便士，那么当小麦售价为每夸特80先令时，6便士的面包应重多少？
27. 如果118人在108天内吃掉80夸特小麦，那么88人在一年零107天内将吃掉多少夸特？
28. 如果6蒲式耳小麦可以制作45个10便士的面包，那么9夸特小麦可以制作多少个8便士的面包？
29. 如果100英镑在一年内获利5英镑，那么650英镑在219天内将获利多少？
30. 如果3人4周的食宿费为7英镑，那么14人食宿费为112英镑可以住多少周？

插图：b06.jpeg ↗

31. 将739英亩1路德按以下租金比例分给A、B、C和D。A的租金为200英镑，B的为133英镑6先令8便士，C的为113英镑7先令9便士，D的为78英镑11先令2便士。1英亩有4路德，1路德有10（平方）杆，1平方杆有$30\large\frac{1}{4}\normalsize$平方码。解。Braid 写道

      £ S d    £      Ac.Ro.
    
    
    525/5/7 : 200 :: 739..1

    然后他把两笔钱都换算成便士，把面积换算成路德，得到
    
    126067 : 48000 :: 2957
    
    他用48000乘以2957，再除以126067。得到1125，余110625后，他用110625乘以40，继续除，得到35，余12655。然后他以英亩、路德和（平方）杆为单位给出答案281..1..$35\large\frac{12655}{126067}\normalsize$。尽管他没有明说，这是A的份额。
    
    然后他对B的份额做同样的计算，得到Ac187..2..$23\large\frac{50459}{126067}\normalsize$。
    
    然后他对C的份额做同样的计算，得到Ac159..2..$12\large\frac{10996}{126067}\normalsize$。
    
    然后他对D的份额做同样的计算，但尽管做了除法，却从未记录答案。
32. 将一块由165英亩组成的公地按A、B、C的地租分给他们，地租分别为£900、£1050和£800。
33. A、B、C和D合买一艘船。A支付6股，B支付7股，C支付3股，D支付2股。他们收到一次航行的净运费£ 315 / 14 / 6。这笔钱各人应得多少？

插图：b05.jpeg ↗

34. 每磅5便士、6便士和7便士的原糖各需多少磅混合在一起，才能形成每磅值6½便士的混合物？解。Braid 写道

    5d   1 /2             1 @ 5d
    
    
    6d   1 /2             1 @ 6d
    
    
    7d   1+ 1 /2  + 1 /2    4 @ 7d 

    他把左边的3行用括号括起来，在括号左边写上6½d，又把右边的3行用括号括起来，写上Ans.
35. 一包法兰绒含336码，平均成本为每码1 / 6，由4种组成，成本分别为每码1 / 1、1 / 3、1 / 8和1 / 10。每种各有多少码？解。Braid 得到比 4 : 2 : 3 : 5，其和为 14。然后他计算 14 : 4 :: 336 得到 96 @ 1 / 1。又 14 : 2 :: 336 得到 48 @ 1 / 3，14 : 3 :: 336 得到 72 @ 1 / 8，以及 14 : 5 :: 336 得到 120 @ 1 / 10。
36. 必须取多少盎司纯度为 218 dwt. 的银、纯度为 220 dwt. 的银和纯度为 230 dwt. 的银，才能形成一块标准纯度即纯度为 222 dwt. 的银块？dwt 代表 pennyweight：一种用于贵金属（及其他金属）的质量单位。一 pennyweight 等于 $\large\frac{1}{20}\normalsize$ 金衡盎司，即 1.55 克。解。Braid 得到 4 @ 218、1 @ 220、1 @ 224 和 2 @ 230。

插图：b07.jpeg ↗

37. 求两个数的最大公约数。
    1080和1728。解。Braid用1728除以1080，得到1，余448。他继续用1080除以648，得1，余432。然后他用1080除以432，得2，余216。最后1080除以216，得5，没有余数。
    
    216 答。
38. 求若干个数的最小公倍数。
    4、9、12和36。
    4、6、8和12。解。Braid 用同样的方法解这两道题。对于第一道，他写出
    
    4 . 9 . 12 . 36
    他把偶数除以 2
    2 . 9 . 6 . 18
    他把偶数除以 2
    1 . 9 . 3 . 9
    他把 3 的倍数除以 3
    1 . 3 . 1 . 3
    他把 3 的倍数除以 3
    1 . 1 . 1 . 1
    
    2 × 2 × 3 × 3 = 36 答。
39. 化带分数为假分数。
    $15\large\frac{3}{4}\normalsize$。
    $8\large\frac{4}{5}\normalsize$。
    $12\large\frac{11}{12}\normalsize$。
40. 将假分数化为整数或带分数。
    $\large\frac{132}{12}\normalsize$。
    $\large\frac{357}{9}\normalsize$。
    $\large\frac{3415}{267}\normalsize$。
41. 将带分数化为等值的简分数。
    $\large\frac{3}{5}\normalsize$ 的 $\large\frac{4}{7}\normalsize$ 的 $\large\frac{3}{4}\normalsize$。
    $\large\frac{1}{2}\normalsize$ 的 $\large\frac{7}{10}\normalsize$ 的 $\large\frac{8}{13}\normalsize$。
    $\large\frac{5}{6}\normalsize$ 的 $\large\frac{4}{5}\normalsize$ 的 $\large\frac{9}{1}\normalsize$。
    $\large\frac{7}{9}\normalsize$ 的 $\large\frac{4}{5}\normalsize$ 的 $12\large\frac{1}{2}\normalsize$。解。对于第一个例子，Braid 约去 4 并给出 $\large\frac{9}{35}\normalsize$ 答。
    
    其余各例同样处理，总是进行所有可能的约分。
42. 化普通分数为最简分数。
    $\large\frac{3456}{6048}\normalsize$。
    $\large\frac{1980}{3168}\normalsize$。
    $\large\frac{187500}{450000}\normalsize$。
    $\large\frac{3168}{4608}\normalsize$。
    $\large\frac{5{1\over2}}{22}\normalsize$。解。没有迹象表明 Braid 在做什么约分，但他写出
    
    $\large\frac{3456}{6048}\normalsize = \large\frac{384}{672}\normalsize = \large\frac{48}{84}\normalsize = \large\frac{8}{14}\normalsize = \large\frac{4}{7}\normalsize$ 答。
    
    $\large\frac{1980}{3168}\normalsize = \large\frac{220}{352}\normalsize = \large\frac{55}{88}\normalsize = \large\frac{5}{8}\normalsize$ 答。
    
    $\large\frac{187500}{450000}\normalsize = \large\frac{375}{900}\normalsize = \large\frac{75}{180}\normalsize = \large\frac{15}{36}\normalsize = \large\frac{5}{12}\normalsize$ 答。
    
    $\large\frac{3168}{4608}\normalsize = \large\frac{352}{512}\normalsize = \large\frac{44}{64}\normalsize = \large\frac{11}{16}\normalsize$ 答。
    
    $\large\frac{5{1\over2}}{22}\normalsize = \large\frac{11}{44}\normalsize = \large\frac{1}{4}\normalsize$ 答。
43. 化分数为公分母。
    $\large\frac{2}{3}\normalsize , \large\frac{5}{8}\normalsize , \large\frac{7}{9}\normalsize$。
    $\large\frac{6}{7}\normalsize , \large\frac{2}{5}\normalsize , \large\frac{5}{12}\normalsize , \large\frac{3}{4}\normalsize$。解。Braid 写道
    
    $\large\frac{2}{3}\normalsize \times 8 \times 9 = \large\frac{144}{216}\normalsize$
    $\large\frac{5}{8}\normalsize \times 3 \times 9 = \large\frac{135}{216}\normalsize$
    $\large\frac{7}{9}\normalsize \times 3 \times 8 = \large\frac{168}{216}\normalsize$
    
    [他或许最好写成
    
    $\large\frac{2}{3}\normalsize \times \large\frac{8}{8}\normalsize \times \large\frac{9}{9}\normalsize = \large\frac{144}{216}\normalsize$ 等等。]
44. 将分数化为它们的最小公分母。
    $\large\frac{1}{2}\normalsize , \large\frac{7}{8}\normalsize , \large\frac{2}{3}\normalsize , \large\frac{11}{12}\normalsize$。解。Braid 写道（同样相当令人困惑）
    
    $\large\frac{1}{2}\normalsize \div 12 = \large\frac{12}{24}\normalsize$
    $\large\frac{7}{8}\normalsize \div 3 = \large\frac{21}{24}\normalsize$
    $\large\frac{2}{3}\normalsize \div 8 = \large\frac{16}{24}\normalsize$
    $\large\frac{11}{12}\normalsize \div 2 = \large\frac{22}{24}\normalsize$。
45. 将分数化为它们的最小公分母。
    $\large\frac{1}{2}\normalsize$，$\large\frac{2}{3}\normalsize$，$\large\frac{5}{6}\normalsize$，$\large\frac{7}{12}\normalsize$。
46. 将分数从一种单位化为另一种单位。
    £ $\large\frac{(7\times 20\times 12\times 4)}{9}\normalsize$。
    Guin $\large\frac{(4\times 21\times 12)}{5}\normalsize$。一几尼是 £ 1 / 1 /- 或 21 先令。
47. 将分数从一种单位化为另一种单位。
    far 5 / (6 × 4 × 12 × 20)。
    lbs (4 × 12 × 20) / 7。一法新是 $\large\frac{1}{4}\normalsize$ 便士。
48. 将量化为任意单位的分数。
    (9 / 2d ) / (£ 1 / 1 /-)。解。化为便士得 $\large\frac{110}{252}\normalsize$ = $\large\frac{55}{126}\normalsize$ 答。
49. 将任意名数的量化为分数。
    6盎司2本尼威特10½格令 / 1磅。一（金衡）盎司有20本尼威特（dwt），一本尼威特有24格令。
50. 求分数的值。
    £ $\large\frac{117}{95}\normalsize$。
51. 普通分数的加法。
    $\large\frac{3}{7}\normalsize , \large\frac{2}{9}\normalsize , \large\frac{1}{3}\normalsize , \large\frac{9}{10}\normalsize$。
    $\large\frac{3}{4}\normalsize , \large\frac{5}{6}\normalsize$，和$\large\frac{8}{9}\normalsize$。
    $\large\frac{3}{4}\normalsize$的$\large\frac{5}{6}\normalsize , 4\large\frac{}{5}\normalsize$的$\large\frac{7}{8}\normalsize$，和$\large\frac{4}{5}\normalsize$。
    $47\large\frac{3}{4}\normalsize , 29\large\frac{5}{7}\normalsize$，和$35\large\frac{9}{14}\normalsize$。
    $98\large\frac{5}{8}\normalsize , 35\large\frac{11}{12}\normalsize$，和$26\large\frac{5}{6}\normalsize$。
    $\large\frac{3}{8}\normalsize$金衡磅，$\large\frac{5}{6}\normalsize$磅，和$\large\frac{8}{9}\normalsize$盎司。
    $\large\frac{11}{15}\normalsize$几尼，$\large\frac{4}{5}\normalsize$ £，和$\large\frac{3}{5}\normalsize$先令。解。对于第一个例子，Braid写道
    
    $\large\frac{3}{7}\normalsize \times 90 = 270$
    $\large\frac{2}{9}\normalsize \times 70 = 140$
    $\large\frac{1}{3}\normalsize \times 210 = 210$
    $\large\frac{9}{10}\normalsize \times 63 = 567$
    
    他在右侧用括号将全部4行括起，在括号中间写上630。
    
    相加得1187，他将其除以630得到$1\large\frac{557}{630}\normalsize$。1金衡磅等于20金衡盎司。
52. 普通分数的减法。
    从56中减去$21 \large\frac{4}{15}\normalsize$。
    从35中减去$16 \large\frac{5}{16}\normalsize$。
    从$\large\frac{8}{9}\normalsize$中减去$\large\frac{4}{13}\normalsize$。
    从$\large\frac{3}{8}\normalsize$吨中减去$\large\frac{3}{5}\normalsize$英担。
    从$\large\frac{6}{7}\normalsize$英镑中减去$\large\frac{3}{5}\normalsize$几尼。
    从£$11\large\frac{4}{9}\normalsize$中减去£$3\large\frac{3}{8}\normalsize$。
    从$29\large\frac{5}{8}\normalsize$中减去$16\large\frac{7}{8}\normalsize$。
    从$\large\frac{4}{5}\normalsize$的$\large\frac{3}{4}\normalsize$中减去$\large\frac{7}{10}\normalsize$的$\large\frac{1}{9}\normalsize$。
    从$\large\frac{3}{8}\normalsize$的$\large\frac{11}{12}\normalsize$中减去$\large\frac{1}{7}\normalsize$的$\large\frac{2}{3}\normalsize$。解。这里所有分数（和整数）都转换为公分母。对于第一个例子，Braid写道
    
    $\large\frac{56}{1}\normalsize \times 15 = 840$
    $\large\frac{319}{15}\normalsize \times 1 = 319$
    
    这两行在右侧用括号括起，括号后写上15。他从840中减去319得到521，然后除以15得到$34\large\frac{11}{15}\normalsize$ 答。
    
    其他分数以类似方式求解，但吨和英担的问题通过转换为
    
    英担 夸特 磅 盎司 打兰
    
    来解决，而货币问题则通过转换为£sd（以及便士的分数）来解决。
53. 普通分数的乘法。
    将$\large\frac{3}{5}\normalsize$乘以$\large\frac{6}{7}\normalsize$。
    将$\large\frac{5}{6}\normalsize$乘以$\large\frac{7}{8}\normalsize$。
    将$\large\frac{9}{10}\normalsize$乘以$\large\frac{5}{6}\normalsize$。
    将$\large\frac{3}{4}\normalsize$乘以$\large\frac{4}{5}\normalsize$再乘以$\large\frac{5}{6}\normalsize$。
    将$\large\frac{2}{7}\normalsize$乘以$\large\frac{8}{9}\normalsize$再乘以$\large\frac{7}{8}\normalsize$。
    将$\large\frac{7}{9}\normalsize$的$\large\frac{3}{5}\normalsize$乘以$\large\frac{2}{3}\normalsize$的$\large\frac{4}{7}\normalsize$。
    将$\large\frac{9}{16}\normalsize$乘以$\large\frac{8}{1}\normalsize$。
    将$\large\frac{11}{24}\normalsize$乘以$\large\frac{12}{1}\normalsize$。
    将$\large\frac{10}{13}\normalsize$乘以$\large\frac{71}{1}\normalsize$。
    将617乘以$5\large\frac{5}{6}\normalsize$。
    将894乘以$21\large\frac{3}{4}\normalsize$。
    将536乘以$67\large\frac{7}{8}\normalsize$。
    将$14\large\frac{3}{7}\normalsize$乘以$\large\frac{5}{8}\normalsize$。
    将$29\large\frac{4}{9}\normalsize$乘以$\large\frac{2}{3}\normalsize$。
    将$85\large\frac{5}{6}\normalsize$乘以$\large\frac{3}{4}\normalsize$。
    将$92\large\frac{2}{5}\normalsize$乘以$31\large\frac{4}{9}\normalsize$。
    将$27\large\frac{11}{12}\normalsize$乘以$8\large\frac{5}{6}\normalsize$。解答。所有题目都以显然的方式求解，在相乘之前进行所有可能的约分。
54. 真分数的除法。
    用$\large\frac{2}{3}\normalsize$除$\large\frac{8}{9}\normalsize$。
    用$\large\frac{5}{6}\normalsize$除$\large\frac{7}{12}\normalsize$。
    用$\large\frac{6}{11}\normalsize$除$\large\frac{3}{7}\normalsize$。
    用$\large\frac{14}{15}\normalsize$除$\large\frac{21}{25}\normalsize$。
    用$\large\frac{2}{9}\normalsize$除$\large\frac{8}{9}\normalsize$。
    用4除$\large\frac{8}{9}\normalsize$。
    用6除$\large\frac{12}{13}\normalsize$。
    用8除$\large\frac{11}{15}\normalsize$。
    用$\large\frac{3}{4}\normalsize$除29。
    用$\large\frac{7}{9}\normalsize$除65。
    用$5\large\frac{4}{7}\normalsize$除97。
    用$5\large\frac{1}{2}\normalsize$除$\large\frac{3}{8}\normalsize$。
    用$\large\frac{3}{5}\normalsize$除$56\large\frac{5}{9}\normalsize$。
    用$\large\frac{8}{9}\normalsize$除$69\large\frac{2}{11}\normalsize$。
    用$36\large\frac{4}{7}\normalsize$除$76\large\frac{1}{2}\normalsize$。
    
    解答。Braid 做了显而易见的乘以倒数的计算。然而，他写下的内容相当令人困惑。例如，对于第一个例子，他做了显而易见的约分，但写成$\large\frac{8}{9}\normalsize \div \large\frac{3}{2}\normalsize = \large\frac{4}{3}\normalsize$
    $1\large\frac{1}{2}\normalsize$ 答。

插图：b08.jpeg ↗

55. 将 $\large\frac{3}{250}\normalsize$ 化为小数。解。长除法给出 .012 答。
56. 将 $\large\frac{1}{700}\normalsize$ 化为小数。解答。再次做长除法，直到余数重复，此时答案正确地给出为循环小数
    
    .00142857
    
    （Braid 在数字上方加点来表示循环节的开始和结束。我们使用了“上划线”。）
57. 将 $\large\frac{49}{52}\normalsize$ 化为小数。解答。再次做长除法，直到余数重复，此时答案正确地给出为循环小数。
    
    .94230769
58. 将 $\large\frac{655}{2149}\normalsize$ 化为小数。解。长除法给出 .3047929+。不清楚他如何决定计算多少位。事实上，这个分数的循环节长度为 306。
59. 把157码1英尺3英寸化为英里。解法。他将3英寸除以12得到.25英寸，再将1.25英尺除以3得到.416码，然后将157.416除以1760得到.089441287英里。
60. 把1路德20杆化为英亩。
61. 化5小时48分50秒为一日。
62. 化17' 44'' 48'''为一度。
63. 求.603125英亩的值。解答。他乘以4得到2.412500 路德。然后他将.412500乘以40得到16.500000（平方）杆，再将.500000乘以$30\large\frac{1}{4}\normalsize$得到15.125000。最后他将.125000转换为$\large\frac{1}{8}\normalsize$。
    所以答案是2 路德 16（平方）杆 $15\large\frac{1}{8}\normalsize$（平方）码。
64. 将.483125英里化为……解答。他转换为弗隆、码、英寸。
    
    （1英里有8弗隆，1弗隆有220码，1码有36英寸。）
65. 值为365.242264天。解法。他将其转换为天、小时、分钟、秒。
66. 值为57°.2957795。解法。他将其转换为度、分、秒、 thirds。[一秒有60 thirds。]
67. 值为.416吨。解答。他换算为英担、夸特、磅、盎司、打兰。
    
    （1英担有4夸特，1夸特有28磅，1磅有16盎司，1盎司有16打兰。）
68. 值为 .83 英里。
69. 化为 .93 英亩。
70. 化为 .242 日。
71. 将 .4、.75 和 .625 化为普通分数。解答。$\large\frac{4}{10}\normalsize = \large\frac{2}{5}\normalsize$ 答案。
    $\large\frac{75}{100}\normalsize = \large\frac{15}{20}\normalsize = \large\frac{3}{4}\normalsize$ 答案。
    $\large\frac{625}{1000}\normalsize = \large\frac{125}{200}\normalsize = \large\frac{25}{40}\normalsize = \large\frac{5}{8}\normalsize$ 答案。
72. 将 .8125、.025 和 .00875 化为普通分数。
73. 将 $.64 \large\frac{3}{4}\normalsize , .006\large\frac{1}{8}\normalsize$ 和 $.486\large\frac{7}{8}\normalsize$ 化为普通分数。解答。$\large\frac{259}{400}\normalsize$ 答案。
    $\large\frac{49}{8000}\normalsize$ 答案。
    $\large\frac{3895}{8000}\normalsize = \large\frac{779}{1600}\normalsize$ 答案。
74. 将 .3、.6 和 .90 化为普通分数。解答。.3 = 3 /9 = 1 /3 答案。
    .6 = $\large\frac{6}{9}\normalsize = \large\frac{2}{3}\normalsize$ 答案。
    .90 = $\large\frac{90}{99}\normalsize = \large\frac{10}{11}\normalsize$ 答案。
75. 将 .63、.108 和 .148 化为普通分数。
    
    解答。.63 = $\large\frac{63}{99}\normalsize = \large\frac{21}{33}\normalsize = \large\frac{7}{11}\normalsize$ 答案。
    .108 = $\large\frac{108}{999}\normalsize = \large\frac{36}{333}\normalsize = \large\frac{12}{111}\normalsize = \large\frac{4}{37}\normalsize$ 答案。
    .148 = $\large\frac{148}{999}\normalsize = \large\frac{4}{27}\normalsize$ 答案。
76. 将 .14634、.857142 和 .615384 化为普通分数。解答。.14634 = $\large\frac{14634}{99999}\normalsize = \large\frac{4878}{33333}\normalsize = \large\frac{1626}{11111}\normalsize = \large\frac{6}{41}\normalsize$ 答案。
    .857742 = $\large\frac{857142}{999999}\normalsize = \large\frac{285714}{333333}\normalsize = \large\frac{95238}{111111}\normalsize = \large\frac{6}{7}\normalsize$。
    .615384 = $\large\frac{615384}{999999}\normalsize = \large\frac{205128}{333333}\normalsize = \large\frac{68376}{111111}\normalsize = \large\frac{22792}{37037}\normalsize = \large\frac{8}{13}\normalsize$。
77. 将 .416、.2083 和 .06 化为普通分数。他使用以下（巧妙的）方法处理 0.ab .. cde .. f。
    从 ab .. cde .. f 中减去（整数）ab .. c 得到分子。分母则是 length(de .. f) 个9后跟 length(ab .. c) 个0。解。从416减去41得375。于是
    $\large\frac{375}{9000}\normalsize = \large\frac{5}{12}\normalsize$ 答。
    
    从2083减去208得1875。于是
    $\large\frac{1875}{9000}\normalsize = \large\frac{375}{1800}\normalsize = \large\frac{5}{24}\normalsize$ 答。
    
    $\large\frac{6}{90}\normalsize = \large\frac{2}{30}\normalsize = \large\frac{1}{15}\normalsize$ 答。
78. 将 .003、.0083 和 .07954 化为普通分数。解。.003 = $\large\frac{3}{900}\normalsize = \large\frac{1}{300}\normalsize$ 答。
    
    .0083 = $\large\frac{75}{9000}\normalsize = \large\frac{1}{120}\normalsize$ 答。（尽管他在这里犯了一个抄写错误！）
    
    .07954 = $\large\frac{07947}{99900}\normalsize = \large\frac{7}{88}\normalsize$ 答。
79. 将 .0185、.0046296 和 .7621951 化为普通分数。

插图：b09.jpeg ↗

80. 将 89.8125 + 271.05 + .375 + 127.9 + .01875 + 68.28945 相加。解。相加得 557.4457 答。
81. 将 .01825 + 17.5 + .00375 + 199.25 + 144 + 310.0125 相加。解。相加得 670.7845 答。
82. 化为小数，然后将 $21\large\frac{3}{4}\normalsize + 19\large\frac{7}{16}\normalsize + 4\large\frac{5}{8}\normalsize + 15\large\frac{1}{2}\normalsize + 83\large\frac{4}{5}\normalsize + 45\large\frac{3}{80}\normalsize$ 相加。解。将21.75、19.4375、4.625、15.5、83.8和45.0375相加，得190.15。答。
83. 化为小数，然后相加：£ 21 / 10 /- + £ 8 / 17 / 6 + £ 4 / 18 / 9 + £ 3 / 3 / 6 + £ 9 / 18 / 7½ + £ 1 / 16 / 2¼。解。将21.5、8.875、4.9375、3.175、9.93125、1.809375相加，得50.2281125。答。
84. 相加：.83 + 7.416 + .31855 + 6.25 + 4.38 + 29.627。解：Braid 将循环小数展开到足够多的位数，使得从该位起所有数都是单个数字循环，然后相加。
    （他必须注意从下一列得到进位。）

       .83333|3
      7.41666|6
       .31855|0
      6.25000|0
      4.38888|8
     29.62777|7
    -----------
     48.83521 6

85. 相加：17.5 +182.75 + .4 + 19.85 + .008125 + 89.655。解。没有循环小数，所以加法是常规的。
86. 化简并相加 £ 44 / 7 / 6½ + £ 9 / 15 / 10 + £ 6 / 8 / 8 + £ 12 / 19 / 7 + £ 10 / 0 / 0¼ + £9 / 0 / 2½ + £ 13 / 9 / 5¾。解：化为小数，然后如第 84 题那样相加。Braid 写道

     44.3770833|3
      9.7916666|6
      6.4333333|3
     12.9791666|6
     10.1041666|6
      9.1041666|6
     13.4739625|0
    -------------
    106.06

    这里有一些错误，但答案是正确的。
    £ 10 / 0 / 0¼ = 10.0010416
    £ 9 / 0 / 2½ = 9.010416
    £ 13 / 9 / 5¾ = 13.4739583
    
    尽管人们可能认为前两个错误是Braid从草稿中抄写时产生的错误，但最后一个错误肯定不是抄写错误。要么Braid用£sd相加算出正确答案，然后转换成小数，要么他从别处抄来了正确答案。
87. 化简并相加 $12\large\frac{1}{3}\normalsize + 3\large\frac{5}{6}\normalsize + 41\large\frac{5}{12}\normalsize + 85\large\frac{1}{8}\normalsize + 7\large\frac{1}{2}\normalsize +69\large\frac{2}{9}\normalsize + 5\large\frac{5}{24}\normalsize$。解法。化为小数后相加

     12.333|3
      3.833|3
     41.416|6
     85.125|0
      7.500|0
     69.222|2
      5.208|3
    ---------
    224.638

88. 相加 9.45 + 5.3 + 13.83 + 1.76235 + 16.42135 + 157.025641 + 19.142857。解法。Braid将循环小数展开到足够多的位数，使所有小数的循环节长度均为6

      9.45454|545454
      5.33333|333333
     13.83333|333333
      1.76235|000000
     16.42135|135135
    157.02564|102564
     19.14285|714285
    ----------------
    222.97341 164106

    1、2、3 和 6 的循环节都能与 6 的循环节配合。注意他是如何操作最后两项中的循环节的。
89. 化简并相加 $94\large\frac{3}{16}\normalsize + 58\large\frac{5}{27}\normalsize + 152\large\frac{12}{13}\normalsize + 14\large\frac{2}{3}\normalsize + 45\large\frac{6}{7}\normalsize + 9\large\frac{7}{24}\normalsize + 76\large\frac{9}{11}\normalsize$。解。Braid 将循环小数展开到足够多的位数。注意，循环节长度 6 再次对所有项都足够。

     94.1875|000000
     58.1851|851851
    152.9230|769230
     14.6666|666666
     45.8571|428571
      9.2916|666666
     76.8181|818181
    ---------------
    541.9294 201169

90. 相加：.83 + 7.416 + .31855 + 6.25 + 4.38 + 29.627。

插图：b10.jpeg ↗

91. 从5.53125中减去1.25。
92. 从 213.5 中减去 1.8125。
93. 从 .45 中减去 .0045。
94. 从31中减去.875。
95. 化为小数，并从$173\large\frac{1}{5}\normalsize$中减去$99\large\frac{1}{16}\normalsize$。
96. 化为小数，并从£ 81 / 12 / 6中减去£ 37 / 9 / 1$\large\frac{1}{2}\normalsize$。解。转换成小数得
    £ 81.625 - £ 37.45625 = £ 44.16875。
97. 从96.3135中减去37.3。解。

     69.3135
     37.33333
     --------
     31.98016

98. 从81.7175中减去73.561。解。

    81.7175
    73.5615615
    ------------
     8.1559384

99. 从34.815中减去5.47325。解。

    34.85185185
     5.47325
    -------------
    29.37860185

100. 从21.453中减去13.72。解。

     21.453453
     13.727272
     ---------
      7.726180

101. 化为小数，并从 915 /36 中减去 475 /9 。解。

     91.138
     47.555
     -------
     43.583

102. 化为小数，并从 £9 1 / 18 / 8½ 中减去 £ 55 / 4 / 11¾。解。转换成小数得
     £ 91.9354166 - £ 55.2489583 = £ 36.6864583。

插图：b11.jpeg ↗

103. 计算 8.25 乘以 4.5。解。长乘法

       8.25
      ×4.5
     ------
      4 125
     33 00
     ------
     37.125

104. 计算 .24165 乘以 .175。解。长乘法得 .04228875
105. 将 .0825 乘以 .0625。解。长乘法得到 .00515625
106. 将 .00875 乘以 6.5。解。长乘法得到 .056875
107. 将 .3518 乘以 124。解。长乘法得到 43.6232
108. 将5.425乘以2.125。解。长乘法得到11.528125
109. 将.1234乘以.134。解。长乘法得到.0165356
110. 将47.55乘以.243。解。长乘法得到11.55465
111. 将63.416乘以32.5。解。这个更有意思，因为有 6 循环。长乘法得到

       63.416
      ×32.5
     ---------
       31 7083
      126 8333
     1902 4999
     ---------
     2061.0416

     注意，Braid知道如何将循环小数乘以单个数字。
112. 将5.683乘以475。解。长乘法得到2699.583
113. 将.49838乘以12.64。解。长乘法得到6.299635
114. 计算 365.481 乘以 .00325。解。长乘法得到（根据 Braid）

      365.481
      ×  .00325
     ----------
        1827409
        7309636
     1 09644545
     ----------
     1.18781590

     Braid 在他的循环部分犯了一个错误。第二行中 36 应当循环，而不是 636。在答案中 90 应当循环，而不是 590。因此正确答案应为 1.18781590
115. 计算 .27185 乘以 1.426。解。长乘法得到

        .27185
      ×1.426
      --------
        163111
        543703
      10874074
      27185185
     ---------
     .38766074

     这是正确答案。注意现在 Braid 可以将长度为 3 的循环部分乘以一个单个数字。
116. 计算 8.769230 乘以 786.4。解。长乘法得到

         8.769230
       786.4
         ---------
         3 5076923
        52 6153846
       701 5384613
      6138 4615384
      ------------
      6896.1230769

     这是正确答案，但第三行最后一个数字有抄写错误，应为 5 而不是 3。
117. 将 .92937 乘以 1500。解。长乘法得到

      .92937
      ×1500
      -------
      464689
      92937
     ---------
     1394.069

     这是正确答案。
118. 将 92.25 乘以 .3。解。长乘法得到

       92.25
       × .3
     ---------
     30.7518

     我不知道 Braid 是否会乘以 .3。我可以通过将 92.25 除以 3 来求和，但这似乎不是 Braid 所做的。

插图：b12.jpeg ↗

插图：b14.jpeg ↗

119. 将 .27 除以 .4625。解。长除法得到 .589680，之后余数为 27。因此答案是 .589680
120. 用2.715除.5136。解。Braid用长除法进行除法，在得到.189190后放弃。事实上他需要算很久，因为这个小数有一个长度为180位的循环节。
121. 用8.634除.987解。Braid经过一些计算，最终用8548除978，得到.1141（实际上他忘了加小数点）。他本应用8548除977.9，正确答案是.11440102948058025269...
122. 用472.55除358.3。解。Braid得到.758297，没有发现循环，于是放弃（实际上他又忘了加小数点）。

插图：b13.jpeg ↗

由J J O'Connor和E F Robertson撰写
最后更新于2010年9月